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IIR（Infinite Impulse Response）ディジタルフィルタの設計では、確立しているアナログフィルタの設計理論を利用する。まず、アナログフィルタの伝達関数\(G(s)\)を設計し、その後何らかの変換法を利用して、ディジタルフィルタの伝達関数\(G(z)\)を求めるという方法が一般的である。代表的なアナログフィルタのタイプとして、バタワースフィルタ、チェビシェフフィルタがある。以下に振幅特性の概要をまとめる。バタワースフィルタバタワースフ
最適レギュレータは、制御理論において、システムの状態を効率的に制御するためのフィードバック制御法である。システムの性能指標（評価関数）を最小化しつつ、システムの安定性や性能を最適化することを目的とする。最適レギュレータ問題離散時間系の制御対象を$$x(k+1) =A x(k) + b u(k) \\ y(k) = c x(k) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \cdots(1)$$とするとき、評価関数$$J= \sum_{
可制御、可観測の双対性可制御性と可観測性の双対性とは、これらの2つの性質が密接な関係を持っていることを意味し、システムの可制御性に関する問題を、対応する「双対」システムにおける可観測性の問題に置き換えて考えることができるということを意味する。双対システムは、次のように定義される。・元のシステムの行列\(A\)に対して、双対システムのシステム行列は\(A^{T}\)。・元のシステムの入力行列\(b\)に対して、双対システムの入力行列は\(c^{T}\)。・元のシステム
離散時間システムの状態フィードバック制御離散時間システムが、$$x(k+1) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0.4 & 0.3 \end{bmatrix} x(k) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(k) \;\;\; \cdots (1)$$ において、$$u(k) = - \begin{bma
離散時間システムの可制御、可観測条件連続時間システムの状態方程式が、$$\frac{dx}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x$$のとき、これを離散時間システムにしたとき、可制御、可観測となるための条件を
離散時間システムの安定性の基準離散時間システムの特性方程式のすべての根（固有値、伝達関数の極）が単位円の内側に存在する場合、そのシステムは安定である。特性方程式の形は次のように表される。$$\phi(z) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n=0 \;\;\;(a_0 \gt 0) \;\;\;\; \cdots(1)$$ここで、\(z\) は複素数で、特性方程式の係数\(a_i\)に基づいてシス
図1 離散時間制御系$$P(s) = \frac{1}{s+1}$$の1次系とする。＊図1において、0次ホールドを使用して離散化した\(P(s)\)を求める。$$P(z) = (1 - z^{-1})\mathcal{Z} \left\{\frac{1}{s(s+1)} \right\} = (1 - z^{-1})\mathcal{Z} \left\{ \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} \right\} \\ =\frac{z-1}{z} \
離散時間システムのインパルス応答離散時間伝達関数が、$$G(z) = \frac{z + 0.3}{z^2 - 0.7z +0.1}$$のシステムのインパルス応答を求める。解法1：$$G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{z + 0.3}{z^2 - 0.7z +0.1}$$なので、$$Y(z)(z^2 - 0.7z +0.1) = U(z)(z + 0.3) \\ Y(z) (1 - 0.7z^{-1} + 0.1 z^{-2} = U
連続時間伝達関数の離散時間伝達関数への変換（1）\(G(s) = \frac{K}{s}\)を0次ホールドを含む離散化システムに変換する。$$G(z) = (1 - z^{-1})\mathcal{Z}\left\{\frac{K}{s^2}\right\} \\= (1 - z^{-1}) \frac{KTz}{(z - 1)^2} \\= \frac{KT}{z - 1}$$（2）\(G(s) =\frac{K}{1 + \tau s}\)を0次ホールドを含
連続時間システムから離散時間システムへの変換連続時間システムが微分方程式$$\frac{dy}{dt} = \alpha y + \beta u \;\; \cdots (1)$$で与えられるとき、このシステムをディジタルシステムに変換する。式(1)の自由システムは、$$\frac{dy}{dt} = \alpha y$$で、変数分離形なので、$$\frac{dy}{y} = \alpha dt$$となり、両辺を積分すると、$$\ln y = \alpha
離散時間システムを記述する式(1)に示す差分方程式から分かるように、入力\(x(n)\)に対する出力\(y(n)\)の計算は、積和演算を実行すればよい。$$y(n) = \sum_{k=0}^{M} a_k x(n-k) - \sum_{k=1}^{N} b_k y(n-k) \;\cdots\cdots(1)$$一般に離散時間システムは、図1に示す加算器、乗算器、遅延器の3つの基本要素としてシステムを構成することができる。実際の演算は、多くの場合、2進数のディジタル演算で
※離散時間システムの周波数応答（ディジタル制御）も参考にどうぞ。LTIシステムのインパルス応答を\(h(n)\)として、そのシステムに複素正弦波数列の入力\(x(n) = e^{j n \omega T}\)を印可した時の出力\(y(n)\)は、$$y(n) = h(n) \ast e^{j n \omega T} = \sum_{k=0}^{\infty} h(k) e^{j (n - k) \omega T} \\= \left[ \sum_{k=0}^{\in
