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式(1)のシステムにおいて、$$\dot x = Ax + Bu,\quad \sigma = Sx \;\;\; \cdots (1)$$ 式(2)のように外乱の存在する系を考える。$$\dot x = Ax + Bu + h(x,t) \;\;\; \cdots (2)$$ここで、\(h(x,t)\)は、システムの不確かさと非線形性を含む関数とする。このとき、$$\dot \sigma = S\{Ax + Bu + h(x,t) \} = 0$$となるので、等価制御入力
閉ループ制御系で外部入力として目標値、外乱があり、それらの変化によって定常偏差が生じるときは、内部モデル原理に基づいて制御系の構造を見直す必要がある。外部入力がステップ状に変化する場合には、そのモデルとして\(\frac{1}{1-q^{-1}}\)（積分器）を前置補償器として設ける。図1に制御対象の前に補償器\(\frac{1}{\Delta}\)を設置した構成を示す。\(\Delta = 1-q^{-1}\)である。前置補償器と制御対象を併せた見かけ上の制御
最小分散制御を適用するには、制御対象は最小位相系で、むだ時間が正確にわかっている必要がある。この条件を緩和するために一般化最小分散制御が提案された。式(1)の線形離散時間モデルの制御対象を考える。$$A(q^{-1})y_k = q^{-j_m} B(q^{-1})u_k + C(q^{-1})e_k \;\;\; \cdots (1)$$ここで、$$A(q^{-1}) = 1 + a_1 q^{-1} + a_2 q^{-2} + \cdots a_n q^{-n} \\
※最小分散制御(1)の内容を再整理する。数式表現が異なるが、こちらの方が分かりやすいと思う。式(1)の線形離散時間モデルで記述されるシステムを考える。$$A(q^{-1})y_k = q^{-j}B(q^{-1})u_k + C(q^{-1})e_k \;\;\; \cdots (1)$$ここで、\(y_k\)は出力信号、\(u_k\)は入力信号、\(e_k\)は平均値ゼロの白色雑音、\(q^{-1}\)はシフトオペレータ、である。\(A(q^{-1}),\; B(
最小分散制御（Minimum Variance Control, MVC）は、システムの出力の分散を最小化することを目的とした制御手法である。これは、特にランダムな外乱やノイズの影響を受けるシステムに対して、できるだけ安定した出力を得るために用いられる。手法として、むだ時間分先の出力を予測し、その予測値に基づいて現時刻の操作量を決定する。この制御により、むだ時間を有するシステムに対して追従特性に優れた制御系を設計できるが、対象とするシステムにいくつかの厳しい前提条件を必要と
※離散時間システムの応答に関しては、5. 離散時間システムの応答、9. 離散時間システムの構造を参照願います。8-1. 固有値が正または零の実数固有値\(\lambda_i\)が正または零の実数のとき、\(\lambda_i^k x_i(0)\)の振る舞いを図示せよ。ただし、\(x_i(0) = 8\)とする。解答例： 固有値\(\lambda_i\)が正の実数なので、固有値の大きさが1よりも大きい場合は、\(\lambda_i^k\)は発散する。1
※離散時間系に関しては、 4. 連続時間システムの離散化 を参照願います。7-1. 差分方程式からパルス伝達関数へ離散時間システムの差分方程式が式(1)で与えられている。このシステムのパルス伝達関数を求めよ。$$y(k+n) + a_1y(k+n-1) + \cdots + a_{n-1}y(k+1) +a_n y(k) \\ = b_0 u(k+m) + b_1 u(k+m-1) + \cdots + b_m u(k) \quad(n \gt m) \;\
※定常特性に関しては、27. 定常特性と内部モデル原理 を参照願います。5-1. 定常位置偏差の計算フィードバック制御系の開ループ伝達関数\(L(s)\)が式(1)で与えられているとき、目標値が大きさ\(5\)でステップ状に変化したときの定常位置偏差\(e(\infty)\)を求めよ。$$L(s) = \frac{40(s+5)}{s^3 + 7s^2 + 18s +24} \;\;\; \cdots (1)$$図1 フィードバック制御系
1-1 インパルス応答から伝達関数インパルス応答が、$$y(t) = 4e^{-2t} + 3e^{-5t}$$であるとき、システムの伝達関数を求めよ。解答例：インパルス応答が\(y(t) = 4e^{-2t} + 3e^{-5t}\)なので、このラプラス変換が伝達関数となる。$$G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\} = 4\mathcal{L}\{e^{-2t}\} + 3\mathcal{L}\{e^{-5t}\} = \frac{4}{
図1 離散時間制御系$$P(s) = \frac{1}{s+1}$$の1次系とする。＊図1において、0次ホールドを使用して離散化した\(P(s)\)を求める。$$P(z) = (1 - z^{-1})\mathcal{Z} \left\{\frac{1}{s(s+1)} \right\} = (1 - z^{-1})\mathcal{Z} \left\{ \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} \right\} \\ =\frac{z-1}{z} \
離散時間システムのインパルス応答離散時間伝達関数が、$$G(z) = \frac{z + 0.3}{z^2 - 0.7z +0.1}$$のシステムのインパルス応答を求める。解法1：$$G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{z + 0.3}{z^2 - 0.7z +0.1}$$なので、$$Y(z)(z^2 - 0.7z +0.1) = U(z)(z + 0.3) \\ Y(z) (1 - 0.7z^{-1} + 0.1 z^{-2} = U
連続時間システムから離散時間システムへの変換連続時間システムが微分方程式$$\frac{dy}{dt} = \alpha y + \beta u \;\; \cdots (1)$$で与えられるとき、このシステムをディジタルシステムに変換する。式(1)の自由システムは、$$\frac{dy}{dt} = \alpha y$$で、変数分離形なので、$$\frac{dy}{y} = \alpha dt$$となり、両辺を積分すると、$$\ln y = \alpha
制御対象を入力\(m\)、出力\(l\)の\(n\)次元の線形定係数システムとする。$$\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) \;\cdots \cdots (1) \\ y(t) = C x(t)\; \cdots\cdots (2)$$ここで、 \(x(t) , \;\;\; u(t), \;\;\; y(t) \)は、それぞれ\(n,\;m,\;l\)次元のベクトル、また、\(A \; (n \times n),\;\;\; B \;(n \tim
