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ここでは、式(1)の状態方程式で示す線形時不変のシステムを制御対象とする。$$\dot{x} = Ax + Bu \;\;\; \cdots (1)$$ここで、\(x \in R^n , \quad u \in R^m\)である。また、\(B\)行列の\(m\)個の列ベクトルは、\(b_i \quad (i=1,2, \cdots, m)\)とする。可変構造系の基本用語の定義1．可変構造制御系の構造は、ベクトル関数の切換関数\(\sigma(x)\)の符号に
スライディングモード制御の基本的な考え方として、式(1)で示す二次系システムを考える。$$\dot x = y \\ \dot y = 2y - x +u \\ u = -\phi x \;\;\; \cdots (1)$$ また、式(2)の変数\(\sigma(x,y)\)を導入する。$$\sigma(x,y) = xS, \quad S = 0.5x + y \;\;\; \cdots (2)$$ここで、フィードバックゲインを式(3)のように選ぶ。$$\phi = \l
まず、16. 離散時間システムにおける状態推定(1)の内容をまとめて示す。離散時間システムとして、式(1)を考える。$$x_{k+1} = Ax_k + v_k \\ y_k = C x_k + e_k \;\;\; \cdots (1)$$ここで、\(v_k,\; e_k\)は平均値0の正規白色雑音でそれぞれの分散を\(R_v,\; R_e\)とする。また、初期状態\(x_0\)の平均値を\(m\) 、分散を\(R_0\)とする。状態推定器は式(2)とする。$$\hat{
サーボ型一般化最小分散制御（GMVC）は、制御対象の出力が目標値に追従するように、出力の分散を最小化する制御方式である。従来の最小分散制御（MVC）に比べて、「目標追従性」が明示的に設計目的に組み込まれている。サーボ型GMVCは本質的にはモデルベースの制御方式で、以下の特徴からある程度のロバスト性を持つ。・出力フィードバック構造：モデル不確かさがある程度許容される。・目標追従と外乱抑制のバランス：外乱やモデル誤差が存在しても、リファレンス追従性を確保できるよう設計されている
閉ループ制御系で外部入力として目標値、外乱があり、それらの変化によって定常偏差が生じるときは、内部モデル原理に基づいて制御系の構造を見直す必要がある。外部入力がステップ状に変化する場合には、そのモデルとして\(\frac{1}{1-q^{-1}}\)（積分器）を前置補償器として設ける。図1に制御対象の前に補償器\(\frac{1}{\Delta}\)を設置した構成を示す。\(\Delta = 1-q^{-1}\)である。前置補償器と制御対象を併せた見かけ上の制御
最小分散制御を適用するには、制御対象は最小位相系で、むだ時間が正確にわかっている必要がある。この条件を緩和するために一般化最小分散制御が提案された。式(1)の線形離散時間モデルの制御対象を考える。$$A(q^{-1})y_k = q^{-j_m} B(q^{-1})u_k + C(q^{-1})e_k \;\;\; \cdots (1)$$ここで、$$A(q^{-1}) = 1 + a_1 q^{-1} + a_2 q^{-2} + \cdots a_n q^{-n} \\
※最小分散制御(1)の内容を再整理する。数式表現が異なるが、こちらの方が分かりやすいと思う。式(1)の線形離散時間モデルで記述されるシステムを考える。$$A(q^{-1})y_k = q^{-j}B(q^{-1})u_k + C(q^{-1})e_k \;\;\; \cdots (1)$$ここで、\(y_k\)は出力信号、\(u_k\)は入力信号、\(e_k\)は平均値ゼロの白色雑音、\(q^{-1}\)はシフトオペレータ、である。\(A(q^{-1}),\; B(
最小分散制御（Minimum Variance Control, MVC）は、システムの出力の分散を最小化することを目的とした制御手法である。これは、特にランダムな外乱やノイズの影響を受けるシステムに対して、できるだけ安定した出力を得るために用いられる。手法として、むだ時間分先の出力を予測し、その予測値に基づいて現時刻の操作量を決定する。この制御により、むだ時間を有するシステムに対して追従特性に優れた制御系を設計できるが、対象とするシステムにいくつかの厳しい前提条件を必要と
対象とするシステムのパラメータが未知であるとき、入出力データに基づいてパラメータを同定する。これをシステム同定という。同定法の基本である最小二乗同定は、システムの入力と出力の観測データから、システムのパラメータを推定する手法である。特に、線形離散時間モデルでは、時系列データに基づいてシステムのダイナミクスを推定する際に広く用いられる。線形離散時間モデルは式(1)で記述される。$$A(q^{-1})y_k = q^{-j}B(q^{-1})u_k + C(q^{-1})e_k
ARMAモデルは、時系列データを扱うときによく使われるモデルで、データの自己相関やランダムなノイズを考慮して、将来の値を予測するのに役立つ。ARMAモデルは、以下の2つの要素を組み合わせたモデルである。・AR(Auto-Regressive, 自己回帰)モデル・MA(Moving Average, 移動平均)モデルこれらを組み合わせることで、時系列データの現在の値が過去の値とノイズの影響を受けるという現象を表現できる。式(1)で表せる。$$x(t) = c + \sum_{
※離散時間システムの応答に関しては、5. 離散時間システムの応答、9. 離散時間システムの構造を参照願います。8-1. 固有値が正または零の実数固有値\(\lambda_i\)が正または零の実数のとき、\(\lambda_i^k x_i(0)\)の振る舞いを図示せよ。ただし、\(x_i(0) = 8\)とする。解答例： 固有値\(\lambda_i\)が正の実数なので、固有値の大きさが1よりも大きい場合は、\(\lambda_i^k\)は発散する。1
※離散時間系に関しては、 4. 連続時間システムの離散化 を参照願います。7-1. 差分方程式からパルス伝達関数へ離散時間システムの差分方程式が式(1)で与えられている。このシステムのパルス伝達関数を求めよ。$$y(k+n) + a_1y(k+n-1) + \cdots + a_{n-1}y(k+1) +a_n y(k) \\ = b_0 u(k+m) + b_1 u(k+m-1) + \cdots + b_m u(k) \quad(n \gt m) \;\
※定常特性に関しては、27. 定常特性と内部モデル原理 を参照願います。5-1. 定常位置偏差の計算フィードバック制御系の開ループ伝達関数\(L(s)\)が式(1)で与えられているとき、目標値が大きさ\(5\)でステップ状に変化したときの定常位置偏差\(e(\infty)\)を求めよ。$$L(s) = \frac{40(s+5)}{s^3 + 7s^2 + 18s +24} \;\;\; \cdots (1)$$図1 フィードバック制御系
※\(\mathcal{Z}\)変換に関することは 2. Z変換法 を参照願います。6-1. 指数関数の\(\mathcal{Z}\)変換指数関数\(x(t) = e^{\alpha t},\; t \ge 0\) を周期\(T\)でサンプルして得た信号値系列を\(\mathcal{Z}\)変換せよ。解答例： 周期\(T\)でサンプルして得た信号値系列は、\(e^0,\;e^{\alpha T},\; e^{2\alpha T},\; e^{3\al
4-1. 安定なシステム特性方程式が式(1)のとき、このシステムの安定判別を行え。$$s^5 +8s^4 + 25s^3 + 40s^2 + 34 s + 12=0 \;\;\; \cdots (1)$$解答例： 式(1)は、安定であるための必要条件が成り立っている。つまり特性方程式の係数が全て「正」である。次に、ラウス表を作成する。※ラウス表の作成方法に関しては、17. 安定判別 を参照願います。\(s^5\)行12534\(s^4\)行84012
3-1. オーバーシュートする要素の時間応答式(1)の伝達関数の単位ステップ応答を計算せよ。また、\(T_1 = 1,\;T_2=2,\;T_3=0.5,5,10\)としたときの、極と零点の位置、ボード線図と時間応答を示せ。$$G(s)=\frac{1+ T_3 s}{(1+T_1 s)(1+T_2 s)} \;\;\; \cdots (1)$$解答例：単位ステップ信号のラプラス変換は、\(U(s) = 1/s\)なので、単位ステップ応答は、$$Y(s) =
2-1 1次遅れ要素のベクトル軌跡次の式で示す1次遅れ要素のベクトル軌跡を作成せよ。$$G(s) = \frac{3}{1 + 4s}$$解答例：1次遅れ要素のゲインと位相を求める。\(s \to j\omega\)により、$$G(j \omega) = \frac{3}{1 + j 4 \omega}$$と周波数伝達関数となる。従って、ゲインは$$ G(j \omega) = \frac{3}{\sqrt{1 + (4 \omega)^2}}$$また、位
1-1 インパルス応答から伝達関数インパルス応答が、$$y(t) = 4e^{-2t} + 3e^{-5t}$$であるとき、システムの伝達関数を求めよ。解答例：インパルス応答が\(y(t) = 4e^{-2t} + 3e^{-5t}\)なので、このラプラス変換が伝達関数となる。$$G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\} = 4\mathcal{L}\{e^{-2t}\} + 3\mathcal{L}\{e^{-5t}\} = \frac{4}{
熱伝導方程式は、物体内の温度分布の時間変化を記述する偏微分方程式である。熱の伝わり方を理解し、予測するために不可欠なツールであり、工学、物理学、材料科学など、さまざまな分野で応用される。制御工学では、温度制御や熱管理が必要なシステムにおいて、熱伝導方程式を使ってプロセスの動作をモデル化し、制御設計を行う。熱伝導は、高温の物体から低温の物体へと熱エネルギーが移動する現象である。この熱の移動は、原子や分子の振動、自由電子の運動などによって起こる。熱伝導の基本的な法則は、
ハミルトニアンは、「物理系のエネルギーを表し、運動を決定する最も基本的な関数」であり、解析力学から量子力学・統計力学に至るまで幅広く適用される概念である。エネルギーエネルギーとは、物理系が持つ 運動の能力を表す量 であり、一般に以下の2種類に分けられる。1） 運動エネルギー物体が持つ運動に関連するエネルギーは、$$T = \frac{1}{2} m v^2$$である。一般化座標\(q\)を用いると、$$T = \frac{1}{2} m \dot{q}^2$
ラグランジュ力学は、ニュートン力学をより一般化し、洗練された数学的表現で記述する手法 で、特に、複雑な系（剛体、電磁場、相対論、量子力学） に適用できる強力なフレームワークである。ラグランジュ力学の基本一般化座標ニュートン力学では、デカルト座標 \((x,y,z)\)を用いるが、ラグランジュ力学では一般化座標 \(q_i\)を導入する。運動を表現できる座標は直交座標に限らない。 極座標でも良いし、剛体の運動なら各質点の直交座標変数より重心座標や相対座
周波数領域での\(H_\infty\)ノルム虚軸上で二乗可積分な複素ベクトル\(x(j \omega)\)全体に内積を$$\langle x,y \rangle = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} x^T(-j \omega) y(j \omega) d\omega$$ ノルムを$$\ x\ _2 = \langle x,x \rangle ^{1/2}$$で定義したヒルベルト空間を\(L_2\)で表す。また、複素開
※状態フードバックやオブザーバについては、システム制御の14. 15. 16. 17.を参照願います。状態フィードバック、オブザーバと二重既約分解制御対象は、式(1)で示すように厳密にプロパーとする。$$G(s) = \{A,B,C,0\} \\ \dot{x} = Ax + Bu ,\quad y = Cx \;\;\; \cdots (1)$$また、不安定な隠れモードがないように\((A,B)\)は可安定、\((A,C)\)を可検出とする。状態変数
内部安定の定義図1のようにプロパーな制御対象\(G(s)\)とプロパーな制御器\(C(s)\)からなる閉ループ系の安定性を考える。ただし、\(\text{det} I-CG \neq 0\)と仮定する。このとき、\(G\)と\(C\)で不安定な極零相殺が生じず、かつ特定の入出力関係が安定な伝達関数で与えられるとき、内部安定という。内部安定のための必要十分条件は、図1のように各伝達関数の仮想の入力\(u_1,\; u_2\)、仮想の出力\(y_1,\;y_2\)
伝達関数の表現と演算状態方程式と出力方程式を式(1)とする。$$\dot{x} = Ax + Bu,\quad y=Cx + Du \;\;\; \cdots (1)$$このとき、システムの伝達関数は、式(2)の各種形式で表せる。$$G(s) = C(sI-A)^{-1} B + D , \quad G(s) = (A,B,C,D) , \quad G(s) = \left[\begin{array}{c c} A & B \\ \hline C &
\(H_\infty\)制御問題は、適当に定義された外乱\(w\)と制御量\(z\)の間の閉ループ伝達関数\(G_{zw}(s)\)に対して、$$\ G_{zw}\ _\infty \lt \gamma$$として、閉ループ系を安定にする制御器\(C(s)\)（\(H_\infty\)制御器）を求める問題である。この制御器の計算のために一般化プラントを求める。図1のように外乱\(w\)、制御量\(z\)、操作量\(u\)、観測量\(y\)を\(H_\infty\)ノルムを
フィードバック制御と目的図1はフィードバック制御系の基本構成図である。予定する基準動作を目標値\(r\)、実際の動作結果を制御量\(z_0\)、両者の差を偏差\(e\)といい、制御器\(C\)はこの偏差\(e\)の情報を使って制御用の信号である操作量（制御入力）\(u\)を生成する。図1 フィードバック制御系フィードバック制御系の基本的な設計仕様は、以下である。・閉ループ系の安定・定常時の偏差である定常偏差が0である・過渡応答特性が良いこ
目標値がステップ関数であるサーボシステムの構成として、積分型最適レギュレータがある。これは、入力\(u(t)\)はできるだけ緩やかに変化させながら制御対象の出力\(y(t)\)と一定目標値\(r(t)\)との誤差\(e(t)\)をできるだけ速やかに零に収束させようとするものである。連続時間系に対する積分型最適レギュレータ図1 積分型最適レギュレータのブロック線図図1に連続時間系に対する積分型最適レギュレータのブロック線図を示す。制御対象には状態フィー
現代制御理論における最適レギュレータは、制御対象の状態を評価関数と呼ばれる指標に基づいて最適な状態に導く制御システムで、状態フィードバックを用いて制御し、評価関数の最小値となるようなフィードバックゲインを決定することで実現する。最適レギュレータは、以下の要素で構成される。・制御対象： 制御対象となるシステムは状態方程式で表される。・評価関数： システムの状態を評価する指標で、状態の2乗和や制御入力の2乗和などを用いる。・状態フィードバック： システムの状態量をフィードバック
最適レギュレータは、制御理論において、システムの状態を効率的に制御するためのフィードバック制御法である。システムの性能指標（評価関数）を最小化しつつ、システムの安定性や性能を最適化することを目的とする。最適レギュレータ問題離散時間系の制御対象を$$x(k+1) =A x(k) + b u(k) \\ y(k) = c x(k) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \cdots(1)$$とするとき、評価関数$$J= \sum_{
可制御、可観測の双対性可制御性と可観測性の双対性とは、これらの2つの性質が密接な関係を持っていることを意味し、システムの可制御性に関する問題を、対応する「双対」システムにおける可観測性の問題に置き換えて考えることができるということを意味する。双対システムは、次のように定義される。・元のシステムの行列\(A\)に対して、双対システムのシステム行列は\(A^{T}\)。・元のシステムの入力行列\(b\)に対して、双対システムの入力行列は\(c^{T}\)。・元のシステム
離散時間システムの状態フィードバック制御離散時間システムが、$$x(k+1) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0.4 & 0.3 \end{bmatrix} x(k) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(k) \;\;\; \cdots (1)$$ において、$$u(k) = - \begin{bma
離散時間システムの安定性の基準離散時間システムの特性方程式のすべての根（固有値、伝達関数の極）が単位円の内側に存在する場合、そのシステムは安定である。特性方程式の形は次のように表される。$$\phi(z) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n=0 \;\;\;(a_0 \gt 0) \;\;\;\; \cdots(1)$$ここで、\(z\) は複素数で、特性方程式の係数\(a_i\)に基づいてシス
※以下、虚数単位に「\(j\)」を使用する。留数定理留数定理は、特異点の周りで関数を積分する際に、その点における関数の「留数」（Residue：何かが取り除かれた後に残っているもの、という意味）を利用するものである。ある閉じた経路 \(C\) に沿って解析関数 \(f(z)\) を積分する場合、経路 \(C\) の内部に存在する全ての孤立特異点における留数の和を用いて、積分を簡単に計算できる。留数定理は次のように表現される。$$\oint_C f(z)
連続時間システムから離散時間システムへの変換連続時間システムが微分方程式$$\frac{dy}{dt} = \alpha y + \beta u \;\; \cdots (1)$$で与えられるとき、このシステムをディジタルシステムに変換する。式(1)の自由システムは、$$\frac{dy}{dt} = \alpha y$$で、変数分離形なので、$$\frac{dy}{y} = \alpha dt$$となり、両辺を積分すると、$$\ln y = \alpha
式(1)で表記する1入力\(n\)次元定係数線形システムを制御対象とする。$$\dot{x}(t) = A x(t) + b u(t) \\ y(t) = c x(t) \;\;\cdots \cdots (1)$$式(1)のシステムは可観測、可制御とする。さらに、状態変数\(x_1(t) \sim x_n(t)\)が直接観測できるとすると、入力を$$u(t) = -f x(t) \;\;\cdots \cdots(2)$$とすることで、状態フィードバック制御が構成できる。
2024年 制御工学チャンネルの目標（登録者1万人を目指して）
制御工学チャンネル（YouTube）の登録者は現時点で7960名です。 →8000名達成です！ www.youtube.com 登録者の推移は以下のようになっています。 制御工学チャンネルの登録者推移 おおよそ、年間2000～3000名のペースということで、今年の目標はそれをキープすることで登録者10000人を達成することになります。 すでに、動画本数は390本になり、動画にできるような基本的な制御工学のネタもほぼ尽きてきています。そのようなことから、今後は、動画以外のアプローチを行うか、英語チャンネルに力を入れるかというところです。 10000人という数字は、目指していた数字ではあるので、こ…
（祝）YouTube登録者数8000名達成記念：これまで3年間の振り返り
制御工学チャンネル（YouTube）の登録者数が8000名を突破しました！！ 制御工学チャンネルトップページ www.youtube.com 制御工学チャンネルでは、伝達関数、状態方程式に基づく基礎的な内容から、ロバスト制御、非線形制御といった理論のコアな内容まで幅広く制御工学の紹介動画をアップしています。MATLABによる制御シミュレーションも多く取り入れています。動画総数は390本です。 8000名を突破した振り返りをしたいと思います。アカウントの開設は2012年ですが、実質的に動画をアップし出したのは、授業がオンライン実施せざるを得なくなった2020年4月以降です。そこから、2020年1…
はてなブログの個人説明のところにEducationとついていますが、はてなの学校支援のプログラムではてなブログproを使っています。これを活用し、独自ドメインの設定を行いました。 https://control-engineering-channel.hatenablog.com から、次のドメインに変更しました。 https://blog.control-theory.com 同様に、制御工学チャンネル（動画ポータル）のリンクをhttps://www.portal.control-theory.comにしました。 制御工学チャンネル：500本以上の制御動画ポータルサイト (control-t…
動画ポータルサイトのリニューアル（制御工学チャンネル）:Xポストボタンの設置etc
動画ポータルサイトのリニューアルを行いました。 以下制御工学チャンネルのリンクです。 www.portal.control-theory.com コンテンツ内容は変わっていませんが、Xのポストボタンを設置しました。個々のページをポストできるようにしています。サブディレクトリが日本語だったため、ポストできなかったので英語化しました。このため、リンク構造がリセットされ、SEOには悪影響が出ると思っています。 これまで、スマホから確認したことがなく、スマホで見ると構成が変だったので、トップページだけでもスマホからの見栄えを良くしようと色々と試行錯誤しました。 ランキング参加中数学・科学・工学
前回、以下の記事のように制御工学チャンネルのリニューアルを行いました。 blog.control-theory.com 今日は、その続編として制御工学チャンネル内で何を変えているかについて書いていこうと思います。 制御工学チャンネルはこちらから www.portal.control-theory.com 今は、Google search consoleで、googleからの検索があるか見ているところですが、今のところほとんどアクセスはありません。新規ドメインに変更後、周知されるためには時間がかかるのかもしれません。 search.google.com また、ページの性能を評価するために、pag…
