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常微分方程式（Ordinary Differential Equation：ODE）は、未知の関数とその導関数を含む方程式のことである。常微分方程式は、関数の変化を記述するために使われ、しばしば時間や空間など、1つの独立変数に対する関数の変化を扱う。物理学、工学などの多くの分野で、自然現象やシステムのモデリングに利用される。ニュートンの運動方程式ニュートンの運動方程式の1次元の場合を考える。質点\(M\)の質量を\(m\)、\(M\)の運動の加速度を\(a\
ガンマ関数ガンマ関数は、自然数に対して定義される階乗の概念を連続数に一般化した関数である。ガンマ関数は複素数の実部が正の領域において定義され、特に実数の範囲で広く利用される。ガンマ関数の定義ガンマ関数\( \Gamma(\nu)\) は、複素数\(\nu\) の実部が正のときに次の定積分で定義される。$$\Gamma(\nu) = \int_0^{\infty} x^{\nu-1} e^{-x} dx \;\;\; \cdots (1)$$この積分は \
正則な複素関数のテイラー展開初等関数\(1/(1+x)\)のテイラー展開は、$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \;\;\; \cdots (1)$$である。複素関数の場合、\(f(z)\)を点\(z=a\)の近傍で正則な関数とすると、式(1)の\(x\)が複素数でも成立するので、$$\frac{1}{\zeta -z} = \frac{1}{\zeta -a} \cdot \frac{1}{1 - \f
解析関数とは、ある点の近傍で無限回微分可能であり、かつその点におけるテイラー展開がその近傍で収束するような関数のことを指す。複素変数\(z\)の関数\(w = f(z)\)が微分可能なとき、すなわち、$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta w}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z) -f(z)}{\Delta z} \;\;\; \cdots (1)$$が存在するとき、\(
ある区間で連続な関数は、その区間において\(C^0\)級であるという。同様に、ある区間で\(n\)回微分可能で\(n\)階導関数が連続な関数は、その区間で\(C^n\)級であるという。何回も微分可能ならば\(C^{\infty}\)級である。\(f(x)\)を点\(x=a\)を内部に含む微小な閉区間\(N(a)\)で\(C^{\infty}\)級の関数とする。$$\int_a^x f(\tau)d \tau= F(a) - F(a)$$（\(F(x)\)は\(f(x)\)の
積分の定義は、微分の逆演算と関数のグラフをヒストグラムの極限と見た時の面積という2つの面がある。※微小量、微分の記法などについては、 4. 微分（微積分学）を参照願います。微分の逆演算としての積分\(F(x)\)の導関数（\(F(x)\)を微分したもの）が\(f(x)\)に等しい時、前者を後者の原始関数（もしくは不定積分）といい、$$F(x) = \int f(x) dx$$と書く。定数の微分は\(0\)、また、定数でない関数の微分は\(0\)にならない。よ
微分法ニュートンは、瞬間における速度や加速度を定義するために微分の概念を導入した。時間の関数をグラフに描いたとき、その曲線への接線の勾配を微分係数という。ライプニッツは、独立変数の微小変化に対する関数の変化の比率を考えた。その極限を微分商という。両者は同じものとなるが、その用語は微分概念の2つの側面を表している。図1 微分係数初等関数のような普通に考える関数\(y=f(x)\)は、ほとんどの点で微分可能である。つまり、$$\lim_{\D
初等関数（elementary function）とは、数学において基本的でよく知られた関数の総称で、以下のような関数が初等関数として挙げられる。1．多項式関数（代数関数）（例:\( f(x) = x^2 + 3x + 2\)）2．指数関数・対数関数（例: \(f(x) = e^{x},\;f(x) = \log(x)\)）3．三角関数（例: \(f(x)=\sin(x), \; \cos(x),\; \tan(x)\)）4．逆三角関数（例: \(f(x) = \ar
