今、メインの塔が完成したことで話題となっている「サグラダファミリア」の塔の設計に今回の懸垂線がモデルとなっていることの紹介です。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%80%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%9F%E3%83%AA%E3%82%A2 からの引用だと ＞ガウディは、模型と、紐と錘を用いた実験道具を主に使ってサグラダ・ファミリアの構造を検討したと…
グラフ描画(15)尖った懸垂線（カテナリー）：サグラダファミリアの塔の設計モデル
今、メインの塔が完成したことで話題となっている「サグラダファミリア」の塔の設計に今回の懸垂線がモデルとなっていることの紹介です。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%80%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%9F%E3%83%AA%E3%82%A2 からの引用だと ＞ガウディは、模型と、紐と錘を用いた実験道具を主に使ってサグラダ・ファミリアの構造を検討したと…
グラフ描画実習(14)二次曲線の基本(7)極方程式(3)楕円
二次曲線の極方程式(r,θ)そのもので、今度は楕円を描きます。 (1) パラメータ変更部分 (1)式、 l（Lの小文字） r＝─────── 1－ecosθ において、e＝0.9とします。グラフの大きさに関して、KF＝1とします。 これにより x＝rcosθ y＝rsinθ また、θ＝0からθ＝360まで計算した（x,y）座標を求めます。 <注意点> 双曲線…
グラフ描画実習(13)二次曲線の基本(6)極方程式(2)双曲線
前回求めた二次曲線の極方程式そのもので、双曲線を描きます。 (1) パラメータ変更部分 前回の(1)式、 l（Lの小文字） r＝─────── 1－ecosθ から、e＝1.1とします。グラフの大きさを調整するため、KF＝0.2とします。 これにより x＝rcosθ y＝rsinθ また、θ＝0からθ＝360まで計算した（x,y）座標を求めます。 <注意点> …
グラフ描画実習(12)二次曲線の基本(5)楕円・双曲線・放物線の極方程式
前回の放物線のグラフのθ（tanθとして利用）は、接線の傾きを利用しましたが、前回述べた二次曲線が同一の方程式で示すことによりグラフ化できることを示します。 （本論） (1) 極方程式
今回実施したグラフの楕円（円）、双曲線、放物線は、それぞれグラフの形は違っていますが、実は、ひとつの方程式で表すことができる曲線です。 （本論） x,yに関する二次方程式の一般の形は ax^2+2hxy＋by^2+2gx+2fy+c＝0 ...(1) です。 この(1)式が表す曲線が、一般に二次曲線、すなわち、楕円（円を含む）、双曲線、放物線であることを次に示します。 まず、座標軸の原典…
二次曲線の最終は放物線です。ただし、通常のy＝ax^2のグラフではありません。 （本論） (1) 放物線の方程式 定点からの距離と、この点を通らない定直線までの距離が等しい点の軌跡を放物線といい、この定点を放物線の焦点、定直線を準線といいます。 放物線の方程式を求めるには、定点Fから準線dに垂線FKをおろし、FKの中…
双曲線には2種類あります。今回は、x軸と2点で交わり、y軸とは交わらないタイプです。 （本論） 2定点からの距離が一定な点の軌跡を双曲線といいます。その2定点を双曲線の焦点といいます。 焦点F、F’を結ぶ線分の中点Oを原点とし、座標軸をとりますと焦点F、F’の座標は、それぞれ、（k,0）,（－k,0）となります。つまり、kは原点OからのFとF’の焦点までの距離で…
二次曲線を描く場合の基本として、楕円（円を含む。）、双曲線、放物線があります。 （本論） 楕円の方程式は、 x²/a² + y²/b² = 1 これの媒介変数表示 x＝ a cosθ y＝ （b/a）（a sinθ） ＝bsinθ となることで極座標におけるθに対する(x,y）座標が求まります。 ただし、θはx軸の正方向と（x,y）座標の点と原点とを結ぶ線分とのなす角度です。 （1）計算表…
グラフ描画実習(8)インボリュート曲線【Circle Involute】
一見するとアルキメデスの渦巻き線のようですが違います。 (1) 計算表 座標計算のための媒介変数 x = r(cosθ+θsinθ) y = r(sinθ－θcosθ) (x,y)座標はθを0°から順に大きくしていき、θが∞に大きくなるまで続きます。
極形式で表示すると r＝a＋bcosθ で表現する曲線をリマソン（蝸牛形）といいます。 これを直交座標の方程式で表現しますと (x^2＋y^2－bx)^2＝a^2(x^2+y^2) と複雑な式となっています。 (1) リマソン計算表
微分法の応用問題では、sin(nθ)で描いたバラ曲線図でしたが、同様なバラ曲線はcos(nθ)の場合においても描くことができます。 今回、3θの場合を描きます。 ※前回のsin3θの場合は、 微分法基礎からテイラー展開まで(48)微分法応用(17) 曲線の概形(7)バラ曲線（Rose curve）の奇数パターン https://jo3krp2.seesaa.net/article/520570600.html でした。 それに対して、…
【最終】微分法基礎からテイラー展開まで(71)テイラー展開(21)双曲線関数(7)開放・短絡スタブ線における理論式
アンテナの整合回路として使用できる開放スタブと短絡スタブのインピーダンスを示す式においても双曲線関数は登場します。 （本論） 1. 開放スタブの場合 Vx(･)＝Vi(･)（1＋e^-2γ(･)d） Z0Ix(･)＝Vi(･)（1－e^-2γ(･)d） ∴ Zf(･)＝Vx(･)／Ix(･) 1＋e^-2γ(･)d Zf(･)＝Z0───────── 1－e^-2γ(･)d e^γ(･)d）…
微分法基礎からテイラー展開まで(70)テイラー展開(20)双曲線関数(6)給電線における理論式
今回の双曲線関数が実際に登場するアンテナにおける給電線での理論式についてです。 （本論） （補足）伝送線路の電圧・電流分布（その10）受端インピーダンスとの関係（その3） https://jo3krp2.seesaa.net/article/202001article_29.html から引用しますと
微分法基礎からテイラー展開まで(69)テイラー展開(19)双曲線関数(5)べき級数展開
（本論） 双曲線関数は、べき級数展開ができます。 基本とするのは、e^xとe^-xの関数をべき級数展開できることから e^x＝1＋x＋x^2／2!+x^3／3!+･･･＋x^n／n!+･･･ (－∞＜x＜∞) e^-x＝1－x＋x^2／2!－x^3／3!+･･･＋(－1)^n x^n／n!+･･･ (－∞＜x＜∞) これらをsinhxの定義式に代入しますと sinhx＝x＋x^3／3!＋･･･＋x^2n-1／(2n-…
微分法基礎からテイラー展開まで(68)テイラー展開(18)双曲線関数(4)各導関数とtanxグラフ
（本論） 双曲線関数の導関数は、指数関数の導関数を求めることになり、 (sinhx)'＝coshx (coshx)'＝sinhx となります。なぜなら、 (sinhx)'＝(1／2)(e^x－e^-x)’ ＝(1／2)(e^x+e^-x) ＝coshx (coshx)'＝(1／2)(e^x＋e^-x)’ ＝(1／2)(e^x－e^-x) ＝sinhx だからです。 同様に (tanhx)'＝sech^2x ：三角関数 (tanx)’＝sec^2x (cothx)'＝－cosech^2x ：三角…
微分法基礎からテイラー展開まで(67)テイラー展開(17)双曲線関数(3)sinhx，coshxのグラフ図
今回はsinhxとcoshxが描くグラフについてです。特にcoshxのグラフ図は、別名「懸垂線（カテナリー）」とも呼ばれ、デザイン部門において利用されているものです。 ★AI回答より引用 ＞ハイパボリックコサイン）のグラフは、y軸を中心に対称なU字型の曲線（偶関数）になります。この形状は、送電線やロープの両端を固定して垂らしたときにできる曲線と…
微分法基礎からテイラー展開まで(66)テイラー展開(16)双曲線関数(2)加法定理
三角関数のsin(x+y)やcos(x+y)と同様に双曲線関数のsinhとcosh関数においても加法定理が成り立ちます。 （本論） sinh(x+y)＝(1／2){e^(x+y)－e^-(x+y)} ＝(1／2)（e^x・e^y－e^-x・e^-y) ここで、e^x＝coshx＋sinhx,e^y＝coshy＋sinhy e^-x＝coshx－sinhx,e^-y＝coshy－sinhy を上式に代入しますと ＝(1／2){(coshx＋sinhx)(coshy＋sinhy) …
微分法基礎からテイラー展開まで(65)テイラー展開(15)双曲線関数(1)
今回から扱う「双曲線関数」は高校数学では学習しないようです。ところが、大学の入試問題として出されているようです。 ★AI による概要より引用 ＞双曲線関数は、指数関数を使って定義される関数で、三角関数と非常に似た性質を持ちます。高校数学の範囲外ですが、微分・積分の発展問題や東大などの難関大学の入試問題で背景知識としてしばしば登場します。<…
微分法基礎からテイラー展開まで(64)テイラー展開(14)関数のべき級数展開(6)1次近似
物理理論式の展開でテイラー展開が必要な部分は、今回の高次元式の1次近似にあるといえます。 （本論） y＝f(x)がx＝aで微分可能なとき、x＝aの近くのf(x)の値を近似する式を考えます。
微分法基礎からテイラー展開まで(63)テイラー展開(13)関数のべき級数展開(5)極限値の例題
三角関数のべき級数展開を利用して、三角関数の極限値を求める例題です。 （本論） [例題-2] tanx－x lim ─────── の極限値を求める。 x→0 sin^3x （解答） tanx－x 1 sinx－xcosx ───────＝────・────────── sin^3x cosx sin^3x （∵ tanx＝sinx／cos…
微分法基礎からテイラー展開まで(62)テイラー展開(12)関数のべき級数展開(4)オイラーの公式
今回は、e^xのべき級数展開から得られる「オイラーの公式」についてです。これを使いますと指数関数を三角関数で表すことができます。逆に三角関数を指数関数で表現できます。特に電磁波のように成分を実部と虚部の複素数で表現する場合に三角関数の表現では複雑な式の表現となることに対して、e^jωtと表現できるところがとても有効な数学表現と言えます。 （本論） e^xのべき級数…
微分法基礎からテイラー展開まで(61)テイラー展開(11)関数のべき級数展開(3)log関数
（前回の続き） [例題-2] 関数f(x)＝log(1＋x)について、マクローリン展開式とそのときの収束半径λを求める。 (解答) f(x)＝log(1＋x)は、 f(n)(x)＝(－1)^n-1 (n－1)!(1＋x)^-n ですから、 f(n)(0)＝(－1)^n…
微分法基礎からテイラー展開まで(60)テイラー展開(10)関数のべき級数展開(2)二項展開
（前回の続き） [例題-1] 関数f(x)＝(1＋x)^mを展開する。ただし、mは自然数ではないとする。 （解答） f(x)がべき級数に展開できたと仮定し、その収束半径をλとしますと、 f''(0) f(n)(0) f(x)＝f(0)＋f'(0)x＋────x^2＋･･･＋─────x^n＋･･･ 2! n! …
微分法基礎からテイラー展開まで(59)テイラー展開(9)関数のべき級数展開(1)
ここからは、テイラー展開（マクローリン展開）を利用した物理理論でよく使われる関数のべき級数展開を採り上げます。これがあるおかげでエクセル等コンピュータのソフト上でsin,cos,exp関数等を簡単に実装することができています。 （本論） [例-1] 関数f(x)＝e^xは、f(n)(x)＝e^xですから、任意にxをきめれば、f
微分法基礎からテイラー展開まで(58)テイラー展開(8)本編(5)極値を与える点
（本論） テイラーの定理の応用として、関数f(x)およびf(n)(x)が存在するとき、f'(x)＝0の根が極値を与える点であるための十分条件についてです。 極値の判定法3. f(n)(x)が存在し、f'(a)＝･･･＝f(n-1)(a)=0,f(n)(a)≠0（n≧2）のと…
グラフ描画実習(5)リサージュ図形(5)x:y信号の周波数が1：3の場合【完了】
前回のグラフは、周波数比がx:y＝2：3の場合の波形をアップしてしまいました。今回、真の1：3の場合です。もっと複雑な波形はいろいろと描くことはできますが、基本的な図形にて、リサージュ図形は完了とします。 （グラフ図）
微分法基礎からテイラー展開まで(57)テイラー展開(7)本編(4)定理5：Rn→0の条件
（本論） Rn→0 となるか否かの判定は一般には難しいとあります。そのため、ここでは十分条件を与える定義に限って記すこととします。 定理5. n次導関数の絶対値が、nに無関係なある関数K(x)をこえないならば、 つまり、 ｜f(n)(x)｜＜K(x) （n＝1,2,････） が成り立つならば、f(x)はマクローリン級数に展開できる。 [証明] 仮定より、｜f(n)
微分法基礎からテイラー展開まで(56)テイラー展開(6)本編(3)マクローリンの展開式
（前回の続き） 関数f(x)がべき級数展開できたと仮定し、収束半径をλとすれば、｜x｜＜λを満たす、すべてのxに対して、f(x)は次の形に表すことができます。 f(x)＝a0＋a1x＋a2x^2+･･･＋anx^n＋･･･ (｜x｜＜λ) ..…
グラフ描画実習(4)リサージュ図形(4)x:y信号の周波数が1：3の場合
前回に引き続き、x：yの信号周波数比だけの変更として、2：3となった場合のリサージュ図形です。 （計算表）
微分法基礎からテイラー展開まで(55)テイラー展開(5)本編(2)マクローリンの定理
（前回の続き） テイラーの定理 関数f(x)の高次導関数f(n)(x)が区間[a,b]で存在するとき、区間[a,b]内のある値ξに対して次の式が成り立つ。 f(b)＝f(a)＋(b－a)f'(a)＋･･･ (b－a)^n-1 (b－a)^n ＋───────f(n-1)(a…
グラフ描画実習(3)リサージュ図形(3)x:y信号の周波数が1：2の場合
x,y信号の振幅は同じ場合の周波数が異なる場合で、最もシンプルな1：2になる場合のx信号の位相が異なる場合の波形をみます。 （本論） エクセル表自体は前回と同じで、違う部分は、a項目(A2)が1に対して、b項目（D2）が2になっているところです。なお、今まで説明していませんが、E1：xの振幅＝1、F1：yの振幅＝1を設定しており、これらの値は自由に変更できます。
微分法基礎からテイラー展開まで(54)テイラー展開(4)本編(1)
今回からの内容がテイラー展開の本編となります。ただ、物理理論においては、テイラー展開をそのまま使うよりもその式にあるa=0とした場合の級数となる「マクローリンの定理」が活躍します。 （本論） 前節において、ロルの定理を順次拡張してロピタルの定理を得ました。ここでは、ロピタルの定理をもとにして、解析学で必要な結果を求めます。 平均値の定理では、f'(x)が区間[a…
基本的な図形表示の例を今回示します。具体的な事例としては、アンプ等増幅回路の入出力特性における位相のずれを見たい場合に利用できます。また、位相回路において、実施したい位相角が保持できているかの確認にも利用できます。 （本論） 1. 計算シート（抜粋） (1) 周波数が同じでかつ位相が0°にそろっている場合（以下、今回は周波数は全て同じ。）
微分法基礎からテイラー展開まで(54)テイラー展開(4)べき級数の性質(2)完了
(前回の続き) 次に収束半径rの求め方について、「コーシー・アダマールの定理」についてです。 定理4. ∞ べき級数Σ ai x^i の収束半径をrとすれば、 i=0 1 r＝─────────── lim sup n√｜an｜ n→∞ ※lim…
微分法基礎からテイラー展開まで(53)テイラー展開(3)べき級数の性質(1)
テイラー展開の各項は、今回のべき級数のかたちとなっています。そのための基礎となる知識です。 （本論） べき級数の収束についてです。「べき級数」とは、 ∞ Σ ai(x－x0)^i i=0 の形で表せる級数です。簡単のためx0＝0としておきます。これについては次の「アーベルの定理」があります。
微分の応用で何種かの数学で出題している図形を描きました。それから発展させた実生活で使う図形のグラフについてエクセルグラフで描いてみる企画です。その第Ⅰ回目として選択したのは、「リサージュ図形」です。昔のオシロスコープ（アナログ時代のシンクロスコープも同様）で2つの信号による最初に描く波形であるといっても過言ではないかもしれません。これで判るのは、二つの信号の位相と周…
微分法基礎からテイラー展開まで(53)テイラー展開(3)無限級数の性質(完了)
（前回の続き） [例題.2] 1／1^p＋1／2^p+････+1／n^p+･･･ はP＞1のとき収束、P≦1のとき発散することを説明する。 （解答） ① P＞1のとき 1／1^p＝1 1／2^p+1／3^p＜2／2^p＝1／2^p-1 1／4^p+1／5^p+1／6^p+1／7^p＜4／4^p＝(1／2^p-1)^2.･･･ 一般に 1／(2^m)^p＋1／(2m＋1)^p＋･･･＋1／(2^m-1－1)^p ＜2^m／(2^m)^p＝(1／2^p-1) したがって、任意のnに対して Sn＝1／1^p＋1／2^p…
微分法基礎からテイラー展開まで(52)テイラー展開(2)無限級数の性質(2)
前回の自然対数log2の求め方として、常用対数から求めることができます。 使う式は、 loge 2=log[10]2/log[10]e=0.3010/0.4343=0.6931 一方で、前回の無限級数Sを第6項までもとめてみますと S＝1－0.5＋0.33－0.25+0.2-0.17 ＝0.61 となって、まだlog2には近くになりません。 よって、最後に示したネット記事にある区分求積法や今回の主役であるマクローリン展開（テイラー定理）が必要…
微分法基礎からテイラー展開まで(51)テイラー展開(1)無限級数の性質(1)
今回から、いよいよ「テイラー展開」にかかる箇所にとりかかります。その前に代数学・幾何学分野で習う、「数列と級数」のうち、無限級数についての性質についてです。 （本論） 関数f(x)のべき級数展開を取り扱う準備として、無限級数の収束についての条件を述べます。なお、無限級数に関しての基本事項は、 微分法基礎からテイラー展開まで(19)指数関数eの導関数(1) （復習…
【予習】λ/2（半波長）DPアンテナの電界強度指向性と電力指向性パターンを描く
これは、次回の予定である半波長ダイポールアンテナの指向性（電界強度と電力）をエクセルで計算する場合の実例です。この基となるアンテナの指向性等の計算式は、「ワイヤーアンテナ」本の中で導出している式を使います。 （本論） （1）アンテナ理論（結果） ・ 半波長DPの電界指向性D(θ)＝cos(π/2cosθ)／sinθ ；θはエレメントの方向（x軸方向）と放射する電波の向かう…
微分法基礎からテイラー展開まで(50)微分法応用(19)曲線の概形(9)レムスケート(lemniscate)曲線
今回は、レムスケート(lemniscate)曲線についてのグラフに挑戦します。前回のバラ曲線からさらに関数の難度があがりました。このレムスケート(lemniscate)曲線を説明するためには、先にこの元となる曲線「カッシーニの卵形線（Cassinian oval）」から始める必要があります。 『「カッシーニの卵形線（Cassinian oval）」1というのは、以下の直交座標の…
【補足】(17)曲線の概形(7)バラ曲線（Rose curve）の奇数パターンが描かれる順序
偶数の場合に示したように今回の「バラ曲線」は、原点Oを中心として、時計回り、または、反時計回りに順序よく描かれているわけではないことを説明するものです。ただ、曲線は一筆書きで連続しており、滑らかなことから、すべての領域において微分可能です。これが、微分の応用としては重要な性質です。 （本論） （問題）r＝asin(nθ）曲線において、a＝4,n＝3の場合における極座標…
微分法基礎からテイラー展開まで(49)微分法応用(18)曲線の概形(8)バラ曲線（Rose curve）の偶数倍と半分パターン
今回の微分応用で三角関数を使用した関数の極座標での曲線を表示するところを深堀しているのには理由があります。このグラフ曲線は、アンテナの放射パターン（特にサイドローブ形状）の関係しているからです。 今年における当ブログ・テーマは、CQ出版社から過去に出版され、現在は、絶版となっている「ワイヤーアンテナ」本の第1章、「アンテナのABC」において、「1.1 アンテナ」節において…
微分法基礎からテイラー展開まで(48)微分法応用(17)曲線の概形(7)バラ曲線（Rose curve）の奇数パターン
今回の関数r＝a sin3θは正弦波の3倍高調波ですから、横軸にθとすると単なる基本波正弦波の3倍の周波数で振動する正弦波でしかありませんが、座標の取り方を極座標として、θを原点まわりに360°（正しくはθは120°で原点を一周する。）回転するとどのようなグラフを示すのかを今回の問題は問うています。 AIによる回答は、 『正葉曲線（せいようきょくせん）は、極座標の方程式で表される幾何学的な曲線で、その形が花…
（番外）平面解析幾何から美しい図形例：アルキメデスの螺旋（Archimedean spiral）
これは微分の応用とは分野が違いますが、媒介変数の求め方やアステロイド曲線の参考として、代数学・幾何学本にて、サイクロイド曲線を参考としていた際、発見した図形です。これについても、媒介変数と極座標表示が使われています。AIによる概要では 『アルキメデスの螺旋（Archimedean spiral）は、中心から一定の角速度で回転する直線に沿って、点が一…
微分法基礎からテイラー展開まで(47)微分法応用(16)曲線の概形(6)アステロイド(3)微分による図形判定
ここのテーマは元の関数の微分によりグラフを描くための値を推定することです。したがって、今回の部分がメインルーチンだといえます。 また、この曲線は、単に数学上の問題ではありません。AIによる回答によれば、 『アステロイド曲線（星芒形）は、主に機械設計の歯車（特に内サイクロイド歯車）や、デザインにおける美しい星型の包絡線として実用されていま…
微分法基礎からテイラー展開まで(46)微分法応用(15)曲線の概形(5)アステロイド(2)媒介変数式を導出
（問題）x^2/3＋y^2/3＝a^2/3 (a＞0)となる関数のグラフを描く。 今回は、 x＝acos^3θ ...(1) y＝asin^3θ ...（2） となる媒介変数θを使用したx,y座標を表現できる式を導出することです。 （図形からの解） この問題関数を見ただけでは、どのようなかたちをしているグラフかを想像できません。そこでサイクロイドと同様簡単なある瞬間の位置にある図を描いてみます。 今回は手抜きですが、次のネット…
微分法基礎からテイラー展開まで(45)微分法応用(14)曲線の概形(4)アステロイド(1)
前回のサイクロイドの考え方を円の内周に適用したもの、つまり、半径aとなる円内をその4分の1の半径をもつ円が滑らずにころがるとき、内円の円周上の定点の軌跡をアステロイドといいます。 （本論） （問題）x^2/3＋y^2/3＝a^2/3 (a＞0)となる関数のグラフを描く。 （ヒント） 上記関数から直接グラフを描くのは難しいので、三角関数を利用した媒介変数としてθの式を作ります。 …
（予習）微分法応用(14)曲線の概形(4)問題を理解するための基本図形(1)サイクロイド曲線
この後、微分応用として掲げる曲線を描くために必要な幾何学で習う図形についての知識を先行して実施しておきます。まず、それは「サイクロイド」曲線についてです。 サイクロイド曲線とは、ネット上から引用しますと 『サイクロイド曲線は、直線上を円が滑らずに転がるとき、円周上の1点が描く曲線であり、主に時計や精密機械の歯車（サイクロイド歯形…
微分法基礎からテイラー展開まで(44)微分法応用(13)曲線の概形(3)カージオイド指向特性図
前回に練習問題として描いたカージオイド曲線のグラフは、関数そのものをx-y平面で再現したものでした。今回は、アンテナの指向特性と表現するための工夫について述べたいと思います。 （本論） （例）r＝a(1－cosθ) （ただし、a＞0）のグラフを描きます。 （解） cosθは偶関数で、かつ、2π[rad(ラジアン)]を周期とする周期関数です。ですから、0≦θ≦πについてrの値を調…
微分法基礎からテイラー展開まで(44)微分法応用(13)曲線の概形(3)曲線と漸近線(2)
（例題） y^2＝ax^2＋x^3 （a＞0）のグラフを描く。 （解） x≧－aのとき、y≧0 x＜－aのとき、y＜0 また、y^3－x^3＝ax^2より、 (y－x)(y^2＋yx＋x^2)＝ax^2 と変形しますと y≧x 次に漸近線は、 y＝x＋a／3 です。なぜなら、 √(ax^2+x^2) α＝lim ─────────＝1 x→+∞ x また、β＝lim {3√(ax^2＋x^2)－x}については、 x→±∞ ※ 3√ は立方根を意味し…
微分法基礎からテイラー展開まで(43)微分法応用(12)曲線の概形(2)曲線と漸近線
今回は使う式の導出が必要なので理論部分です。具体的な事例は次回とします。 (本論) y軸に平行でない直線gが曲線C（y＝f(x)）の漸近線であるとは、x→∞ または x→－∞のとき、直線gと曲線の距離がいくらでも小さくなるときをいいます。曲線Cのy軸に平行でない漸近線を Y＝αX＋β として、α, βを求めます。
微分法基礎からテイラー展開まで(42)微分法応用(11)曲線の概形(1)
関数のグラフを描くのには、関数の増減、凹凸、極性などを調べることのほか、奇関数か偶関数か、座標軸との交点、グラフの現れる範囲、漸近線などにも注意が必要です。ここでは、少し複雑な関数のグラフの書き方を例題とします。 （本題） （例）y^2＝(x－1)^2(x+3)のグラフを描く。 （解） y＝±(x－1)√(x＋3)となることから、定義域は x≧－3 まず、正となる y＝(x－1)√(x…
微分法基礎からテイラー展開まで(41)微分法応用(10)物理への応用
今回は、物理に適用できる微分式の関係です。距離xと速度v、加速度αの関係が微分式で表すことができます。さらに電気理論では欠かせない角速度ωや電荷Qと電流iとの関係なども微分式で表現できることがここでの要点です。 （本論）
微分法基礎からテイラー展開まで(40)微分法応用(9)不定形の極限値(後半)
（前回の続き） f(x) ∞ 次にlim ───＝───の形式をとる不定形についてです。 x→a g(x) ∞ 1 ─── f(x) g(x) lim ───＝lim ─── とおけば、右辺は0／0の形の不定形となります。 x→a g(x) x→a 1 ─── f(x) ロピタルの定理定理により、 …
微分法基礎からテイラー展開まで(39)微分法応用(8)不定形の極限値(前半)
（本論） 二つの関数f(x)、g(x)に対し、f(a)＝g(a)＝0のときf(x)／g(x)のx＝aにおける値は、形式的に 0／0 となります。このような式を不定形といいます。たとえば、sinx／xはx＝0のときの不定形です。 ＜注意＞ 形式的に次のようなものも不定形といいます。 ∞／∞ , 0・∞ , 1^∞ , 0^0 , ∞^0 , ∞－∞ たとえば、xlogxはx＝0のとき、不定形0・(－∞) ですが、これを x ─────── …
微分法基礎からテイラー展開まで(38)微分法応用(7)関数の極限：カテナリー曲線
カテナリー曲線とは「懸垂曲線」のことです。ネット上から引用しますと 『カテナリー曲線は、日常生活の多くの場面で観察される。具体的には以下の通りである。 ・送電線は、200mから500mの間隔の鉄塔で支えられているが、鉄塔間の送電線はカテナリー曲線となっている。 ・鉄道の架線は、基本的には50m程度の間隔の架線柱で支えられているが、架線柱間の…
微分法基礎からテイラー展開まで(37)微分法応用(6)グラフの凸凹と関数(3)
（前回の続き） 前回の例題についての注意点があります。 ＜注意＞ 前回の例題の関数をf(x)としますと、f''(1)＜0, f''(2)＞0ですから、x＝1, 2はそれぞれ、最大値および極小値を与えることが、「極値の判定法2.」からわかります。ところが、f''(0)であるからといって、x＝0で極値になるか変曲点になるかどうかの判定はできません。 (例-2）y＝(x^2－x－1)／(x－1)のグラフを描く。 （解） (2x-1)(x－1)－(x^2…
微分法基礎からテイラー展開まで(36)微分法応用(5)グラフの凸凹と関数(2)
（前回続き） 次に、f'(x)＝0のとき、どのような条件があれば、x0は極値となるのか？を調べます。 まず、f'x0)＝0,f''(x)≠0と仮定します。f''(x0)＜0のときは、f'(x)はx＝x0で減少の状態にありますから、じゅうぶん小さい正の数hにたいして、 f'(x0＋h)＜f'x0)＜f'x(0－h) が成り立ちます。仮定により中央項f'x0)は0ですから、 f'(x0＋h)＜0 f'(x0－h)＞0 したがって、f'(x)はxが増加しながら、x0を通るとき、符…
微分法基礎からテイラー展開まで(35)微分法応用(4)グラフの凸凹と関数(1)
(本論) 関数f(x)の増減の状態はf'(x)の符号によって調べられるのですが、これと同様にして、f'(x)の増減の状態はf''(x)の符号によって調べることができます。 いま、f''(x)＞0と仮定しますと、f'(x)は増加状態にありますから、xの値が増加するに従って、f(x)の接線の傾きは増加します。すなわち、接線は時計の針と反対の向きに回転します。また、f''(x)＜0と仮定しますと、f'(x)は減少の状態にありますから、接線は時計の…
微分法基礎からテイラー展開まで(34)微分法応用(3)関数の極値
（本論） 次図のような関数のグラフで、x軸に平行な接線をひき、接点をP,Q,Rとします。 …
微分法基礎からテイラー展開まで(33)微分法の応用(2)コーシーの定理
（本論） コーシーの定理 f'(x), g’(x)がともに閉区間[a,b]で存在し、g'(x)≠0ならば、開区間(a,b)内のある値 ξ に対して、次の等式が成り立ちます。 f(a)－f(b) f'(ξ) ──────＝─── g(a)－g(b) g'(ξ) ※数学的な閉区間[a,b]と開区間(a,b)の違いについては、 https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/syuugou/henkan-…
微分法基礎からテイラー展開まで(32)微分法の応用(1)関数の増減と平均値の定理まで（おさらい）とその続き
今回のセクションの前半部分、すなわち、 (1) 接線の方程式 ベクトルの回転の補足(3)微分法の応用(1)接線の方程式 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520021534.html (2) 関数値の増減 ベクトルの回転の補足(4)微分法の応用(2)関数値の増減 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520028537.html 平均値の定理 (3) ロルの定理 ベクトルの回転の補足(5)微分法の応用(3)ロ…
今回で微分法の基礎は完了となります。今までの復習とΔxとdx、Δyとdyの関係を今一度確認しておきます。ここでは数学での話ですが、物理理論だとdx≒Δx、dy≒Δyとしてもほとんど問題ないと考えられます。要は、dx,dyの無限小に拘る必要はないという結論です。 （本論） 3.6 微分 関数y＝f(x)において、変数xの増分Δxに対する関数yの増分をΔyとしますと lim Δy／Δx＝f'(x) …
微分法基礎からテイラー展開まで(29)高次導関数(3)合成関数
（本論） y＝f(x), x＝g(t)のとき、つまり y が t の合成関数のとき、yのtに関する高次導関数を求めます。 dy／dt＝(dy／dx)(dx／dt)＝f'(x)g'(t) は、1階微分の微分公式として学習しました。 微分法基礎からテイラー展開まで(12)微分法の公式(2)合成関数の微分法 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520200370.html これをさらにtについて微分しますと d^2y／dt^2＝(df'…
微分法基礎からテイラー展開まで(29)二関数の積の高次導関数：ライプニッツの定理
前回の高次関数の続きになります。 （本論） u,vをxの関数とし、その積y＝uvの第n次導関数を求めます。 y'＝u'v＋uv' ※微分法の公式(1)で示した、 (4)積の導関数を参照 微分法基礎からテイラー展開まで(11)微分法の公式(1) https://jo3krp2.seesaa.net/article/520191264.html ここから、さらにxで微分しますと （2階…
今回はテイラー展開で使用する高次導関数についてです。 （本論） 3.5 高次導関数 (1) 高次導関数 関数y＝f(x)の導関数f'(x)はxの関数ですから、これが微分可能なとき、その導関数 f'(x+Δx)－f'(x) lim ───────── Δx→0 Δx が考えられます。これはf(x)を2回微分して得られる関数で、f(x)の第二次導関数といいます。 y’’, f''(x), d^2y／dx^2, …
微分法基礎からテイラー展開まで(27)媒介変数に関数の導関数
今回からは本筋の微分に戻ります。微分の式自体は分数の逆算的な考え方で達成できます。ところが、例題を解くには、今回も基礎数学で習う三角関数の”倍角の公式”と”半角の公式”を憶えていないと解けないのですが、補足するまでには至らないと思い、公式だけの紹介にとどめます。三角関数は電気の理論全般で欠かせないので、各自での復習はお願いします。 （本論） 3.4 媒介変数…
(補足-8)指数関数と対数関数の対比(底：0＜a＜1)【完結】
今回で指数関数と対数関数への補足は最後になります。底が1より小さい値となる場合の指数関数と対数関数の関係を示すグラフを表示して完了とします。 （本論） 前回の底aが1よりも大きい値のときと対比しますと、今回の底aが1よりも小さくなる、すなわち、底aは0＜a＜1のときの指数関数と対数関数におけるグラフでの対比をみます。 y＝logaxにおいて、0＜a＜1の場合、単調減少関数と…
今回でやっと指数関数と対数関数の曲線グラフの対比ができます。それには2つのパターンがあって、今回は底a＞1の場合です。 (本論) (2) 対数関数（底：a＞1） aを底とするxの指数関数 y＝a^x (a＞0,a≠1) ....(1) をxについて解きますと、対数の定義から x＝logay (a＞0,a≠1) ....(2) (2)においてxとyを入れ替えると y＝log
指数関数と対数関数の関係を表現するために先に逆関数について述べます。なお、逆関数は三角関数でのsinxの逆関数sin^-1x（アークサイン関数）として登場しています。 （本論） 2.2 対数関数 （1）逆関数 xの関数 y＝2x+3 ....(1) は独立変数xと従属変数yとの対応関係を示した式ですが、(1)式において、逆にyの値を定めますと、それに対応してxの値が定まりますから、yを独…
ここから、”対数”に関する数学説明を行えるようになりました。指数関数の説明はその前座のようなものです。 （本論） 2.1 対数とその性質 1. 対数の定義 指数関数 y＝a^x （a＞0,a≠1） ....(1) は単調関数ですから、yに任意の正の数Nを与えますと、それに対応して、(1)を満たすxの値はただ一つに定まります。いま、 N＝a^x ....(2) において、指数xを”aを底とするNの対…
エクセルのグラフ作成機能を使って2タイプの指数関数グラフを描いてみました。この後予定している指数関数と対数関数のグラフを同一平面で描くための予行演習でもあります。今はエクセルが使えることから簡単にグラフが作成できますが、学生時代はグラフはすべて手書きで作成するしかありませんでした。ですから、こういった関数のグラフ描画は苦手だったのです。しかし、難しい関数であってもグ…
数学の新しい分野を紹介する場合は手続きが面倒です。「対数関数」について述べたいと思ってもそれに至る基礎部分の定義をきちんと示さないと先に進めません。ここでは、指数法則について指数の数が自然数から整数まで前回で行えましたが、今回は指数が有理数の場合を説明して、最後に指数が実数の場合でも、成り立つことを示さないと次のステップである「対数関数」には到達できないのです。
x^2や√xといった2乗値や平方根となる数値は何の疑問も感じるなく日常で使っていますが、これに関する定義や公理についての復習を行います。とくにxが実数となるとどう定義するかを認識しておく必要があるからです。 （本論） 1.1 累乗根 平方してaになる数をaの平方根といい、aが正の数のときはaの平方根のうち、正のほうを√a、負のほうを－√aで表します。 前回の無理数の例で示した
今まで、定義や根拠を示さないまま、自然数、整数、有理数、無理数、そして、それらをすべて含む実数までに関数を微分できる範囲として、徐々に拡張していきましたが、これらの区別を明示しておきます。 （本論） 1,2,3,4,･････を自然数といいます。（0は含みません。また、すべて正の数です。）これはものを数えるときに使う最も基本の数です。二つの自然数の…
微分法基礎からテイラー展開まで(26)指数関数eの導関数(8)対数関数(loge x)の導関数
指数関数と対数関数をx-y座標でのグラフに表現しますとy=xの直線を軸とした線対称となっていることがわかります。このとき指数関数と対数関数の関係は、互いに逆関数となっていることを理解しておく必要があります。（別途、補足で説明します。） （本論） (2) 対数関数の導関数 eを底とする対数logexをxの自然対数またはネイピアの対数と…
微分法基礎からテイラー展開まで(25)指数関数eの導関数(7)e^xの導関数
自然対数の底を使った微分・積分を電磁気学や他の物理理論に使用するだけなら、今回の部分だけでe^xの微分式は完了してしまいますが、それに至る過程において高校で習う他のいろいろな数学知識が必要であることを知ることも必要と思いました。 それが、前回までの「数列・級数」、「順列・組合せ」、「実数の性質」などでした。これらは、高専の数学本だと「代数学・幾何学」の後半と「微分積分…
微分法基礎からテイラー展開まで(23)指数関数eの導関数(6)実数xでのeの定義の証明
eは自然対数の底として使われています。自然対数「logeX」は底を表記せずに単に「logx」と表記することも多いのです。底の表記が無い対数は自然対数と見なします。また、「ln x」と表現する場合もあります。 このeを「ネイピア数」と呼ぶのは、対数の考え方を発明した人物（ジョン・ネイピア）から、そう呼ばれるようです。ただし、このeをいろい…
微分法基礎からテイラー展開まで(23)指数関数eの導関数(5)自然数nでのeの定義式を証明
ここまでの「数列と級数」から得られた「実数の基本性質1」と「順列・組合せ」から導出できた「二項定理」によりeの定義式を証明していきます。 （本論） 指数関数・対数関数の微積分を扱う場合には、e（＝2.7182･･･）という値を用いられます。eは次の式を用いて定義します。 lim (1＋1／n)^n＝e (n:自然数) n→∞ この式で値eが定義できるためには、左辺が収束すること…
微分法基礎からテイラー展開まで(22)指数関数eの導関数(4)二項定理
今回が組合せによる二項定理の本論となります。 （本論） 3.1 二項定理 二項式について、そのかけ算を行いますと (a+b)^1＝a+b (a+b)^2＝a^2+2ab＋b^2 (a+b)^3＝a^3+3a^2b＋3ab^2＋b^3 (a+b)^4＝a^3+4a^3b＋6a^2b^2＋4ab^2＋b^3 と展開していきます。 一般に、nを任意の自然数として(a＋b)^nを展開すれば、a^n,a^n-1b,a^n-2b^2,････,b^nのような(n＋1)項のn次同次式…
微分法基礎からテイラー展開まで(21)指数関数eの導関数(3)二項定理導出(2)組合せ
前回の順列はn個あるものからr個とって、並べ方の順序の数ですが、今回の”組合せ”はn個の異なるものからr個取り出して作った組の数を求めます。ですから、順列だと区別される組合せが同じものとなるために数はr!個少なくなることに注意が必要です。 （本論） 2.1 n個のもののr組合せ n個の異なるものからr個（r≦n）取り出して作った組を”n個のもののr組合せといい、その数をnC…
微分法基礎からテイラー展開まで(20)指数関数eの導関数(2)二項定理導出(1)順列から始まり
次に必要なのは”二項定理”なのですが、これは先の数列と級数の範囲ではなく、順列・組合せの中で導出している定理です。 順列・組合せは、数学というよりもクイズやギャンブルにおける確率を知るための知識といった感覚なのですが、もともと性格的に賭けは好きではなかったので、この分野は苦手なのです。 （本論） 1.1 順列 異なる三つの文字a,b,cからふたつづつ取って、いろ…
微分法基礎からテイラー展開まで(19)指数関数eの導関数(1)（復習）無限数列と無限級数の概要
「オイラーの等式」で有名なe^iπ＝－1（i＝√-1；虚数単位,π；円周率）に表す自然対数の低e（ネイピア数）についての微分について考えていきます。 それには、微分よりもずっと以前に習う「数列と級数」から”無限数列”及び”無限級数"について、そして、(1＋x)^nの展開のための”二項定理”が必要です。さらに微分を理解するための準備として習う「極限と連続」から、「実数の基本性質」…
微分法基礎からテイラー展開まで(18)三角関数の逆関数(2)arctan＆arccot
前回のarcsin関数やarccos関数は、電気回路では見かけませんが、今回のarctan関数は、交流回路におけるリアクタンスによる電圧と電流の位相角を表すときに必ず登場するので、馴染みがあると思います。 （例）RLC直列回路における電圧と電流の位相角θは ωL－1／ωC θ＝arctan(───────) R また、複素インピーダンスの表現だとインピーダンスZ＝R＋…
微分法基礎からテイラー展開まで(17)三角関数の逆関数(1)
NHK放送「笑わない数学」番組の「微分・積分 スペシャル」でも紹介された無限微小値の曖昧さを排除するための手法「ε－δ論法」ですが、数学的にはこの厳密な定義が必要なのでしょうが、物理的、特に実際の現象に対する理論を求めている工学分野となるとこの厳密な定義は、反って、微分・積分の利用について阻害する原因なのでは？というのが今回の印象です。 例えていうのなら、微分・積…
今週ちょうど、NHK放送で「笑わない数学」番組として https://www.web.nhk/tv/pl/series-tep-Y5R676NK92で 「微分・積分 スペシャル」（再放送） https://www.web.nhk/tv/pl/series-tep-Y5R676NK92/ep/4V9PZWX9VN と「三角関数」（新作） https://www.web.nhk/tv/pl/series-tep-Y5R676NK92/ep/58ZPMVZ2VR を含む数学の難題内容が放送されたところなので、上記内容はどちらも今回の当ブロ…
(補足)微分法基礎からテイラー展開まで(13)三角関数を使った2直線が直交するための証明
三角関数の加法定理を見直していますと正接（tan）関数を使った2つの直線が直交するための必要条件が、互いの直線の傾きのかけ算が－1となることの証明がありました。 微分法基礎からテイラー展開まで(13) 微分法の公式(3)陰関数の微分法 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520208605.html で行いました接線とその接点を通る原点となる円の中心とを結ぶ直線が互いに垂直となる証明もこれ…
微分法基礎からテイラー展開まで(15)三角関数(2)いろいろな三角関数の導関数
三角関数の種類すべての導関数の証明をするのは面倒なのでやりませんが、代表的のものをやります。 (2) y＝cos xの導関数 sin xの場合と同様の方法で求めることができますが、三角関数の性質を利用して y＝cos x＝sin(π/2－x) ゆえに、u＝π/2－x とおけば、y＝sin u ですから、合成関数の微分法によって、 dy／dx＝(dy／du)・(du／dx) ＝cosu・(－1) ＝－cos(…
微分法基礎からテイラー展開まで(14)三角関数(1)sin xの導関数
今回から三角関数の微分についてです。肝のところは、sinθ／θのθ→0の極限が1に収束することを知ることです。これについては、関数の極限のところ、 微分法基礎からテイラー展開まで(5)関数の極限(3)三角関数にかかる極限 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520142665.html ですでに紹介ずみです。 ここでは参考程度ですが、積分の場合の ∫(sinθ／θ)dθは、ダイポールアンテナの…
微分法基礎からテイラー展開まで(13)微分法の公式(3)陰関数の微分法
今回のテーマは”円”と”接線”とその接点を原点Oとを結んだ直線が直交している線とが直交していることを微分式で示すことです。円の方程式については、高校数学の（平面）幾何学で直線に続いて習う（習った）ところです。 中心が原点Oにある円の方程式は、 x^2+y^2＝r^2 （r：円の半径） は一番最初に登場する円の式です。 （本論） 原点を中心とする半径5の円の方程式は x^…
微分法基礎からテイラー展開まで(12)微分法の公式(2)合成関数の微分法
前回の積の導関数と同様に今回紹介する合成関数は、物理学（電磁気学）で必ず登場します。 (本論) (1) 合成関数の微分法【電磁気学で多用するので重要公式です。】 二つの関数 y＝f(u),u＝g(x) から作られる関数 y＝f{g(x)} ....(1) を、はじめの二つの関数の”合成関数”、または”関数の関数”といいます。 f(u)もg(x)もともに、ある区間で微分可能なとき、合成関数(1)の微分法を考えます。 xの増分Δx…
微分の公式にはたくさんの種類があって、全てを紹介しきれません。ここでは、物理分野、とくに電磁気学でよく用いられるものに限ります。ただ基本のところは丁寧に説明します。 （本論） (1) 定数の導関数 y=c （c：定数） はxを含みませんから、xが変わってもyは変わりません。 よって、 Δy＝0，Δy／Δx＝0 ∴ y'＝lim Δy／Δx＝0 Δx→0 ∴ dc／dx＝0 (2) y…
微分法基礎からテイラー展開まで(10)導関数（の定義）と指数関数の導関数を求める式
数式の操作の関係で、”微分"と”積分"はその操作方向が反対の関係です。今回の説明のようにある関数から、その導関数を求めるのが”微分”ですが、積分ではある関数の導関数があるとき、この導関数から元の関数（積分では”原始関数”という。）を求めることをしています。その意味で微分と積分は切っても切れない関係だといえます。ただ、求めたい目的はまったく異なります。とくに物理での微…
微分法基礎からテイラー展開まで(9)微分係数(2)ある点における微分係数と接線の傾きの関係
（前回の続き） 前回の最後の式 f(x1＋Δx)－f(x1) f'(x1)＝lim Δy／Δx＝lim ──────── Δx→0 Δx→0 Δx これを図で示しますと
微分法基礎からテイラー展開まで(8)微分係数(1)平均変化率から微分係数（平均率）へ
ここから、本来の微分についての説明が始まります。『読むだけでわかる「微分」』本でいうと一番初めの「関数の接線」にかかる部分と同様です。微分は別に難しい計算をするわけではありません。ある関数があるとするとその関数のある点において、接線の傾きを求めているだけのことです。これはどれだけ複雑な微分式であっても同じことになります。 （本論） 2.1 微分係数 連続する…
微分法基礎からテイラー展開まで(7)関数の連続性(2)ロルの定理へと続く
(前回の続き) 前回の復習として、三角関数の問題をひとつ挙げます。 （問題） 三角関数tan xの連続性について述べよ （解答） tan x＝sin x／cos x ですから、cos x=0となるxの値は x＝nπ＋π/2 (n:任意の整数) つまり、π/2ラジアン(角度90°) の奇数倍のとき、tan xは、±∞となって定義できません。 ところが、sin x, cos xは任意の区間で連続ですから、関数tan xは上記の値を除く、他のすべての値…
前回の極限で述べた「ε(イプシロン)-δ(デルタ)論法」から見ると、数学は”重箱の隅”までこだわる必要があることを求められるようです。数学には、日本語でいう”曖昧さ”は許されないと言えるかもしれません。 今回の「関数の連続性」についても同様のようで、『読むだけでわかる「微分」』本だと「実数」に関して、その数直線上（x軸上）に「穴」が無いことが問題とすべきことになるの…
微分法基礎からテイラー展開まで(5)関数の極限(3)三角関数にかかる極限
今回は、極限の最後として、三角関数における場合の極限について述べます。三角関数は、基礎数学で習う分野で、特に「無線工学」をはじめとする電気（電子）理論においては、必須分野です。高専時代においても、この三角関数が理解できるか否かが、専門分野における科目を熟していけるか？の分岐点でした。 ちなみに、高校（高専）1学年の数学の最初の中間テストの結果は、100点満点で30点…
微分法基礎からテイラー展開まで(4)極限(2)関数の極限(1)
（本論） xの関数f(x)において、xが一定の値aに限りなく近づくとき、f(x)が一定の値bに限りなく近づくならば、xがaに地下ずくときのf(x)の”極限値”または”極限”はbであるといい次のように表します。 limf(x)＝b x→a または x→aのときf(x)→b この定義は厳密にいうと 「任意の小さな正の数 ε に対して、適当に正の数 δ が定められて、0＜ x－a <δを満たす全てのxの値に対して f(x)－b <εが成り立つと…
今、メインの塔が完成したことで話題となっている「サグラダファミリア」の塔の設計に今回の懸垂線がモデルとなっていることの紹介です。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%80%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%9F%E3%83%AA%E3%82%A2 からの引用だと ＞ガウディは、模型と、紐と錘を用いた実験道具を主に使ってサグラダ・ファミリアの構造を検討したと…
二次曲線の極方程式(r,θ)そのもので、今度は楕円を描きます。 (1) パラメータ変更部分 (1)式、 l（Lの小文字） r＝─────── 1－ecosθ において、e＝0.9とします。グラフの大きさに関して、KF＝1とします。 これにより x＝rcosθ y＝rsinθ また、θ＝0からθ＝360まで計算した（x,y）座標を求めます。 <注意点> 双曲線…
前回求めた二次曲線の極方程式そのもので、双曲線を描きます。 (1) パラメータ変更部分 前回の(1)式、 l（Lの小文字） r＝─────── 1－ecosθ から、e＝1.1とします。グラフの大きさを調整するため、KF＝0.2とします。 これにより x＝rcosθ y＝rsinθ また、θ＝0からθ＝360まで計算した（x,y）座標を求めます。 <注意点> …
前回の放物線のグラフのθ（tanθとして利用）は、接線の傾きを利用しましたが、前回述べた二次曲線が同一の方程式で示すことによりグラフ化できることを示します。 （本論） (1) 極方程式
今回実施したグラフの楕円（円）、双曲線、放物線は、それぞれグラフの形は違っていますが、実は、ひとつの方程式で表すことができる曲線です。 （本論） x,yに関する二次方程式の一般の形は ax^2+2hxy＋by^2+2gx+2fy+c＝0 ...(1) です。 この(1)式が表す曲線が、一般に二次曲線、すなわち、楕円（円を含む）、双曲線、放物線であることを次に示します。 まず、座標軸の原典…
二次曲線の最終は放物線です。ただし、通常のy＝ax^2のグラフではありません。 （本論） (1) 放物線の方程式 定点からの距離と、この点を通らない定直線までの距離が等しい点の軌跡を放物線といい、この定点を放物線の焦点、定直線を準線といいます。 放物線の方程式を求めるには、定点Fから準線dに垂線FKをおろし、FKの中…
双曲線には2種類あります。今回は、x軸と2点で交わり、y軸とは交わらないタイプです。 （本論） 2定点からの距離が一定な点の軌跡を双曲線といいます。その2定点を双曲線の焦点といいます。 焦点F、F’を結ぶ線分の中点Oを原点とし、座標軸をとりますと焦点F、F’の座標は、それぞれ、（k,0）,（－k,0）となります。つまり、kは原点OからのFとF’の焦点までの距離で…
二次曲線を描く場合の基本として、楕円（円を含む。）、双曲線、放物線があります。 （本論） 楕円の方程式は、 x²/a² + y²/b² = 1 これの媒介変数表示 x＝ a cosθ y＝ （b/a）（a sinθ） ＝bsinθ となることで極座標におけるθに対する(x,y）座標が求まります。 ただし、θはx軸の正方向と（x,y）座標の点と原点とを結ぶ線分とのなす角度です。 （1）計算表…
一見するとアルキメデスの渦巻き線のようですが違います。 (1) 計算表 座標計算のための媒介変数 x = r(cosθ+θsinθ) y = r(sinθ－θcosθ) (x,y)座標はθを0°から順に大きくしていき、θが∞に大きくなるまで続きます。
極形式で表示すると r＝a＋bcosθ で表現する曲線をリマソン（蝸牛形）といいます。 これを直交座標の方程式で表現しますと (x^2＋y^2－bx)^2＝a^2(x^2+y^2) と複雑な式となっています。 (1) リマソン計算表
微分法の応用問題では、sin(nθ)で描いたバラ曲線図でしたが、同様なバラ曲線はcos(nθ)の場合においても描くことができます。 今回、3θの場合を描きます。 ※前回のsin3θの場合は、 微分法基礎からテイラー展開まで(48)微分法応用(17) 曲線の概形(7)バラ曲線（Rose curve）の奇数パターン https://jo3krp2.seesaa.net/article/520570600.html でした。 それに対して、…
アンテナの整合回路として使用できる開放スタブと短絡スタブのインピーダンスを示す式においても双曲線関数は登場します。 （本論） 1. 開放スタブの場合 Vx(･)＝Vi(･)（1＋e^-2γ(･)d） Z0Ix(･)＝Vi(･)（1－e^-2γ(･)d） ∴ Zf(･)＝Vx(･)／Ix(･) 1＋e^-2γ(･)d Zf(･)＝Z0───────── 1－e^-2γ(･)d e^γ(･)d）…
今回の双曲線関数が実際に登場するアンテナにおける給電線での理論式についてです。 （本論） （補足）伝送線路の電圧・電流分布（その10）受端インピーダンスとの関係（その3） https://jo3krp2.seesaa.net/article/202001article_29.html から引用しますと
（本論） 双曲線関数は、べき級数展開ができます。 基本とするのは、e^xとe^-xの関数をべき級数展開できることから e^x＝1＋x＋x^2／2!+x^3／3!+･･･＋x^n／n!+･･･ (－∞＜x＜∞) e^-x＝1－x＋x^2／2!－x^3／3!+･･･＋(－1)^n x^n／n!+･･･ (－∞＜x＜∞) これらをsinhxの定義式に代入しますと sinhx＝x＋x^3／3!＋･･･＋x^2n-1／(2n-…
（本論） 双曲線関数の導関数は、指数関数の導関数を求めることになり、 (sinhx)'＝coshx (coshx)'＝sinhx となります。なぜなら、 (sinhx)'＝(1／2)(e^x－e^-x)’ ＝(1／2)(e^x+e^-x) ＝coshx (coshx)'＝(1／2)(e^x＋e^-x)’ ＝(1／2)(e^x－e^-x) ＝sinhx だからです。 同様に (tanhx)'＝sech^2x ：三角関数 (tanx)’＝sec^2x (cothx)'＝－cosech^2x ：三角…
今回はsinhxとcoshxが描くグラフについてです。特にcoshxのグラフ図は、別名「懸垂線（カテナリー）」とも呼ばれ、デザイン部門において利用されているものです。 ★AI回答より引用 ＞ハイパボリックコサイン）のグラフは、y軸を中心に対称なU字型の曲線（偶関数）になります。この形状は、送電線やロープの両端を固定して垂らしたときにできる曲線と…
三角関数のsin(x+y)やcos(x+y)と同様に双曲線関数のsinhとcosh関数においても加法定理が成り立ちます。 （本論） sinh(x+y)＝(1／2){e^(x+y)－e^-(x+y)} ＝(1／2)（e^x・e^y－e^-x・e^-y) ここで、e^x＝coshx＋sinhx,e^y＝coshy＋sinhy e^-x＝coshx－sinhx,e^-y＝coshy－sinhy を上式に代入しますと ＝(1／2){(coshx＋sinhx)(coshy＋sinhy) …
今回から扱う「双曲線関数」は高校数学では学習しないようです。ところが、大学の入試問題として出されているようです。 ★AI による概要より引用 ＞双曲線関数は、指数関数を使って定義される関数で、三角関数と非常に似た性質を持ちます。高校数学の範囲外ですが、微分・積分の発展問題や東大などの難関大学の入試問題で背景知識としてしばしば登場します。<…
物理理論式の展開でテイラー展開が必要な部分は、今回の高次元式の1次近似にあるといえます。 （本論） y＝f(x)がx＝aで微分可能なとき、x＝aの近くのf(x)の値を近似する式を考えます。
三角関数のべき級数展開を利用して、三角関数の極限値を求める例題です。 （本論） [例題-2] tanx－x lim ─────── の極限値を求める。 x→0 sin^3x （解答） tanx－x 1 sinx－xcosx ───────＝────・────────── sin^3x cosx sin^3x （∵ tanx＝sinx／cos…
本日WindowsUpdateが実施されました。それによるWindows10とWindows11のPCの状態です。 1. Windows10のPCでは、 今までと同様に今月の定期updateは正常に完了しています。 Top画面
今回は、前回までの引用本だと電場式の変遷途中を省略してしまっており、この考え方の意味が理解できないと思いました。そこで、省略された部分を別の文献で補うかたちで、両者の内容を合成して完成しています。 今回の肝の部分は、電荷の一般的表現＝電荷密度ρでの表現とこれが、電場式の点電荷qにどうやって置き換わるのかの考え方をイメージできることです。 （本論） 1. 電…
今、正規のWindows11のPCは、更新禁止＆待機2週間として、25H2を勝手にインストールされない措置をしています。理由は25H2のバグの一部が改善できていない旨のMicrosoft公式発表が行われているからです。ただ、ほとんどのPCの動作には影響が無いとも述べられていますが、過去の経緯を見れば、あまり信用できる情報とは言えないと判断しているからです。 一番の問題は、このバグの事実を認め…
レジストリ変更は、この操作に慣れていないかたにとっては、危険な操作だと思われることから、通常のWindowsの設定コマンドで簡単に指定できないかを検証してみましたが、残念ですが、この方法しか見当たりません。 （本論） 1. Windows11の場合 Windows11の場合には、ユーチューブによる改善紹介 https://www.youtube.com/watch?v=YfzFK6donCs を視聴していただくともっと…
当ブログとしては、新しいアプローチでの電磁気学を紹介している今年テーマですが、やっと一番最初の「クーロンの法則」から「電場E」に取り掛かることができたところ、という進みの遅さは申し訳ないのですが、 工学系の学校授業だと得られない部分、特に、無線従事者の資格試験のための勉強では得ることができない部分、すなわち、単なる公式を覚える学習ではない部分を…
本日、体育の日の特別放送として、AM7：20～全国放送で放送中です。 不定期なのですが、昔のFMラジオの雰囲気を味わうことができる唯一の番組です。 ネットでも聞けます。 NHK-FM番組案内から https://www.nhk.jp/p/rs/PNLR68K4Y6/schedule/ らじるらじる https://www.nhk.or.jp/radio/player/?ch=fm 聞き逃しだと https://www.nhk.or.jp/radio/ondemand/ ※今回この番組があるかは、未だ不明です。
前回までのPCからの情報流出防止と逆に余計な広告がWindowsで表示されている部分は、まだ放置していますが、まず、前回の検索ボックスとBing検索との関係遮断で、しばらく様子を見て欲しいのです。 この状態で、しばらく操作してみて、PCの各操作に悪影響が無いことを確かめてください。 そして、問題ないことを確認できたのなら、ここで、もう一度、システムの復元ポイントを保存して、それから、次の措置へと進めてい…
初めには、「設定」を利用すると書きましたが、”検索ボックス”問題の完全措置はレジストリ変更が望ましいようです。操作を誤るとWindowsが立ち上がらない場合があるので、注意深く、今回の記事内容や今回リンクしたネット情報を十分理解してから措置をお願いします。 なお、今回はWindowsシステム全体の事項ではなく、ログインしているユーザーだけに影響します。ですから、このPCを利用…
PCのWindowsの懸念事項のほうが、放置しておけないことだとは判っているのですが、こちらの電磁気学も今年最初に約束した事項なので、少しでも前に進めたい事情もあって、共に交互に進めたいと思っています。 ですから、PCの問題は次回に続きをやります。 （本論） 空間に距離r[m]隔てて2つの電荷q1とq
今回は、最初の段階は「設定」から各種設定を変更していくのですが、その安全対策として、設定変更する前に「システムの復元」機能で、現在の状態を「システムの復元の作成」により「復元ポイント」を作成して保存しておくことで、システムが万一不調となった場合に備えておくための措置を準備編として行います。 ※これに詳しい方は、スキップして、自ら…
たぶん、検索ボックスが古いWindowsから現在の変わっている状況をご存じないかたには、見出しは意味不明だと思います。しかし、Windows10/11を使っている全員、今回の問題は他人事ではありません。 前回までに2回、Windows10/11利用環境の弊害と対策について述べています。 1. シャットダウン時、異常に時間がかかる問題の原因となっている「高速スタートアップ」を禁止措置 2. Windowsのシステム診断：WindowsUpdate…
工学の場合は「場」ではなく、電界といったように「界」で表しますが、この場合に「界」という表現は使いません。工学の場合であっても、ここは、「場」表現で理解ください。 （本論） 1. 音波による「場」⇒音場では？ 私達の感覚で実感できるものに音があります。これは、物が振動することで発生する空気の波（音波）だということは、誰でも理解できていることだと思います。 …
皆さんは電波利用税はどのように納付されていますか？ 私は、今まで近くの郵便局の窓口で支払いしていました。郵便局は近くにあって、徒歩で5分程度、車なら2分もあれば到着できるので、それでも問題無いのですが、･･･ 実は、長らくインターネット銀行を利用せずに放置していたので、まもなく10年経過するおそれがありました。これに対処するために、今回、インターネット銀行で、初め…
昨日、PCに関する二題の記事をアップしました。どちらも、最近の自分のPCに直接かかる問題でしたので、ネット情報を頼りにかなり勉強しました。これにかかる真理にはまったく到達できていませんが、勉強すればするほど、Windowsの中身が怪しくなってきています。 ※これは、今に始まったことでなく、Windows95から継続している事柄で、Windowsはこれからも常に未…
以前に紹介した自宅のWindows11のノートPCにおいて、「高速スタートアップ禁止」にも関わらず、正常に電源断ができないことについて、その発生原因のひとつと思える再現事例が判明したので公開します。 ただ、これも必ず発生するということではなく、【あるタイミングにより】という程度でしか判っておりません。しかし、その対処については、簡単なので、同様の経験があるのでしたら、参考…
現在のネット環境（今月20日に切替予定）の実態調査の最終として、うちでは、最新のWindows11搭載のNote-PCでいつも利用している5GHz帯の高速回線接続した場合の”みんそく”調査になります。 ただし、同回線は、リビング設置しているTV機も同時に使用している関係から、いつも最速での接続とは限りません。それと無線アクセスポイントとこれら端末の距離が離れているため、5GHz帯の電波状…
前回の万有引力の法則に近い式で、静電気に関する最初の公式が判明したのが、クーロンの法則になります。 これは、式の導出により導いたものではなく、発見者のクーロンが、当時としては、最新の測定器であった「ねじりばかり」という装置を使って、ほんの微小な力の変化の測定を粘り強く行って、その結果に基づいた式となっています。 （本論） 1.クーロンの法則式 1 …
前回のデスクトップPCよりは新しいのですが、2013年製夏モデルで、Windows8.0とWindows7の両方が最初からインストールされていたモデルで、当時はWindows7で使用していて、現在は、Windows10になっているノートパソコンによる自宅からのインターネットアクセス状況を調査した結果です。 今は、アマチュア無線のネットクラスターとハムログ、あるいは、PC-AUDIOの音楽再生に使用しているもので…
今回は、まだ電磁気学の法則が見つかっていない時代の話です。当時は、既に万有引力については、法則（数式）化されていました。 ただ、当時は万有引力は”遠隔作用”（作用するのに時間がかからない。）としての理解です。今では、宇宙の遠い場所から到達する重力波として発見されており、電磁波と同じ、”近接作用”（作用するのに必ず時間を必要とする。）と波動性（波として伝達してい…
（今回課題の発端） 現契約先のプロバイダーの事情から本年7月～12月末までに自宅NET環境を他に乗り換える必要性に迫られ、現自宅のNETアクセスの実力と巷の現状の個人向けNET環境との比較をしたくて、いろいろと調査した結果になります。 （今回の主張） 最近、新しいPCへの買い替え記事を見かけます。このきっかけは、たぶんWindows10がいよいよ今月14日に一般的な期限を迎えるためだろうと思います。 それとイン…
