級数とは、無限数列の無限個あるすべての項の総和のことです。 級数は、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求められ、数列によって発散するものやある値に収束するものがあります。
級数とは、無限数列の無限個あるすべての項の総和のことです。 級数は、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求められ、数列によって発散するものやある値に収束するものがあります。
初項0または公比0の等比数列というのが存在するのかを等比数列の定義から調べてみます。
等比数列の項はnが大きくなるとどうなるか？（等比数列の極限）
等比数列ar^{n-1}（a:初項、r:公比、n:自然数） のnが大きくなったときの性質は公比rによって変わります。 r <1のとき、等比数列は0に収束します。 r=1のとき、等比数列はaに収束します。 r >1またはr=-1のとき、等比数列は発散します。
一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和は、n個の項の総和とそれに等比数列の公比を掛けたものとの差を利用して求めます。
階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。 隣り合う項の差のことを階差といい、ここにあらわれる数列なので階差数列と呼ばれます。 ある数列を{a_n}とすると、階差数列{b_n}の一般項は b_n=a_{n+1}-a_n より求められます。
数列の初項からではなく途中の項からの部分和、 例えば第m項から第n項までの和は第n部分和から第m-1部分和を引くことで求めることができます。 これを利用した問題とその解説をします。
自然数の平方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は n(n+1)(2n+1)/6 自然数の立方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は {n(n+1)/2}^2 となります。
1からnまでの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第n部分和）
1からnまでの自然数の総和は n(n+1)/2 となります。 このことを2通りの方法で確かめてみます。
数列のある項から別のある項までの和のことを部分和といい、特に初項から第n項までの和のことを第n部分和といいます。 数列の部分和をΣをもちいた表し方と性質・公式を解説します。
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和は a(1-r^n)/(1-r) または a(r^n -1)/(r-1) で求めることができます。
初項a、公差dの等差数列の初項から第n項までの和は n{2a+(n-1)d}/2 初項aから末項lまでの和は n(a+l)/2 となります。
等比数列とは、隣接する項同士の比が一定である数列のことです。 隣接する項同士の比のことを公差といいます。 公差がrの等比数列の漸化式は a_{n+1}=a_n・r と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a・r^{n-1} と書けます。
等差数列とは、隣接する項同士の差が一定である数列のことです。 隣接する項同士の差のことを公差といいます。 公差がdの等差数列の漸化式は a_{n+1}=a_n+d と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a+(n-1)d と書けます。
数列とは、数を一列に並べたもので、並べられたそれぞれの数のことを項といいます。 先頭の項から初項、第2項、第3項、…と並び、最後尾に末項があります。 数列の項の個数のことを項数といい、これが有限であるものを有限数列、無限であるものを無限数列といいます。
平行四辺形の成立条件とは、四角形がもっていれば平行四辺形となる性質のことです。 この成立条件には、「2組の対辺がそれぞれ平行」、「2組の対辺の長さがそれぞれ等しい」、「2組の対角の大きさがそれぞれ等しい」、「1組の対辺が平行かつ長さが等しい」、「対角線が互いの中点で交わる」の5つがあります。
台形を対角線で分割したときにできる三角形の面積の性質を4つ紹介します。
平行四辺形とは、2組の対辺がそれぞれ平行である四角形のことです。 平行四辺形の対辺の長さ、対角の大きさはそれぞれ等しくなります。 平行四辺形の1辺の両端の内角の和は180°です。 平行四辺形の対角線は互いの中点で交わります。 平行四辺形の面積は(底辺)×(高さ)で求めることができます。
等脚台形とは、主に典型的な形の台形の中で脚の長さが等しいもののことです。 等脚台形には、底辺の両端の内角が等しいという性質があります。 ほとんどの平行四辺形は等脚台形に含まれませんが、長方形だけが唯一の例外です。
台形とは、少なくとも1組の対辺が平行である四角形のことです。2組の対辺が平行である平行四辺形も台形の一種です。 台形の脚の両端の内角の和は180°です。 台形の面積は{(上底)+(下底)}×(高さ)÷2で求めることができます。
逆関数とは、ある関数と逆の対応関係をもつ関数のことです。 例えば、x=aとy=A、x=bとy=B、x=cとy=Cが対応するような関数y=f(x)があったとすると、この逆関数y=g(x)はx=Aとy=a、x=Bとy=b、x=Cとy=cが対応しています。
2つの平面αとβが平行であるとは、2つの平面に交線がないということであり、一方の平面上の任意の点からもう一方の平面へおろした垂線の長さが常に一定であることです。
三垂線の定理とは、平面α上にない点Pから平面αへ垂線をおろし、その足をH、点Hから平面α上の直線lへ垂線をおろし、その足をQとすると、直線PQは直線lに垂直となる、という定理のことです。
2つの平面が垂直であるとは、一方の平面上の点から交線へおろした垂線がもう一方の平面に垂直となることであり、二面角が90°であることです。
2つの平面が垂直であるとは、一方の平面上の点から交線へおろした垂線がもう一方の平面に垂直となることであり、二面角が90°であることです。
カントールの対角線論法とは、リストの対角線上に着目して論理を展開していく証明方法のことです。
関数とは、対応元1つにつき対応先がただ1つあるような関係のことをいいます。 変数yが何らかの対応規則により定められた変数xの関数であるとき、数式でy=f(x)と書きます。
反比例のグラフは双曲線なのでしょうか？ グラフを回転移動させて双曲線になるか確かめてみます。
関数y=f(x)のグラフを原点を中心に反時計回りにθだけ回転移動した後のグラフの方程式はf(x*cosθ+y*sinθ)=-x*sinθ+y*cosθとなります。
座標平面上の点(a, b)が原点を中心に反時計回りにφだけ回転移動すると、移動後の点の座標は(a*cos(φ)-b*sin(φ), a*sin(φ)+b*cos(φ))となります。
自分が数学を再認識するためのブログです。解説等をしているので学習の補助にご活用ください。
互いに素でない2つの整数に関する命題の真偽を調べる問題とその解説です。
フェルマーの小定理とは、素数pとpと互いに素な整数aについてa^(p-1)≡1 (mod p)が成り立つという定理のことです。
ウィルソンの定理とは、素数pについて(p-1)!≡-1 (mod p)が成り立つという定理のことです。
ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質
素数pとp未満の自然数kについてkx≡1 (mod p)を満たすp未満の自然数xが存在するという性質があることを確かめてみます。 また、ab≡1 (mod p)を満たすp未満の自然数a,bの組み合わせについて考えてみます。
互いに素な自然数A,Bについて連続するAの倍数B個をそれぞれBで割ったときの余りを一列に並べたものは整数0, 1, ..., B-2, B-1の並べ替えとなります。
by=f(ax)（a,b:正実数）のグラフは関数y=f(x)のグラフをx軸方向に1/a倍、y軸方向に1/b倍に伸ばしたものとなります。
微分係数の定義式を利用して、定義式とは異なる形の微分係数が求められる式であることを証明する問題です。
点が平行移動・対称移動した後の座標がどの様になるのかについて解説してみました。
1次関数y=ax+bはy=axをy軸方向への平行移動したものでしかない？
1次関数y=ax+bのbはy=axをy軸方向へ平行移動した結果であることしか表さないのでしょうか？
2点$(p_1,p_2),(q_1,q_2)$を通る直線$l$の方程式は \[\large y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2\] と表すことができます。 なぜこ...
点$(p,q)$を通る傾きが$m$の直線$l$の方程式は \[\large y=m(x-p)+q\] と表すことができます。 なぜこの式で表すことができるのでしょうか？
1次関数 とは、 \[y=ax+b\qquad(a,b:実数,a\neq0)\] という$y$が変数$x$についての次数が$1$の多項式によって表される関数のことです。 $a$は 傾き 、$b$は y切片 といいます。$a...
約分 約分 とは、分数の分母と分子を同じ数で割って より簡単な分数に直すこと です。 より簡単な分数とは、より小さい自然数をもちいて表される分数のことです。
符号を考慮した長さとは、測る際の基準の点と方向がある長さのことです。基準となる方向と同じ方向に測ったときは正の値をとり、逆の方向に測ったときは負の値をとります。
座標空間内の2点$A(x_a,y_a,z_a),B(x_b,y_b,z_b)$間の距離$AB$は \[\large AB=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}\] と表すことができます。 ...
座標平面上の2点$A(x_a,y_a),B(x_b,y_b)$間の距離$AB$は \[\large AB=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\] と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのかを考...
2点間の距離 とは、2点がどれだけ離れているかを表す$0$以上の値のことで、2点を結ぶ線分の長さのことです。 数直線上に座標が$a,b$である点$A,B$をとると、2点$A,B$間の距離$AB$は \[\large AB= b-a \ (= a...
三角形の傍心 とは、三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの内角に対する外角の二等分線の交点のことで、どの三角形にも傍心が3個存在します。 三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わる...
2直線$l,m$が1点で交わっているとき、$l,m$がつくる角の二等分線上の交点以外の点は$l,m$を接線とする円の中心となります。 このことを確かめてみます。
偶関数 偶関数 とは、すべての$x$で \[\large f(-x)=f(x)\] を満たす関数のことです。
三角形の内角と内心・外心と他の頂点を結んでできる角の関係を調べる
三角形の1つの内角とその三角形の内心または外心と他の頂点を結んだときにできる角の大きさにはどのような関係があるでしょうか？
四平方の定理とは、 四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい という定理です。 すなわち、四面体の互いに垂...
「上図の角度$x,y$をそれぞれ求めよ。 (1)の点$I$は$△ABC$の内心、(2)の点$O$は$△DEF$の外心である。」
\[\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}\] 上の数はどんな値をもつでしょうか？
二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで
二等辺三角形の性質を調べるところから始めて最終的に$30°-60°-90°$の直角三角形の3辺の比を求めてみます。 ただし、三角形の内角の和や三角形の合同、三平方の定理はすでにわかっているものとします。
正六角形の1辺の長さや対角線の長さから面積を求める公式をつくってみる
正六角形の面積を1辺の長さや対角線の長さから求める公式はどのようなものでしょうか？
$AB//CD$である台形$ABCD$の4辺の長さがそれぞれ$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$（ただし、$a>c$）のとき、台形$ABCD$の面積$S$は \[\large S=\fra...
「上図のように$∠A=60°$である$△ABC$の頂点$A$から辺$BC$へ垂線$AH$をおろしたとき、$AH=6,BH=3$となった。このときの$BH$の長さを求めよ。」
「上図の正十二角形の面積を求めよ。」
座標平面上の直線$l:y=ax+b$（$a,b:$実数）上の任意の点$P$を位置ベクトル$\vec{p}$をもちいて表す方法について考えてみます。
関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f'(a)$の定義式は \[\large f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\] です。 ここで、極限$\l...
平均変化率 とは、$x$の変化量に対する$y$の変化量の割合、言い換えれば$x$の増加量$1$あたりの$y$の変化量のことです。 変化の割合 ともいいます。
$a\leqq x\leqq b$で定義されている連続関数$y=f(x)$の微分係数を調べると$x=a$と$x=b$における微分係数がありません。 なぜこのようなことがいえるのでしょうか？
「濃度が$3$%の食塩水$200$gを加熱して水分をいくらか蒸発させた。 加熱後の食塩水の濃度を調べてみると$4$%であった。この$4$%食塩水の重さを求めよ。」
「上図の直線$l$を準線、点$F$を焦点とする放物線を通る点$A,B,C$を定規とコンパスで作図せよ。 点$A$は放物線の頂点、点$B$は放物線の頂点以外の点とし、点$C$は点$A,B$の作図法以外の方法で作図すること。...
複素数平面上の3点$A(α),B(β),C(γ)$がつくる角$∠ABC$は複素数$α,β,γ$をもちいて \[\large\angle ABC=\left \arg\frac{\gamma-\beta}{\...
複素数の偏角 $0$でない複素数$z$の偏角は複素数平面上の実軸の正の部分から原点と点$z$を結ぶ線分である動径まで反時計回りを正として測った角（一般角）のことです。$0$の偏角は定義できませ...
「$20$kmの道のりを出発直後から道のりのちょうど中間までを時速$6$km、残りを時速$4$kmで進んだ。このときの平均の速さは時速何kmか？」
ベクトルの成分 とは、あるベクトルの始点が原点となるように平行移動したときの終点の座標のことです。
位置ベクトル とは、1つの定点を始点とするベクトルのことです。始点を基準として点の位置をベクトルによって表すことができます。
図形の面積を変えずに変形することを 等積変形 といいます。 三角形においては頂点を自身を含む対辺に平行な直線上を移動させる変形が等積変形の1つとなります。 なぜ、この変形が三角形の等積変形となるのでし...
「上図のような$AB//CD$である台形$ABCD$がある。平行でない対辺$AD,BC$のそれぞれ$A,B$の側を延長し、その交点を$E$とする。また、辺$CD$上に点$F$をとり$△ABF$をつくる。 台形$A...
関数$y=f(x)$のグラフと直線$x=a,x=b$（ただし、$a<b$）とx軸で囲まれた部分をx軸を回転軸として1回転させてできる立体の体積は \[\large\pi\int^b_a\bigl\{f(x)\bigr\}^2dx\] で求めるこ...
球の中心からどのくらい離れた平面で切断すれば球の1/4の体積の立体を切り取れるか？
球を平面で2つの立体に切断して、そのうちの1つの立体の体積が球の体積の$\dfrac{1}{4}$となるとき、切断する平面は球の中心からどのくらい離れた位置にあるでしょうか？
直線$l$と平面$α$が平行であるとは、直線$l$と平面$α$がどれだけ延長しても交わらないことをいいます。
直線$l$と平面$α$が垂直であるとは、直線$l$と平面$α$が交わっていて、その交点を通る平面$α$上の直線がすべて直線$l$と垂直に交わっていることをいいます。
2次方程式は因数分解を利用して解くことができます。
2次方程式の解を平方根として求めることができます。
なぜa+(-b)=a-b、a-(-b)=a+bとなるのかを数直線で考える
正負の数の足し算において \begin{align*}a+(-b)&=a-b\\[1em]a-(-b)&=a+b\end{align*} が成り立ちます。 なぜこれらが成り立つのでしょうか？「 正負の数...
体積が半分ずつに切り分けられる円錐の底面に平行な面はどこにある？
円錐を底面と平行な面で2つの立体に切り分けてそれぞれの立体の体積が等しくなるとき、円錐と面の位置関係はどのようになっているでしょうか？
上図のような道路の$A$地点から各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決めて進みます。上に進む確率と右に進む確率がともに$\dfrac{1}{2}$のときの各交差点にたどり着く確率を簡単な方法で求めてみます。
「上図のような道路のスタート地点から上に進むか右に進むかをランダムに決めながら進む。上に進む確率が$\dfrac{1}{3}$、右に進む確率が$\dfrac{2}{3}$のとき、$A$地点、$B$地点、$C$地点へたどり着く確率を...
「上図のような道路のスタート地点からゴール地点まで各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決定しながら移動する。上に進む確率と右に進む確率はともに$\dfrac{1}{2}$である。 このとき、以下の問いに答え...
「次の直交座標を$(r\cos\theta,r\sin\theta)$（$r>0,0\leqqθ<2\pi$）という形で表せ。 (1)$\large(\sqrt{3},1)$ (2)$\large(7,-7)$ (3)$\large\l...
三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。
「 三角関数の加法定理 」では、$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$のみ単位円をもちいて導きましたが、他の$\sin,\cos$の加法定理も単位円を利用して導いてみます。
直交座標平面上の点$(a,b)$（$a\neq0$または$b\neq0$）は原点からの距離$r$、x軸の正の部分と反時計回りになす角$θ$とすると \[\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\the...
点$P$を通る直線$l$の垂線を作図する方法を、点$P$が直線$l$上にある場合とない場合の2通り紹介します。
「以下の(1)～(5)のうち$x\geqq3$と同値であるものをすべて選べ。 (1)$x=3$かつ$x>3$ (2)$x=3$または$x>3$ (3)$x>-1$かつ$x\geqq3$ (4)$x>-1$または$x\geqq3...
極座標から直交座標、直交座標から極座標への変換はどのようにするのでしょうか？
「次の数が素数であるかを判定せよ。素数でなかった場合は素因数分解を行うこと。 (1)$191$ (2)$259$ (3)$101$」
なぜ素数であるかを平方根以下の素数を約数としてもつかで判定できるのか？
自然数$n$が素数であるかはなぜ$\sqrt{n}$以下の素数を約数としてもつかどうかで判定できるのでしょうか？
極座標とは、基準となる固定された半直線と向きを定め、半直線の端点からの距離と基準の向きへの回転量によって点の位置を表す方法です。
問題はこちら↓ 小3の先日のテストに出た問題の一つ。大学受験でも解けない学生がいっぱいいるだろうし、数学好きを除き多くの大人は解けないだろう。 - Togetter
同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか？
「長方形の面積が$60$、対角線の長さが$13$であるとき、この長方形の長辺の長さを求めよ。」
直交座標と極座標はどちらも位置を表す方法ですが、これらはどのような違いがあるでしょうか？
一般角とは、符号を考慮した角度のことです。 符号を考慮しない角度は1つの定点から伸びる2本の半直線の間がどれだけ開いているかを評価するものなので負の数をもちいることはありませんが、一般角は基準となる半直線と向きを定めたことによって負の数をもちい...
「相異なる3点$O,A,B$とこれらの点を通らない直線$l$を考える。 2点$O,A$を通る直線と直線$l$との交点と2点$O,B$を通る直線と直線$l$との交点が同一の点であるとき、$O,A$を通る直線と$O,B$を通る直線が同一であることを示せ。」
正の数$a,b$について$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$は成り立つでしょうか？また、その逆は成り立つでしょうか？
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級数とは、無限数列の無限個あるすべての項の総和のことです。 級数は、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求められ、数列によって発散するものやある値に収束するものがあります。
初項0または公比0の等比数列というのが存在するのかを等比数列の定義から調べてみます。
等比数列ar^{n-1}（a:初項、r:公比、n:自然数） のnが大きくなったときの性質は公比rによって変わります。 r <1のとき、等比数列は0に収束します。 r=1のとき、等比数列はaに収束します。 r >1またはr=-1のとき、等比数列は発散します。
一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和は、n個の項の総和とそれに等比数列の公比を掛けたものとの差を利用して求めます。
階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。 隣り合う項の差のことを階差といい、ここにあらわれる数列なので階差数列と呼ばれます。 ある数列を{a_n}とすると、階差数列{b_n}の一般項は b_n=a_{n+1}-a_n より求められます。
数列の初項からではなく途中の項からの部分和、 例えば第m項から第n項までの和は第n部分和から第m-1部分和を引くことで求めることができます。 これを利用した問題とその解説をします。
自然数の平方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は n(n+1)(2n+1)/6 自然数の立方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は {n(n+1)/2}^2 となります。
1からnまでの自然数の総和は n(n+1)/2 となります。 このことを2通りの方法で確かめてみます。
数列のある項から別のある項までの和のことを部分和といい、特に初項から第n項までの和のことを第n部分和といいます。 数列の部分和をΣをもちいた表し方と性質・公式を解説します。
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和は a(1-r^n)/(1-r) または a(r^n -1)/(r-1) で求めることができます。
初項a、公差dの等差数列の初項から第n項までの和は n{2a+(n-1)d}/2 初項aから末項lまでの和は n(a+l)/2 となります。
等比数列とは、隣接する項同士の比が一定である数列のことです。 隣接する項同士の比のことを公差といいます。 公差がrの等比数列の漸化式は a_{n+1}=a_n・r と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a・r^{n-1} と書けます。
等差数列とは、隣接する項同士の差が一定である数列のことです。 隣接する項同士の差のことを公差といいます。 公差がdの等差数列の漸化式は a_{n+1}=a_n+d と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a+(n-1)d と書けます。
数列とは、数を一列に並べたもので、並べられたそれぞれの数のことを項といいます。 先頭の項から初項、第2項、第3項、…と並び、最後尾に末項があります。 数列の項の個数のことを項数といい、これが有限であるものを有限数列、無限であるものを無限数列といいます。
平行四辺形の成立条件とは、四角形がもっていれば平行四辺形となる性質のことです。 この成立条件には、「2組の対辺がそれぞれ平行」、「2組の対辺の長さがそれぞれ等しい」、「2組の対角の大きさがそれぞれ等しい」、「1組の対辺が平行かつ長さが等しい」、「対角線が互いの中点で交わる」の5つがあります。
台形を対角線で分割したときにできる三角形の面積の性質を4つ紹介します。
平行四辺形とは、2組の対辺がそれぞれ平行である四角形のことです。 平行四辺形の対辺の長さ、対角の大きさはそれぞれ等しくなります。 平行四辺形の1辺の両端の内角の和は180°です。 平行四辺形の対角線は互いの中点で交わります。 平行四辺形の面積は(底辺)×(高さ)で求めることができます。
等脚台形とは、主に典型的な形の台形の中で脚の長さが等しいもののことです。 等脚台形には、底辺の両端の内角が等しいという性質があります。 ほとんどの平行四辺形は等脚台形に含まれませんが、長方形だけが唯一の例外です。
台形とは、少なくとも1組の対辺が平行である四角形のことです。2組の対辺が平行である平行四辺形も台形の一種です。 台形の脚の両端の内角の和は180°です。 台形の面積は{(上底)+(下底)}×(高さ)÷2で求めることができます。
逆関数とは、ある関数と逆の対応関係をもつ関数のことです。 例えば、x=aとy=A、x=bとy=B、x=cとy=Cが対応するような関数y=f(x)があったとすると、この逆関数y=g(x)はx=Aとy=a、x=Bとy=b、x=Cとy=cが対応しています。
「 三角関数の加法定理 」では、$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$のみ単位円をもちいて導きましたが、他の$\sin,\cos$の加法定理も単位円を利用して導いてみます。
直交座標平面上の点$(a,b)$（$a\neq0$または$b\neq0$）は原点からの距離$r$、x軸の正の部分と反時計回りになす角$θ$とすると \[\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\the...
点$P$を通る直線$l$の垂線を作図する方法を、点$P$が直線$l$上にある場合とない場合の2通り紹介します。
「以下の(1)～(5)のうち$x\geqq3$と同値であるものをすべて選べ。 (1)$x=3$かつ$x>3$ (2)$x=3$または$x>3$ (3)$x>-1$かつ$x\geqq3$ (4)$x>-1$または$x\geqq3...
極座標から直交座標、直交座標から極座標への変換はどのようにするのでしょうか？
「次の数が素数であるかを判定せよ。素数でなかった場合は素因数分解を行うこと。 (1)$191$ (2)$259$ (3)$101$」
自然数$n$が素数であるかはなぜ$\sqrt{n}$以下の素数を約数としてもつかどうかで判定できるのでしょうか？
極座標とは、基準となる固定された半直線と向きを定め、半直線の端点からの距離と基準の向きへの回転量によって点の位置を表す方法です。
問題はこちら↓ 小3の先日のテストに出た問題の一つ。大学受験でも解けない学生がいっぱいいるだろうし、数学好きを除き多くの大人は解けないだろう。 - Togetter
同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか？
「長方形の面積が$60$、対角線の長さが$13$であるとき、この長方形の長辺の長さを求めよ。」
直交座標と極座標はどちらも位置を表す方法ですが、これらはどのような違いがあるでしょうか？
一般角とは、符号を考慮した角度のことです。 符号を考慮しない角度は1つの定点から伸びる2本の半直線の間がどれだけ開いているかを評価するものなので負の数をもちいることはありませんが、一般角は基準となる半直線と向きを定めたことによって負の数をもちい...
「相異なる3点$O,A,B$とこれらの点を通らない直線$l$を考える。 2点$O,A$を通る直線と直線$l$との交点と2点$O,B$を通る直線と直線$l$との交点が同一の点であるとき、$O,A$を通る直線と$O,B$を通る直線が同一であることを示せ。」
正の数$a,b$について$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$は成り立つでしょうか？また、その逆は成り立つでしょうか？
長方形の各頂点と任意の点を結ぶ4本の線分の長さにはどのような関係があるでしょうか？
有向線分とは、線分に向きの要素を加えたものです。 線分$AB$は点$A$と点$B$を結ぶ真っ直ぐな線のことですが、有向線分$AB$は点$A$から点$B$への向きをもつ線分$AB$のことで、点$A$から点$B$へ...
定積分$\int_a^b{f(x)}dx$はなぜ負の値になることがあるのでしょうか？
「$a<b$である自然数$a,b$の最大公約数を$\text{gcd}(a,b)$と表すとき、次の中で間違っているものはどれか？すべて選べ。 $\text{(i)}\ \text{gcd}(a,b)$の最大値は$a$である。 ...
\[\large 5-2x +3=2x-2\] 「上の方程式を解け。」
