座標平面上の任意の双曲線の方程式を、双曲線の定義に従って導いてみます。
座標平面上の任意の双曲線の方程式を、双曲線の定義に従って導いてみます。
中心が原点、2つの焦点がともにx軸上にある双曲線の方程式はx^2/a^2-y^2/b^2=1、 2つの焦点がともにy軸上にある双曲線の方程式はx^2/a^2-y^2/b^2=-1と表され、これらを標準形といいます。
双曲線とは、2つの定点からの距離の差が一定である点からなる曲線のことです。 2つの定点のことを焦点といいます。 2つの焦点を通る直線を主軸といい、主軸と双曲線の交点を頂点といいます。 同じ焦点、同じ距離の差でできる双曲線は2つあり、これらの頂点同士を結ぶ線分の中点を双曲線の中心といいます。
座標平面上の任意の楕円を表す方程式を楕円の定義に従って導いてみます。
中心が原点、2つの焦点がともにx軸またはy軸上にある楕円の方程式はx^2/a^2+y^2/b^2=1と表され、これを標準形といいます。 焦点がともにx軸上にあるものはa>b>0、y軸上にあるものはb>a>0となります。
楕円とは、2つの定点からの距離の和が一定である点からなる曲線のことです。 2つの定点のことを焦点といいます。 2つの焦点を通る楕円上の2点を結ぶ線分を長軸、長軸の垂直二等分線と楕円の2交点を結ぶ線分を短軸といいます。 長軸と短軸の交点を楕円の中心といいます。
三角関数sin(x), cos(x), tan(x)のグラフの形と特徴を見てみます。
三角関数の値は定義に従い単位円をもちいて求めます。 角度に対応する単位円周上の点からx軸へ垂線をおろすことでできる直角三角形の三角比より求めることができます。
三角関数とは、角度と三角比の値の間にある関数の関係に着目したもので、この関係を任意の角度に拡張したものです。 任意の角度への拡張は単位円をもちいます。
三角比とは、直角三角形の1つの鋭角に対して定まる2辺の長さの比です。 代表的な三角比にはsin, cos, tanがあります。
中心が原点、半径rの円を表す方程式はx^2+y^2=r^2、 中心が点(p, q)、半径rの円を表す方程式は(x-p)^2+(y-q)^2=r^2となります。 これは円の定義に従って導くことができます。
半径rの球の表面積は4πr^2となります。 この球の表面積の公式を球の体積の公式を利用して導いてみます。
半径rの球の体積は4/3 πr^3となります。 この球の体積の公式をカヴァリエリの原理を利用した方法で導いてみます。
錐体の体積は底面が合同で高さが等しい柱体の体積の1/3となります。 まず、カヴァリエリの原理と三角柱を利用して三角錐の体積の公式を導き、三角錐を利用してすべての錐体の体積の公式を導きます。
三角錐を底面に平行な平面で切断したときの断面は底面と相似か？
三角錐を底面に平行な平面で切断したとき、その断面は底面と相似な三角形となります。 このことを確かめてみます。 また、断面積は底面積をもちいてどのように表されるのかについても調べてみます。
カヴァリエリの原理には、平面図形に関するものと空間図形に関するものの2つがあります。 平面図形に関するものは「同じ高さの切り口の長さが常に等しいならば面積も等しい」、空間図形に関するものは「同じ高さの切り口の断面積が等しいならば体積も等しい」という法則のことです。
体積とは、空間図形の広さを数値で表したもので、1辺の長さが1の立方体の内部の広さが基本の体積となります。 この立方体を基本として、直方体、他の1辺の長さをもつ立方体、柱体の体積の公式を導きます。
円に内接・外接する正多角形を利用して円の面積の公式を導く（取りつくし法）
円に内接・外接する正多角形を利用して円の面積の公式を導いてみます。
円に内接・外接する正多角形を利用して円周率と円周の公式を導く
円に内接・外接する正多角形を利用して円周率や円周の公式を導いてみます。
半径rの円の面積はπr^2となります。 円を細かく分割して組み替える方法で説明してみます。
面積とは？（正方形・長方形・平行四辺形・台形・三角形の面積）
面積とは、平面上の図形の広さを数値で表したもので、1辺の長さが1の正方形の内部の広さが基本の面積となります。 この正方形を基本として、長方形、他の1辺の長さの正方形、平行四辺形、台形、三角形の面積の公式を導きます。
和と積が等しくなる2つの整数の組を求める問題と解説です。 2つの実数の組についても考えてみます。
確率とは、ある事象がどのくらい起きやすいかを数値で表したものです。 確率には「同様に確からしい」という仮定に基づいて考察する方法があります。 同様に確からしいとは、試行のどの結果の起こりやすさも同程度であるとする仮定のことで、各結果の起きる確率はすべて等確率となります。
2次関数とは、y=ax^2+bx+c（a, b, c:定数、ただしa≠0）で表される関数のことです。 2次関数y=ax^2+bx+cのグラフは放物線で、平方完成したy=a(x-p)^2+qという形から放物線の頂点の座標が(p, q)、軸が直線x=pであることがわかります。
直角三角形の相似条件とは、「斜辺と他の1組の辺の比が等しい」、「1組の鋭角が等しい」です。 これらは、三平方の定理や直角三角形であるという事実そのものによって三角形の相似条件と同等なものとなります。
三角形の相似とは、2つの三角形の形が同じで拡大や縮小をすることでちょうど重ね合わせられる関係のことをいいます。 このような関係となる条件として「3組の辺の比がすべて等しい」、「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」、「2組の角がそれぞれ等しい」があり、これらを三角形の相似条件といいます。
平行な3本の直線を横切るように直線を引くと、どんな直線でも平行線間の線分の長さの比は一定となります。 これが成り立つことを確かめてみます。
三角形を横切るように1辺に平行な直線を引くと、平行線で分割された辺の線分の比は等しくなります。 これが成り立つことを面積比を利用して証明します。
直角三角形の合同条件とは、「斜辺と他の1組の辺がそれぞれ等しい」、「斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しい」です。 これらは三平方の定理や内角の和の性質という直角三角形の性質により三角形の合同条件と同等なものとなります。
三角形の合同とは、2つの三角形の形と大きさが同じでちょうど重ね合わせられる関係のことをいいます。 このような関係となる条件として「3組の辺がそれぞれ等しい」、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」、「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」があり、これらを三角形の合同条件といいます。
0.999…と1が等しいのは本当でしょうか？ 異なる2つの実数間には別の実数が必ず存在するということから0.999…と1が等しいことを確かめてみます。
アポロニウスの定理とは、2つの定点A, Bからの距離の比が1:1ではない一定の比となる点をとると、その点は線分ABの内分点と外分点を直径の両端とする円周上にある、という定理のことです。 線分ABの内分点と外分点を直径の両端とする円のことをアポロニウスの円といいます。
三角形の内角・外角の二等分線と線分の比に関する定理は逆も成り立ちます。 このことを証明してみます。
九点円の中心は三角形の垂心と外心を結ぶ線分の中点となります。 このことを証明してみます。
三角形の頂点と定点を通る直線上に一定の比で点をとると相似な三角形をつくることができます。
九点円とは、三角形の各辺の中点、各頂点から対辺またはその延長へおろした垂線の足、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点を通る円のことで、オイラー円やフォイエルバッハ円とも呼ばれます。 この円がどの三角形にもあることを証明してみます。
三角形の3辺の長さがわかっていると内接円の半径を求めることができます。 3辺の長さから内接円の半径を求める公式を任意の三角形の場合と直角三角形の場合で導いてみます。
実数解のある指数方程式の例題8問と解説です。 指数法則や他の方程式の解法も利用して解く指数方程式の例題となっています。
対数方程式とは、真数が未知数である対数を含む方程式のことです。 1でない正の数aと実数bをもちいた方程式log_a(x)=bの実数解は対数の定義よりx=a^bとなり、 1でない正の数aと正の数cをもちいた方程式log_a(x)=log_a(c)の実数解はx=cとなります。
対数関数とは、定数aを底、独立変数xを真数とする対数log_a(x)の値を従属変数yの値とする関数のことで、y=log_a(x)と表されます。 対数関数y=log_a(x)がx>0で定義されているとき、値域はすべての実数となります。 指数関数y=a^xと対数関数y=log_a(x)は互いに逆関数です
対数log_a(M)は底aが0<a<1の場合、真数Mが0<M<1のとき正となり、M=1のとき0、1<Mのとき負となります。1<aの場合の対数は0<a<1の場合と正負が逆になります。 また、底aが0<a<1のとき真数の大きいほうが対数は小さく、1<aのとき真数の大きいほうが対数も大きくなります。
1以外の正の数の実数乗の大小関係は指数の大小関係から知ることができますが、逆に指数の大小関係は1以外の正の数の実数乗の大小関係から知ることができます。
階乗とは、n!（n:自然数）で表される計算のことで、1からnまでのすべての自然数を掛け合わせる n!=n×(n-1)×…×2×1 という計算を表します。
分母に未知数である文字が含まれる方程式は分母が0になる条件を最初に確認します。 それから方程式の分母を払って解きます。 方程式は分母が0になるときに成り立たないので、分母が0になるような解を振るい落とします。
1次方程式とは、未知数となる文字の次数の最大値が1である方程式のことです。 1次方程式は、方程式変形のための4つの基本変形、両辺に同じ数を足す、両辺から同じ数を引く、両辺に同じ数を掛ける、両辺を同じ数で割るを行うことで解くことができます。
実数解のある指数方程式の例題8問と解説です。
指数方程式はa^x=M （a, M:定数）という指数が未知のべき乗（指数関数）が含まれる方程式のことです。 この指数方程式が実数解をもつとき、どのように求めればよいのかを解説します。
負の数の整数乗(-a)^nは、指数が奇数のとき負の値をとり-a^nに等しくなり、偶数のとき正の値をとりa^nに等しくなります。 また、負の数の整数乗(-a)^nの絶対値は正の数の整数乗a^nに等しくなります。 負の数の整数乗の大小関係は、指数の偶数奇数の組み合わせで変化します。
対数とは、べき乗の値からみたべき乗の指数のことです。 実数範囲における対数やその性質、計算法則について解説します。
指数関数とは、定数aを底、独立変数xを指数とするべき乗a^xを従属変数yの値とする関数のことです。 指数関数は0<a<1のとき単調減少し、1<aのとき単調増加します。 指数関数y=a^xがすべての実数で定義されているとき、値域はy>0です。 指数関数は逆関数に対数関数をもちます。
正の数の実数乗の大小関係は、指数である実数b, cがb<cならば、底である正の数aが0<a<1のときa^b>a^c、 a=1のときa^b=a^c=1、 1<aのときa^b<a^cとなります。 これは、正の数の有理数乗の大小関係と同様です。
円に内接する台形が等脚台形となるのかを証明する問題とその解説です。
有理数乗の指数を無理数に限りなく近づけたときに収束する値が無理数乗の値と定義します。 実数乗は有理数乗と同じ計算法則（指数法則）が成り立ちます。
正の数の有理数乗の大小関係は、指数である整数s, tがs<tならば、底である正の数aが0<a<1のときa^s>a^t、 a=1のときa^s=a^t=1、 1<aのときa^s<a^tとなります。 これは、正の数の整数乗の大小関係と同様です。
正の数とその累乗根の大小関係は、被開平数aが0<a<1のとき 2以上の自然数nにおいて0<a<\sqrt[n]{a}<1、a=1のとき a=\sqrt[n]{a}=1、1<aのとき 2以上のnにおいて1<\sqrt[n]{a}<aとなります。
正の数の累乗・整数乗の大小関係は、 底である正の数aが0<a<1のとき、指数である整数p, qがp<qならばa^p>a^q、 1<aのとき、p<qならばa^p<a^qとなります。
有理数乗は累乗根により定義されます。 また、有理数乗には、整数乗と同様の計算法則が成り立ちます。
累乗根とは、自然数nと任意の数aについて、n乗してある数aになる数の総称です。n乗根とも呼ばれます。 aが正の数のとき、aのn乗根の中にただ1つだけ正の数が存在し、これは根号をつけて表すことができます。
累乗は指数が自然数でしたが、指数の範囲を整数全体に拡張して考えることができます。 0乗と負の整数乗とはどんな数か、そして整数乗で成り立つ計算法則を紹介します。
べき乗とは、a^nという形で表される計算方法のことです。 べき乗の1つである累乗とは、指数が自然数のべき乗（自然数乗）のことで、累乗a^nはaをn個掛け合わせることを表します。
三角形状に並べたブロックの1つの頂点を原点として他の頂点の座標を求める問題と解説です。
King Propertyとは、積分区間の中央を軸として対称移動させた関数に置き換えても定積分の値は変わらないという性質のことです。
xの2次式、3次式以外の多項式の因数分解公式も因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができるので、各公式の導出をしてみます。
xの3次式の因数分解公式はいずれも因数分解の基本、共通因数の括りだしで導き出すことができます。 xの3次式の因数分解公式それぞれの導出をしてみます。
xの2次式の因数分解公式はいずれも因数分解の基本、共通因数の括りだしで導き出すことができます。 xの2次式の因数分解公式それぞれの導出をしてみます。
x^2の係数が1でない2次式px^2+qx+rを因数分解するとき、整数係数の範囲の場合はたすき掛けをします。 たすき掛けで因数分解できなかったり整数係数以外の範囲で因数分解するときは、2次式からx^2の係数pを括りだし、x^2の係数が1の2次式をつくりだして因数分解します。
xの2次式x^2+px+q（p,q：実数）の因数分解はそれぞれの場合で適した方法があります。 x^2+px+qの因数分解方法をまとめてみました。
多項式の因数分解とは、1つの多項式を複数の整式の積の形で表すことです。これは、展開式を展開前の状態に戻す操作でもあります。 多項式の因数分解の基本は、共通因数を括りだすことです。
式の展開とは、単項式や多項式を掛け合わせて1つの多項式にすることです。 式の展開は、分配法則を利用して行います。 特定の多項式の掛け算における展開は公式となっており、これのことを展開公式や乗法公式といいます。
二項定理とは、(a+b)^nという2項式の累乗の展開式において、a^{n-k}b^kの係数はn個からk個選び出すときの選び方の総数に等しいという定理です。 この定理により、組み合わせの総数として求められる係数のことを二項係数といいます。
2本の辺が互いに交わって内部に三角形ができている自己交叉する多角形の角の和は、補助線を引いて単純な多角形をつくることで求めることができるようになります。
無限等差数列のすべての項の総和のことを等差級数といい、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。 初項a、公差dの等差級数は、a=d=0のときだけ0に収束し、それ以外の場合は発散して値をもちません。
無限等比数列のすべての項の和を等比級数といい、等比数列の第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。 初項a、公比rの等比級数はrによって大きく2つの場合があり、 r <1のとき、a/(1-r)に収束し、 r ≧1のとき発散して値をもたなくなります。
級数とは、無限数列の無限個あるすべての項の総和のことです。 級数は、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求められ、数列によって発散するものやある値に収束するものがあります。
初項0または公比0の等比数列というのが存在するのかを等比数列の定義から調べてみます。
等比数列の項はnが大きくなるとどうなるか？（等比数列の極限）
等比数列ar^{n-1}（a:初項、r:公比、n:自然数） のnが大きくなったときの性質は公比rによって変わります。 r <1のとき、等比数列は0に収束します。 r=1のとき、等比数列はaに収束します。 r >1またはr=-1のとき、等比数列は発散します。
一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和は、n個の項の総和とそれに等比数列の公比を掛けたものとの差を利用して求めます。
階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。 隣り合う項の差のことを階差といい、ここにあらわれる数列なので階差数列と呼ばれます。 ある数列を{a_n}とすると、階差数列{b_n}の一般項は b_n=a_{n+1}-a_n より求められます。
数列の初項からではなく途中の項からの部分和、 例えば第m項から第n項までの和は第n部分和から第m-1部分和を引くことで求めることができます。 これを利用した問題とその解説をします。
自然数の平方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は n(n+1)(2n+1)/6 自然数の立方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は {n(n+1)/2}^2 となります。
1からnまでの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第n部分和）
1からnまでの自然数の総和は n(n+1)/2 となります。 このことを2通りの方法で確かめてみます。
数列のある項から別のある項までの和のことを部分和といい、特に初項から第n項までの和のことを第n部分和といいます。 数列の部分和をΣをもちいた表し方と性質・公式を解説します。
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和は a(1-r^n)/(1-r) または a(r^n -1)/(r-1) で求めることができます。
初項a、公差dの等差数列の初項から第n項までの和は n{2a+(n-1)d}/2 初項aから末項lまでの和は n(a+l)/2 となります。
等比数列とは、隣接する項同士の比が一定である数列のことです。 隣接する項同士の比のことを公差といいます。 公差がrの等比数列の漸化式は a_{n+1}=a_n・r と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a・r^{n-1} と書けます。
等差数列とは、隣接する項同士の差が一定である数列のことです。 隣接する項同士の差のことを公差といいます。 公差がdの等差数列の漸化式は a_{n+1}=a_n+d と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a+(n-1)d と書けます。
数列とは、数を一列に並べたもので、並べられたそれぞれの数のことを項といいます。 先頭の項から初項、第2項、第3項、…と並び、最後尾に末項があります。 数列の項の個数のことを項数といい、これが有限であるものを有限数列、無限であるものを無限数列といいます。
平行四辺形の成立条件とは、四角形がもっていれば平行四辺形となる性質のことです。 この成立条件には、「2組の対辺がそれぞれ平行」、「2組の対辺の長さがそれぞれ等しい」、「2組の対角の大きさがそれぞれ等しい」、「1組の対辺が平行かつ長さが等しい」、「対角線が互いの中点で交わる」の5つがあります。
台形を対角線で分割したときにできる三角形の面積の性質を4つ紹介します。
平行四辺形とは、2組の対辺がそれぞれ平行である四角形のことです。 平行四辺形の対辺の長さ、対角の大きさはそれぞれ等しくなります。 平行四辺形の1辺の両端の内角の和は180°です。 平行四辺形の対角線は互いの中点で交わります。 平行四辺形の面積は(底辺)×(高さ)で求めることができます。
等脚台形とは、主に典型的な形の台形の中で脚の長さが等しいもののことです。 等脚台形には、底辺の両端の内角が等しいという性質があります。 ほとんどの平行四辺形は等脚台形に含まれませんが、長方形だけが唯一の例外です。
台形とは、少なくとも1組の対辺が平行である四角形のことです。2組の対辺が平行である平行四辺形も台形の一種です。 台形の脚の両端の内角の和は180°です。 台形の面積は{(上底)+(下底)}×(高さ)÷2で求めることができます。
逆関数とは、ある関数と逆の対応関係をもつ関数のことです。 例えば、x=aとy=A、x=bとy=B、x=cとy=Cが対応するような関数y=f(x)があったとすると、この逆関数y=g(x)はx=Aとy=a、x=Bとy=b、x=Cとy=cが対応しています。
2つの平面αとβが平行であるとは、2つの平面に交線がないということであり、一方の平面上の任意の点からもう一方の平面へおろした垂線の長さが常に一定であることです。
三垂線の定理とは、平面α上にない点Pから平面αへ垂線をおろし、その足をH、点Hから平面α上の直線lへ垂線をおろし、その足をQとすると、直線PQは直線lに垂直となる、という定理のことです。
2つの平面が垂直であるとは、一方の平面上の点から交線へおろした垂線がもう一方の平面に垂直となることであり、二面角が90°であることです。
2つの平面が垂直であるとは、一方の平面上の点から交線へおろした垂線がもう一方の平面に垂直となることであり、二面角が90°であることです。
カントールの対角線論法とは、リストの対角線上に着目して論理を展開していく証明方法のことです。
関数とは、対応元1つにつき対応先がただ1つあるような関係のことをいいます。 変数yが何らかの対応規則により定められた変数xの関数であるとき、数式でy=f(x)と書きます。
反比例のグラフは双曲線なのでしょうか？ グラフを回転移動させて双曲線になるか確かめてみます。
座標平面上の任意の双曲線の方程式を、双曲線の定義に従って導いてみます。
中心が原点、2つの焦点がともにx軸上にある双曲線の方程式はx^2/a^2-y^2/b^2=1、 2つの焦点がともにy軸上にある双曲線の方程式はx^2/a^2-y^2/b^2=-1と表され、これらを標準形といいます。
双曲線とは、2つの定点からの距離の差が一定である点からなる曲線のことです。 2つの定点のことを焦点といいます。 2つの焦点を通る直線を主軸といい、主軸と双曲線の交点を頂点といいます。 同じ焦点、同じ距離の差でできる双曲線は2つあり、これらの頂点同士を結ぶ線分の中点を双曲線の中心といいます。
座標平面上の任意の楕円を表す方程式を楕円の定義に従って導いてみます。
中心が原点、2つの焦点がともにx軸またはy軸上にある楕円の方程式はx^2/a^2+y^2/b^2=1と表され、これを標準形といいます。 焦点がともにx軸上にあるものはa>b>0、y軸上にあるものはb>a>0となります。
楕円とは、2つの定点からの距離の和が一定である点からなる曲線のことです。 2つの定点のことを焦点といいます。 2つの焦点を通る楕円上の2点を結ぶ線分を長軸、長軸の垂直二等分線と楕円の2交点を結ぶ線分を短軸といいます。 長軸と短軸の交点を楕円の中心といいます。
三角関数sin(x), cos(x), tan(x)のグラフの形と特徴を見てみます。
三角関数の値は定義に従い単位円をもちいて求めます。 角度に対応する単位円周上の点からx軸へ垂線をおろすことでできる直角三角形の三角比より求めることができます。
三角関数とは、角度と三角比の値の間にある関数の関係に着目したもので、この関係を任意の角度に拡張したものです。 任意の角度への拡張は単位円をもちいます。
三角比とは、直角三角形の1つの鋭角に対して定まる2辺の長さの比です。 代表的な三角比にはsin, cos, tanがあります。
中心が原点、半径rの円を表す方程式はx^2+y^2=r^2、 中心が点(p, q)、半径rの円を表す方程式は(x-p)^2+(y-q)^2=r^2となります。 これは円の定義に従って導くことができます。
半径rの球の表面積は4πr^2となります。 この球の表面積の公式を球の体積の公式を利用して導いてみます。
半径rの球の体積は4/3 πr^3となります。 この球の体積の公式をカヴァリエリの原理を利用した方法で導いてみます。
錐体の体積は底面が合同で高さが等しい柱体の体積の1/3となります。 まず、カヴァリエリの原理と三角柱を利用して三角錐の体積の公式を導き、三角錐を利用してすべての錐体の体積の公式を導きます。
三角錐を底面に平行な平面で切断したとき、その断面は底面と相似な三角形となります。 このことを確かめてみます。 また、断面積は底面積をもちいてどのように表されるのかについても調べてみます。
カヴァリエリの原理には、平面図形に関するものと空間図形に関するものの2つがあります。 平面図形に関するものは「同じ高さの切り口の長さが常に等しいならば面積も等しい」、空間図形に関するものは「同じ高さの切り口の断面積が等しいならば体積も等しい」という法則のことです。
体積とは、空間図形の広さを数値で表したもので、1辺の長さが1の立方体の内部の広さが基本の体積となります。 この立方体を基本として、直方体、他の1辺の長さをもつ立方体、柱体の体積の公式を導きます。
円に内接・外接する正多角形を利用して円の面積の公式を導いてみます。
円に内接・外接する正多角形を利用して円周率や円周の公式を導いてみます。
半径rの円の面積はπr^2となります。 円を細かく分割して組み替える方法で説明してみます。
二項定理とは、(a+b)^nという2項式の累乗の展開式において、a^{n-k}b^kの係数はn個からk個選び出すときの選び方の総数に等しいという定理です。 この定理により、組み合わせの総数として求められる係数のことを二項係数といいます。
2本の辺が互いに交わって内部に三角形ができている自己交叉する多角形の角の和は、補助線を引いて単純な多角形をつくることで求めることができるようになります。
無限等差数列のすべての項の総和のことを等差級数といい、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。 初項a、公差dの等差級数は、a=d=0のときだけ0に収束し、それ以外の場合は発散して値をもちません。
無限等比数列のすべての項の和を等比級数といい、等比数列の第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。 初項a、公比rの等比級数はrによって大きく2つの場合があり、 r <1のとき、a/(1-r)に収束し、 r ≧1のとき発散して値をもたなくなります。
級数とは、無限数列の無限個あるすべての項の総和のことです。 級数は、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求められ、数列によって発散するものやある値に収束するものがあります。
初項0または公比0の等比数列というのが存在するのかを等比数列の定義から調べてみます。
等比数列ar^{n-1}（a:初項、r:公比、n:自然数） のnが大きくなったときの性質は公比rによって変わります。 r <1のとき、等比数列は0に収束します。 r=1のとき、等比数列はaに収束します。 r >1またはr=-1のとき、等比数列は発散します。
一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和は、n個の項の総和とそれに等比数列の公比を掛けたものとの差を利用して求めます。
階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。 隣り合う項の差のことを階差といい、ここにあらわれる数列なので階差数列と呼ばれます。 ある数列を{a_n}とすると、階差数列{b_n}の一般項は b_n=a_{n+1}-a_n より求められます。
数列の初項からではなく途中の項からの部分和、 例えば第m項から第n項までの和は第n部分和から第m-1部分和を引くことで求めることができます。 これを利用した問題とその解説をします。
自然数の平方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は n(n+1)(2n+1)/6 自然数の立方数を小さい順にn個足し合わせたときの和は {n(n+1)/2}^2 となります。
1からnまでの自然数の総和は n(n+1)/2 となります。 このことを2通りの方法で確かめてみます。
数列のある項から別のある項までの和のことを部分和といい、特に初項から第n項までの和のことを第n部分和といいます。 数列の部分和をΣをもちいた表し方と性質・公式を解説します。
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和は a(1-r^n)/(1-r) または a(r^n -1)/(r-1) で求めることができます。
初項a、公差dの等差数列の初項から第n項までの和は n{2a+(n-1)d}/2 初項aから末項lまでの和は n(a+l)/2 となります。
等比数列とは、隣接する項同士の比が一定である数列のことです。 隣接する項同士の比のことを公差といいます。 公差がrの等比数列の漸化式は a_{n+1}=a_n・r と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a・r^{n-1} と書けます。
等差数列とは、隣接する項同士の差が一定である数列のことです。 隣接する項同士の差のことを公差といいます。 公差がdの等差数列の漸化式は a_{n+1}=a_n+d と書け、初項がaのとき一般項は a_n=a+(n-1)d と書けます。
数列とは、数を一列に並べたもので、並べられたそれぞれの数のことを項といいます。 先頭の項から初項、第2項、第3項、…と並び、最後尾に末項があります。 数列の項の個数のことを項数といい、これが有限であるものを有限数列、無限であるものを無限数列といいます。
平行四辺形の成立条件とは、四角形がもっていれば平行四辺形となる性質のことです。 この成立条件には、「2組の対辺がそれぞれ平行」、「2組の対辺の長さがそれぞれ等しい」、「2組の対角の大きさがそれぞれ等しい」、「1組の対辺が平行かつ長さが等しい」、「対角線が互いの中点で交わる」の5つがあります。
台形を対角線で分割したときにできる三角形の面積の性質を4つ紹介します。
