三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。
なぜ素数であるかを平方根以下の素数を約数としてもつかで判定できるのか?
自然数$n$が素数であるかはなぜ$\sqrt{n}$以下の素数を約数としてもつかどうかで判定できるのでしょうか?
極座標とは、基準となる固定された半直線と向きを定め、半直線の端点からの距離と基準の向きへの回転量によって点の位置を表す方法です。
問題はこちら↓ 小3の先日のテストに出た問題の一つ。大学受験でも解けない学生がいっぱいいるだろうし、数学好きを除き多くの大人は解けないだろう。 - Togetter
同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか?
「長方形の面積が$60$、対角線の長さが$13$であるとき、この長方形の長辺の長さを求めよ。」
直交座標と極座標はどちらも位置を表す方法ですが、これらはどのような違いがあるでしょうか?
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三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。
「 三角関数の加法定理 」では、$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$のみ単位円をもちいて導きましたが、他の$\sin,\cos$の加法定理も単位円を利用して導いてみます。
直交座標平面上の点$(a,b)$($a\neq0$または$b\neq0$)は原点からの距離$r$、x軸の正の部分から反時計回りになす角$θ$とすると \[\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\th...
点$P$を通る直線$l$の垂線を作図する方法を、点$P$が直線$l$上にある場合とない場合の2通り紹介します。
「以下の(1)~(5)のうち$x\geqq3$と同値であるものをすべて選べ。 (1)$x=3$かつ$x>3$ (2)$x=3$または$x>3$ (3)$x>-1$かつ$x\geqq3$ (4)$x>-1$または$x\geqq3...
極座標から直交座標、直交座標から極座標への変換はどのようにするのでしょうか?
「次の数が素数であるかを判定せよ。素数でなかった場合は素因数分解を行うこと。 (1)$191$ (2)$259$ (3)$101$」
自然数$n$が素数であるかはなぜ$\sqrt{n}$以下の素数を約数としてもつかどうかで判定できるのでしょうか?
極座標とは、基準となる固定された半直線と向きを定め、半直線の端点からの距離と基準の向きへの回転量によって点の位置を表す方法です。
問題はこちら↓ 小3の先日のテストに出た問題の一つ。大学受験でも解けない学生がいっぱいいるだろうし、数学好きを除き多くの大人は解けないだろう。 - Togetter
同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか?
「長方形の面積が$60$、対角線の長さが$13$であるとき、この長方形の長辺の長さを求めよ。」
直交座標と極座標はどちらも位置を表す方法ですが、これらはどのような違いがあるでしょうか?
一般角とは、符号を考慮した角度のことです。 符号を考慮しない角度は1つの定点から伸びる2本の半直線の間がどれだけ開いているかを評価するものなので負の数をもちいることはありませんが、一般角は基準となる半直線と向きを定めたことによって負の数をもちい...
「相異なる3点$O,A,B$とこれらの点を通らない直線$l$を考える。 2点$O,A$を通る直線と直線$l$との交点と2点$O,B$を通る直線と直線$l$との交点が同一の点であるとき、$O,A$を通る直線と$O,B$を通る直線が同一であることを示せ。」
正の数$a,b$について$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$は成り立つでしょうか?また、その逆は成り立つでしょうか?
長方形の各頂点と任意の点を結ぶ4本の線分の長さにはどのような関係があるでしょうか?
有向線分とは、線分に向きの要素を加えたものです。 線分$AB$は点$A$と点$B$を結ぶ真っ直ぐな線のことですが、有向線分$AB$は点$A$から点$B$への向きをもつ線分$AB$のことで、点$A$から点$B$へ...
定積分$\int_a^b{f(x)}dx$はなぜ負の値になることがあるのでしょうか?
「$a<b$である自然数$a,b$の最大公約数を$\text{gcd}(a,b)$と表すとき、次の中で間違っているものはどれか?すべて選べ。 $\text{(i)}\ \text{gcd}(a,b)$の最大値は$a$である。 ...
半円$AB$の直径$AB$上に点$C$をおき、$AB$に関して弧$AB$と同じ側に円弧があるように半円$AC$と半円$BC$を描きます。このとき3つの円弧によって囲まれる図形のことをアルベロス図形といいます。
$x^x$は底と指数ともに変数であるため、べき関数$x^a\ (a:定数)$でも指数関数$a^x\ (a:定数)$でもなく、これらの合成関数でもありません。 これを微分するためには以下のような方法で行います。
2数の相加平均と相乗平均の大小関係は \begin{align*}\frac{a+b}{2}&\geqq\sqrt{ab}\\ &(a\geqq0,b\geqq0)\end{align*} 等号成立は$a=b$ 3数...
\[f(x)= x \] 「上の関数$f(x)$を導関数にもつ関数$F(x)$を求めよ。」
「以下の連立方程式を解け。 \[\left\{\begin{aligned}x-3y+6z&=-4\\[0.5em]5x+3y-2z&=18\\[0.5em]-x+9y-20z&=15\end{aligned}\right.\]」
「Aさんがボールを投げ上げたところ$2[\mathrm{m}]$先にある高さ$3[\mathrm{m}]$の塀の上にある瓶に当たった。 ボールがAさんから瓶までの地点間を$5:3$に内分する位置で最高点に到達したとき、最高点におけるボールの高さを求めよ。 ボールがA...
「$OC=10,AC=15,BC=20,∠OCA=∠OCB=90°$である四面体$OABC$がある。この四面体に以下の条件が加わった場合の$AB$の長さを求めよ。 (1)$∠BAC=90°$ (2)$∠AOB=90°$」
「次の連分数が表す数を求めよ。 (1)$3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}}$ (2)$-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}$」 このような問題はどのように...
「半径が$4[\mathrm{cm}]$、弧の長さが$7[\mathrm{cm}]$であるおうぎ形の面積を求めよ。円周率は$\pi$とする。」
「次の不等式を解け。 (1)$\large (x+2)^3<8$ (2)$\large (x+1)^2(x-2)\leqq0$ (3)$\large x(x+2)(x-5)>0$」 積の正負から解く方法とグラフから解く方法の2通りで解いてみます。
「2定点$A(0,5),B(4,8)$それぞれからの距離の和が$6$である楕円の方程式を求めよ。また、この楕円のグラフのy座標が最小となる点の座標を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?
「上図の正八角形の面積を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?
三角形の重心とは、各頂点から対辺の中点へ引いた線、中線同士が交わる点のことです。 この重心には、中線を$2:1$に内分するという性質があります。 三角形には必ず重心が存在することと重心の性質について確かめてみます。
正多角形の内角と外角の大きさの比はどのようになるのでしょうか?
多角形の内角の和はどのように求めるのでしょうか? また、正多角形の1つの内角の大きさはどのように求めるのでしょうか?
整数係数の3次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a,b,c,d:整数,a\neq0)$の有理数解の候補は \[(有理数解)=\pm\frac{\ (dの約数)\quad}{\ (aの約数)\quad}\] となります。 なぜこの式によって有理数解の候補を挙げることが...
「上の(1)~(5)の中でおうぎ形であるものをすべて選べ。 点線と赤い点はそれぞれ図形の曲線部分のもととなる円の円周と中心を表す。」
三角形の垂心は、3つの頂点からそれぞれの対辺、またはその延長へ垂線を引いたときの交点となります。 どの三角形にも垂心があることを確かめます。