有理数乗は累乗根により定義されます。 また、有理数乗には、整数乗と同様の計算法則が成り立ちます。
複素数平面上の3点$A(α),B(β),C(γ)$がつくる角$∠ABC$は複素数$α,β,γ$をもちいて \[\large\angle ABC=\left \arg\frac{\gamma-\beta}{\...
複素数の偏角 $0$でない複素数$z$の偏角は複素数平面上の実軸の正の部分から原点と点$z$を結ぶ線分である動径まで反時計回りを正として測った角（一般角）のことです。$0$の偏角は定義できませ...
「$20$kmの道のりを出発直後から道のりのちょうど中間までを時速$6$km、残りを時速$4$kmで進んだ。このときの平均の速さは時速何kmか？」
ベクトルの成分 とは、あるベクトルの始点が原点となるように平行移動したときの終点の座標のことです。
位置ベクトル とは、1つの定点を始点とするベクトルのことです。始点を基準として点の位置をベクトルによって表すことができます。
図形の面積を変えずに変形することを 等積変形 といいます。 三角形においては頂点を自身を含む対辺に平行な直線上を移動させる変形が等積変形の1つとなります。 なぜ、この変形が三角形の等積変形となるのでし...
「上図のような$AB//CD$である台形$ABCD$がある。平行でない対辺$AD,BC$のそれぞれ$A,B$の側を延長し、その交点を$E$とする。また、辺$CD$上に点$F$をとり$△ABF$をつくる。 台形$A...
関数$y=f(x)$のグラフと直線$x=a,x=b$（ただし、$a<b$）とx軸で囲まれた部分をx軸を回転軸として1回転させてできる立体の体積は \[\large\pi\int^b_a\bigl\{f(x)\bigr\}^2dx\] で求めるこ...
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有理数乗は累乗根により定義されます。 また、有理数乗には、整数乗と同様の計算法則が成り立ちます。
累乗根とは、自然数nと任意の数aについて、n乗してある数aになる数の総称です。n乗根とも呼ばれます。 aが正の数のとき、aのn乗根の中にただ1つだけ正の数が存在し、これは根号をつけて表すことができます。
累乗は指数が自然数でしたが、指数の範囲を整数全体に拡張して考えることができます。 0乗と負の整数乗とはどんな数か、そして整数乗で成り立つ計算法則を紹介します。
べき乗とは、a^nという形で表される計算方法のことです。 べき乗の1つである累乗とは、指数が自然数のべき乗（自然数乗）のことで、累乗a^nはaをn個掛け合わせることを表します。
三角形状に並べたブロックの1つの頂点を原点として他の頂点の座標を求める問題と解説です。
King Propertyとは、積分区間の中央を軸として対称移動させた関数に置き換えても定積分の値は変わらないという性質のことです。
xの2次式、3次式以外の多項式の因数分解公式も因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができるので、各公式の導出をしてみます。
xの3次式の因数分解公式はいずれも因数分解の基本、共通因数の括りだしで導き出すことができます。 xの3次式の因数分解公式それぞれの導出をしてみます。
xの2次式の因数分解公式はいずれも因数分解の基本、共通因数の括りだしで導き出すことができます。 xの2次式の因数分解公式それぞれの導出をしてみます。
x^2の係数が1でない2次式px^2+qx+rを因数分解するとき、整数係数の範囲の場合はたすき掛けをします。 たすき掛けで因数分解できなかったり整数係数以外の範囲で因数分解するときは、2次式からx^2の係数pを括りだし、x^2の係数が1の2次式をつくりだして因数分解します。
xの2次式x^2+px+q（p,q：実数）の因数分解はそれぞれの場合で適した方法があります。 x^2+px+qの因数分解方法をまとめてみました。
多項式の因数分解とは、1つの多項式を複数の整式の積の形で表すことです。これは、展開式を展開前の状態に戻す操作でもあります。 多項式の因数分解の基本は、共通因数を括りだすことです。
式の展開とは、単項式や多項式を掛け合わせて1つの多項式にすることです。 式の展開は、分配法則を利用して行います。 特定の多項式の掛け算における展開は公式となっており、これのことを展開公式や乗法公式といいます。
二項定理とは、(a+b)^nという2項式の累乗の展開式において、a^{n-k}b^kの係数はn個からk個選び出すときの選び方の総数に等しいという定理です。 この定理により、組み合わせの総数として求められる係数のことを二項係数といいます。
2本の辺が互いに交わって内部に三角形ができている自己交叉する多角形の角の和は、補助線を引いて単純な多角形をつくることで求めることができるようになります。
無限等差数列のすべての項の総和のことを等差級数といい、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。 初項a、公差dの等差級数は、a=d=0のときだけ0に収束し、それ以外の場合は発散して値をもちません。
無限等比数列のすべての項の和を等比級数といい、等比数列の第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。 初項a、公比rの等比級数はrによって大きく2つの場合があり、 r <1のとき、a/(1-r)に収束し、 r ≧1のとき発散して値をもたなくなります。
級数とは、無限数列の無限個あるすべての項の総和のことです。 級数は、第n部分和のnを限りなく大きくしたときの極限によって求められ、数列によって発散するものやある値に収束するものがあります。
初項0または公比0の等比数列というのが存在するのかを等比数列の定義から調べてみます。
等比数列ar^{n-1}（a:初項、r:公比、n:自然数） のnが大きくなったときの性質は公比rによって変わります。 r <1のとき、等比数列は0に収束します。 r=1のとき、等比数列はaに収束します。 r >1またはr=-1のとき、等比数列は発散します。
「上図のような$AB//CD$である台形$ABCD$がある。平行でない対辺$AD,BC$のそれぞれ$A,B$の側を延長し、その交点を$E$とする。また、辺$CD$上に点$F$をとり$△ABF$をつくる。 台形$A...
関数$y=f(x)$のグラフと直線$x=a,x=b$（ただし、$a<b$）とx軸で囲まれた部分をx軸を回転軸として1回転させてできる立体の体積は \[\large\pi\int^b_a\bigl\{f(x)\bigr\}^2dx\] で求めるこ...
球を平面で2つの立体に切断して、そのうちの1つの立体の体積が球の体積の$\dfrac{1}{4}$となるとき、切断する平面は球の中心からどのくらい離れた位置にあるでしょうか？
直線$l$と平面$α$が平行であるとは、直線$l$と平面$α$がどれだけ延長しても交わらないことをいいます。
直線$l$と平面$α$が垂直であるとは、直線$l$と平面$α$が交わっていて、その交点を通る平面$α$上の直線がすべて直線$l$と垂直に交わっていることをいいます。
2次方程式は因数分解を利用して解くことができます。
2次方程式の解を平方根として求めることができます。
正負の数の足し算において \begin{align*}a+(-b)&=a-b\\[1em]a-(-b)&=a+b\end{align*} が成り立ちます。 なぜこれらが成り立つのでしょうか？「 正負の数...
円錐を底面と平行な面で2つの立体に切り分けてそれぞれの立体の体積が等しくなるとき、円錐と面の位置関係はどのようになっているでしょうか？
上図のような道路の$A$地点から各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決めて進みます。上に進む確率と右に進む確率がともに$\dfrac{1}{2}$のときの各交差点にたどり着く確率を簡単な方法で求めてみます。
「上図のような道路のスタート地点から上に進むか右に進むかをランダムに決めながら進む。上に進む確率が$\dfrac{1}{3}$、右に進む確率が$\dfrac{2}{3}$のとき、$A$地点、$B$地点、$C$地点へたどり着く確率を...
「上図のような道路のスタート地点からゴール地点まで各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決定しながら移動する。上に進む確率と右に進む確率はともに$\dfrac{1}{2}$である。 このとき、以下の問いに答え...
「次の直交座標を$(r\cos\theta,r\sin\theta)$（$r>0,0\leqqθ<2\pi$）という形で表せ。 (1)$\large(\sqrt{3},1)$ (2)$\large(7,-7)$ (3)$\large\l...
三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。
「 三角関数の加法定理 」では、$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$のみ単位円をもちいて導きましたが、他の$\sin,\cos$の加法定理も単位円を利用して導いてみます。
直交座標平面上の点$(a,b)$（$a\neq0$または$b\neq0$）は原点からの距離$r$、x軸の正の部分と反時計回りになす角$θ$とすると \[\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\the...
点$P$を通る直線$l$の垂線を作図する方法を、点$P$が直線$l$上にある場合とない場合の2通り紹介します。
「以下の(1)～(5)のうち$x\geqq3$と同値であるものをすべて選べ。 (1)$x=3$かつ$x>3$ (2)$x=3$または$x>3$ (3)$x>-1$かつ$x\geqq3$ (4)$x>-1$または$x\geqq3...
極座標から直交座標、直交座標から極座標への変換はどのようにするのでしょうか？
「次の数が素数であるかを判定せよ。素数でなかった場合は素因数分解を行うこと。 (1)$191$ (2)$259$ (3)$101$」
