ハッシュタグ記事一覧

電磁気学(48)球（極）座標：測座定数公式利用(4)ラプラシアン（∇^2V）【完了】

今はこちらが当ブログのメインテーマです。残るラプラシアンを導出すれば、これで球座標について完了します。 (本論) 一般形の直交曲線座標のラプラシアン表示 電磁気学(28)ベクトル解析の直交曲線座標(8)ラプラシアン（∇^2V） https://jo3krp2.seesaa.net/article/515700277.html ▽^2V ＝（1／h1 h2 h3）［（∂／∂u1）｛（h2 h3／h1）｝｛（∂V／∂u1）｝ …

2025/06/18 17:44

電磁気学(47)球（極）座標：測座定数公式利用(3)回転∇×A

回転（rotA）または∇×Aの場合は直角座標においてもx軸成分表現なら他のy軸成分とz軸成分の引き算になるので、式にすると覚えにくいのですが、行列式で記載するときれいにおさまります。今回の球座標においても行列式での表記を利用します。 （本論） 電磁気学(27)ベクトル解析の直交曲線座標(7)回転（∇×A） https://jo3k…

2025/06/16 10:20

電磁気学(46)球（極）座標：測座定数公式利用(2)発散∇・A

今回も一般形式の測座定数公式を使って導出します。それでも、式の途中は複雑化します。また、最終式についても円柱座標のようなシンプルな形にはなりません。ですから、とても暗記はできません。 （本論） 電磁気学(26)ベクトル解析の直交曲線座標(6)発散（∇・A） https://jo3krp2.seesaa.net/article/515521162.html で、測座定数を使った発散を求める公式は 直…

2025/06/15 09:49

電磁気学(45)球（極）座標：測座定数公式利用(1)∇演算子と勾配∇Vを求める

今回からは、電磁波関係でよく利用する球座標（3次元の極座標）を扱います。ここからは、素直に即座定数h1,h2,h3を利用して求めていきます。すると導出は簡単に行えます。但し、その裏側にある幾何学的意味も同時に理解しないとなりません。 （本論） (1) ∇演算子の導出 ∇演算子の直交曲線座標の一般形は、 ∂ ∂ ∂ ∇＝e1──…

2025/06/14 09:43

電磁気学(44)円柱（円筒）座標：測座定数公式を使用しない場合(7)∇・A計算【最終】

今回で、最終目的だった発散∇・Aが求まります。ただ、最初にも述べましたが、即座定数h1,h2,h3を使った公式を利用すると今回の式の導出より、はるかに簡単に求まります。ですから、公式の証明は難しいとしても、即座定数での変換をお薦めします。 （本論） ∇・A＝（∂／∂ρeρ＋(1／ρ)∂／∂φeφ＋∂／∂ez…

2025/06/13 10:09

電磁気学(43)円柱（円筒）座標：測座定数公式を使用しない場合(6)∇・A計算で必要な単位ベクトルを微分する【補足】

円柱座標における発散∇・Aを即座定数を使わず求めるために単位ベクトルの微分値が必要となります。 円柱座標(円筒座標）におけるベクトル演算子 https://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-20.html でも同様の説明があります。 今回はこの部分についてです。 （本論） 1. 円柱座標におけるベクトルAの各…

2025/06/12 09:28

電磁気学(42)円柱（円筒）座標：測座定数公式を使用しない場合(5)∇演算子の行列表示について【補足】

今回は、前回までの部分で説明を省略している部分について、補足します。 （本論） 1.行列と逆行列の積が単位行列となる計算 1 0 0 A-1A＝（0 1 0）＝1 （単位行列） ....(16) 0 0 1 cosφ －sinφ 0 A＝（sinφ cosφ 0 ） ....(15) 0 0 1 と …

2025/06/11 11:08

電磁気学(41)円柱（円筒）座標：測座定数公式を使用しない場合(4)∇演算子(3)【補足】

今回で、円柱座標における∇演算子を導出する証明は完成します。 (本論) 前回の最終式 ∂／∂x＝cosφ ∂／∂ρ－(sinφ／ρ) ∂／∂φ ∂／∂y＝sinφ ∂／∂ρ＋(cosφ／ρ) ∂／∂φ ∂／∂z＝1 .....(13) これを行列で表示しますと ∂／∂x ＝ cosφ －sinφ 0 ∂／∂ρ （∂／∂y）＝（sinφ cosφ 0 ）（1/…

2025/06/10 11:59

電磁気学(40)円柱（円筒）座標：測座定数公式を使用しない場合(3)∇演算子(2)【補足】

今回も直角座標の∇演算子から円柱（円筒）座標における∇演算子への座標変換の続きです。 (本論) 前回求めた最終式のひとつである ∂／∂x＝（∂ρ／∂x)(∂／∂ρ)＋（∂φ／∂x)(∂／∂φ)＋（∂z／∂x)(∂／∂z) ....(10) における ∂ρ／∂x,∂φ／∂x,∂z／∂xは、以前に求めた φ＝tan^-1（y／x） ...(11) ；tan^-1は"アークタンジェント"の意味 ρ＝√(x^2＋y^2) …

2025/06/09 10:17

電磁気学(39)円柱（円筒）座標：測座定数公式を使用しない場合(2)∇演算子(1)【補足】

今回は、∇演算子の円柱座標への変換を行います。それには、幾何学の知識があると簡単に解決できます。但し、これを数学的に証明する必要があります。 （本論） 1. 直角座標での∇演算子の表現 ∇＝（∂／∂x）i＋(∂／∂y）j＋（∂／∂z）k となり、各項は直角座標x,y,z方向の直線微増分の極限値を計算していること…

2025/06/08 10:14

電磁気学(38)円柱（円筒）座標の発散（∇・A）の別解答：測座定数公式を使用しない場合(1)【補足】

単位ベクトル、∇演算子、勾配、発散、回転、ラプラシアンの全てにおいて、偏微分式の考え方を理解していれば、即座定数h1,h2,h3を使用しなくても計算できることを説明するために、その代表として、単位ベクトル、∇演算子、発散（∇・A）での証明します。 ただ、この計算方法を見れば、即座定数を使った方が、ベクトルの各微分式がとても簡単に求まることが判ります。 （本論）

2025/06/07 12:11

電磁気学(37)円柱（円筒）座標でのベクトル表現(5)ラプラシアン（∇^2V）

電磁気学では、ラプラシアン（∇^2）は、電磁波の波動方程式で使われます。 直角座標では、 ラプラシアン∇^2＝∂^2／∂x^2＋∂^2／∂y^2＋∂^2／∂z^2 と表記する演算子です。 ここでは、スカラー量Vに作用しますから、その結果は、スカラー量です。 ベクトル量に作用する場合もあります。後の電磁波の波動方程式で出現する予定です。 （本論） 電磁気学(28)ベクトル解析の直…

2025/06/06 12:29

電磁気学(36)円柱（円筒）座標でのベクトル表現(4)回転（∇×A）

前回の発散よりもベクトルポテンシャルAの意味合いは、今回の回転（rot）のほうが、ぴったりと適合します。なぜなら、磁界H＝rotA＝∇×Aで求まるからです。 特にアンテナに流れる時間変動する電流から生じるベクトルポテンシャルによって、アンテナから電磁界を生じる部分での説明には、この∇×A

2025/06/05 10:11

電磁気学(35)円柱（円筒）座標でのベクトル表現(3)発散（∇・A）

前回のVは電位といったスカラー量でしたが、今回のAは任意のベクトル量です、電磁気学のAはベクトルポテンシャルを意味する記号として使われていますから、そのベクトルとして見て解釈するのも良いと思います。 （本論） 一般表現の発散divA＝∇・Aは、 電磁気学(26)ベクトル解析の直交曲線座標(6)発散（…

2025/06/04 10:04

電磁気学(34)円柱（円筒）座標でのベクトル表現(2)勾配（∇V）

ここからは、直角座標で示す、ベクトル式を円柱座標上の単位ベクトルで表現することを考えます。 （本論） 既に、 電磁気学(29)ベクトル解析の円筒（円柱）座標(1)∇演算子 https://jo3krp2.seesaa.net/article/515719188.html ▽＝iρ∂／∂ρ＋iφ（1／ρ）∂／∂φ＋iz∂／∂z ....(1.73) で∇演算子の円柱座標への座…

2025/06/03 10:03

電磁気学(33)円柱（円筒）座標での式（1.58）から即座定数h1,h2,h3の算定

今回は電磁気学（29)で円柱座標のh1,h2,h3を求めたものを式（1.58）を使った場合を説明します。 （本論）

2025/06/02 10:11

電磁気学(32)直交曲線座標への補足（3）測座定数h1,h2,h3と六面体の各要素を求める式

今回は、長文となってしまいました。それでも、全てを説明し尽すことは無理となっています。 （本論） ──────────────────── / ∂x ∂y ∂z h1＝√（───）^2+（───）^2（───）^2 ∂u ∂u ∂u ──────────────────── / ∂x …

2025/06/01 09:45

電磁気学(31)直交曲線座標への補足（2）極（球）座標での曲面の例

前回の直交する曲面の具体例として”極座標”を示します。そして、前回のdsu, dsv, dsw と du, dv, dwの違いを説明します。 （本論） 1.直交する曲面例 極（球）座標（r，θ，φ）において、u＝r＝一定の球面、v＝θ＝一定の円錐面、w＝φ＝一定の平面は互いに直交しています。 第1.17図（a）を参照

2025/05/31 10:09

電磁気学(30)直交曲線座標への補足（1）

この部分は、学生時代に習った「アンテナ本」の基礎部分に無く、「電磁気学本」でも、巻末にある付録での説明であることから、おそらく、学校教育で習っていない部分だろうと思っています。 これに対する説明を今回から、数回に分けて行います。 但し、測座定数h1,h2,h3を求める式の証明は、この付録説明文でも省略されています。つまり、証明はされていません。なぜなら、高専で習う数…

2025/05/30 09:34

電磁気学(29)ベクトル解析の円筒（円柱）座標(1)∇演算子

1.4.2 円筒（円柱）座標表示 座標面を表す微小要素du1，du2，du3 としますと 直角座標では、du1=dx, du2=dy,du3=dz と一致します。 ところが、円筒（円柱）座標では、次図のようになっていて

2025/05/29 10:26

電磁気学(28)ベクトル解析の直交曲線座標(8)ラプラシアン（∇^2V）

昨日のPCトラブルの続きがあって、HDDアクセスランプ表示のコネクターも誤ってマザーボードから抜いてしまって、適当に挿したのですが、フロントパネルにあるHDDアクセスランプが点灯していませんでした。直ぐに気が付いたのですが、その時は時間が無く、今朝、正しく差し込むことができて正常に表示できまた。 今のところPC本体から”電源ON”状態を示す表示は、これしかありません。特に…

2025/05/28 10:06

電磁気学(27)ベクトル解析の直交曲線座標(7)回転（∇×A）

前回記事でプレリリースした（次期製作予定）自宅アンテナは、その実装を先にやりたいと思っているのですが、昨今の7MHzの昼間における伝搬状況を見るとその熱意が冷めているのが現状です。（夜間の運用はしないつもり。）ただ、アンテナ材料とそれの設置に必要な工具等は、準備完了していて、リビングのPC作業机の横に積み上げたままとなっています。 さて、今回は電磁気学に関係する三次…

2025/05/26 10:26

電磁気学(26)ベクトル解析の直交曲線座標(6)発散（∇・A）

今回は、∇演算子を使った発散（▽・A）について、測座表示を使った一般形を示します。 なお、参考図では、各軸は直線で、それに沿う面u1,2,3や微小体積dVの各面dS1,2,3は平面ですが、これが曲面であっても成り立つことに留意してください。 (5) 直交曲線座標での発散（▽・A） ベクトルAの空間で、微小体積dVを d…

2025/05/24 09:12

電磁気学(24)ベクトル解析の直交曲線座標(5)▽演算子と勾配（▽V）

最近の昼間の7MHzの伝搬状況は不良のようです。原因はいろいろとあるのかもしれませんが、太陽活動が盛んなことから、D層の働きが強くなって、それを通過するのに減衰が大きくなっていることが主原因と考えています。特にD層の電子密度は、太陽天頂角に比例するため、正午付近でD層減衰は最大となります。 また、この季節はEs（Eスポ）発生が日本周辺だと活発なことから、これによる影響で…

2025/05/23 09:22

電磁気学(24)ベクトルの座標変換の数学基礎【補足】

高校数学で習う（習った）分野についての補足です、その内容は、ここで全て実施できませんので、見出しだけのところもあります。その大部分は高専の数学だと、1学年後半から2学年あたりに習う、「代数学・幾何学」の範疇になります。 （本論） 1. 極座標（x-y平面の場合） x＝rsinθ y＝rsinθ または r^2＝x^2＋y^2 tanθ＝y／x 2.座標の変換（回転） …

2025/05/22 09:21

電磁気学(23)ベクトル解析の直交曲線座標表示(4)球座標系

今回の直交曲線座標の表現のまとめを兼ねて、電磁気学において、よく利用される「球座標」について詳しく解説しています。 （本論） 位置ベクトルrの方向となるdS1＝drは、直線です。 （∵位置ベクトルrの大きさが「r」であって、その微増分がdr） そして、rとzとのなす角度θで、dθは、その微増分となって、このdθによるd…

2025/05/21 09:08

電磁気学(22)ベクトル解析の直交曲線座標表示(3)円筒座標系

昨日、自宅のある住宅街と隣接している（去年まで米作りしていた）2枚の田圃に測量が行われました。片方は、田植え前に行うトラクターでの耕しが終わっていたのですが、ひょっとしたら、今年は、田植えをせずに売却処分をする（した？）かもしれません。 米不足が去年来から問題となっているのですが、いつも作業をしていた方は、相当な高齢者さんだったように見えました。ですから、農業を…

2025/05/16 09:49

電磁気学(21)ベクトル解析の直交曲線座標表示(2)直角座標と測座定数

電磁気学に関係ありませんが、今朝、2m長のモービルアンテナ単体でのSWR値を測定しようとしたところ、6.800MHz付近で同調しているのを確認できたので、周波数を上げるために建物から垂直に垂らしているラジアル線（3本）をそれぞれ、約60cm程度短くしたのですが、同調周波数は全く変化がありません。そのため、SWRの実測は今回中止しました。 直接接続しているラジアル線よりも建物アース側…

2025/05/10 09:54

電磁気学(20)ベクトル解析の直交曲線座標表示について(1)座標表現について

今回からの展開は、ベクトル解析の各公式が、三次元の座標表示について、直角座標から円筒座標と球座標（極座標）へと表示を変えた場合の式の形がどうなるかを説明していきます。 （本論） 1.4.1 ベクトル解析の直交曲線座標表示 (1) 直交曲線座標とは 直交曲線座標とは、円筒座標や球座標のように座標面が曲線であって、その交差が直交している座標系をいいます。そのうち、数学で用いられる直角座標は、第1.15図(a)…

2025/05/09 09:26