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大さんのプロフィール

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新発田市

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で詳しくやるブログです。

ブログタイトル
A4の宇宙
ブログURL
https://a4.hateblo.jp/
ブログ紹介文
数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。
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31回 / 365日(平均0.6回/週)

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ハンドル名
大さん
ブログタイトル
A4の宇宙
更新頻度
31回 / 365日(平均0.6回/週)
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A4の宇宙

大さんの新着記事

1件〜30件

  • 円の面積の導出

    概要 以前、弧の長さを用いて導出した\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)を用いて、円の面積を導出する。 導出 円に内接する正\( n \)角形と円に外接する正\( n \)角形を考える。\( n=6 \)の場合を図に示す。 \begin{tikzpicture}[x=4cm,y=4cm] \draw (0,0) circle (1); \draw (30:1) -- (90:1) -- (150:1) -- (210:1) --(270:1)--(330:1)--cycle; \draw (0:1.155) -- (60:1…

  • x が0に近い時のsin x の性質 弧の長さを用いる方法

    循環論法 以前、扇型の面積を挟み打ちして\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を導出した。この手法は分かりやすいが、実は循環論法の問題がある。 半径\(r\)を持つ円の面積が\(\pi r^2 \)であることは定義されたことや自明なことではない。証明するには三角関数の積分が必要であり、その際に既に\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を知っている必要があるためである。 対策 円周率\( \pi \)の定義は円の直径\( 2r \)と円周長の比であるので、円周長が\…

  • Markdown練習&メモ

    ルールの概要 HTMLコードの代わりに、特定のコマンド文字を使って文をマークアップする。 \, #, *, _, ^ コマンド文字はBlog上では表示されないが、直前にスラッシュ\をつけるとコマンド文字をそのまま表示できる(コマンド機能は失われる)。上でもそうしている。 編集時の改行は反映されない。半角スペース2つ入力で改行される。 空行を作ると段落分けされる。 見出し1 # 見出し1 # あああ [f:id:dai-ig:20190428164734j:plain:w100] 画像タグ。はてなブログの機能で自動入力される。w100で横幅を指定できる。 int main(void) *test…

  • 余弦定理の証明(鈍角に対向する辺の場合)

    概要 任意のにおいて、角に対向する辺の長さを角の余弦を用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。 \begin{eqnarray}c^2=a^2+b^2-2ab \cos C\end{eqnarray} 導出 が鋭角の場合を前回やったので、今回は図のように、鈍角の場合を考える。 点から辺に垂線を引き、補助線としたいが、鋭角の時と異なり辺とは交わらない。そこで下図のように辺を延長し、補助線同士の交点をとする。 と辺を用いて、上図のようにとがわかる。また、なのでと表せる。 とのが邪魔なので消去したい。 上図より、であることが分かる。 はを斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関…

  • 余弦定理の証明(鋭角に対向する辺の場合)

    概要 任意のにおいて、角に対向する辺の長さを角の余弦を用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。 \begin{eqnarray}c^2=a^2+b^2-2ab \cos C\end{eqnarray} 導出 今回は図のように、が鋭角の場合を考える。 点から辺に垂線を引き、補助線とする。交点をとする。 と辺を用いて、上図のようにとがわかる。また、なのでと表せる。 またはを斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。 \begin{eqnarray}c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab…

  • xが0に近い時のsin xの性質、面積を用いる方法

    概要 図のように、半径の円(緑)と、二つの直角三角形(青、赤)を考える。これらの直角三角形と、切り取られる扇形の面積を比較して、三角関数の微分に必要なを導出する。 導出 二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径と中心角を用いて表す。 小さな直角三角形の面積 斜辺がと定まることから底辺と高さを導ける。 \begin{eqnarray}S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\\&=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2}\end{eqnarray} 切り取られる扇形の面積 円全体の面積に角度の割合をかけて求める。…

  • xが0に近い時のsin xの性質

    以前導出したのマクローリン展開を書き下す。このマクローリン展開は無限の収束半径を持ち、本質的にと等しいのであった。 \begin{eqnarray}\sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\\\end{eqnarray} として両辺をで割る。 \begin{eqnarray}\frac{\sin x}{x} = 1-\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{5!}x^4-\frac{1}{7!}x^6+\cdots\\\end{eqnarray} 両辺のを取る。 \begin{eqnarray} …

  • 民主主義、三択に弱い説

    背景 最近ブレグジット問題がアツい。イギリスがEU離脱を決定したものの、その離脱プロセスが決まらず、締め切りだけが迫っている状況なのだ。 締め切りが来ると何も決まってないのに強制的にEU離脱となって大混乱を招くという。一体何故こんなことになってしまったのだろうか。 以下、モデル化してブレグジット投票の流れを追う。 イギリスの有権者3パターン 大体以下の3パターンに分かれている。 EU残留派 40%「EUに残留したい、離脱絶対反対!」 ソフト離脱派30%「EUからは離脱したいけど、ちゃんと交渉に沿ってやる」 ハード離脱派30%「EUから離脱したい!交渉で妥協とかしない!」 支持率の数値は適当なの…

  • 指数表記された三角関数の手触りを確かめる

    オイラーの公式を用いて、三角関数を指数関数形式で表せることを前回示した。 この形式でも三角関数としての性質が保たれていることを、いくつかの代表的な性質からか確認する。 との指数関数表記を再度書く。 \begin{eqnarray}\sin x&=&\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\end{eqnarray} \begin{eqnarray}\cos x&=&\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\end{eqnarray} 左辺を変形して右辺を目指す。 \begin{eqnarray}\sin 0&=&\frac{e^{i0}-e^{-i0}}{2i}\\&=&\f…

  • オイラーの公式から導かれる三角関数の記法

    概要 オイラーの公式を受け入れると三角関数を別の形式で表せる。 導出 オイラーの公式を再度書く。 \begin{eqnarray}e^{ix}=\cos x+i\sin x\end{eqnarray} 式中のをに置き換えてみる。 \begin{eqnarray}e^{-ix}&=&\cos (-x)+i\sin (-x)\\&=&\cos x-i\sin x\end{eqnarray} は偶関数なので変化しない。は奇関数なのでマイナスが付く。 マクローリン展開版の表記でも確認しておく。まず元の形。 \begin{eqnarray}e^{ix}&=&\left(1-\frac{1}{2!}x^2…

  • オイラーの公式

    概要 これまでにとのマクローリン展開を導出してきた。これらを用いてオイラーの公式を導く。 導出 のマクローリン展開(再掲) \begin{eqnarray}\displaystyle \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\end{eqnarray} のマクローリン展開(再掲) \begin{eqnarray}\displaystyle \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots\end{eqnarray} のマクローリン展…

  • e^xのマクローリン展開

    概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を行う。 導出 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&e^x\\f'(0)&=&1\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&e^x\\f''(0)&=&1\\\end{eqnarray} 三階微分 \begin{eqnarray}f'''(x)&=&e^x\\f'''(0)&=&1\\\end{eqnarray} 四階微分 \begin{eqnarray}f^{(4)}(x)&…

  • cos xのマクローリン展開

    概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を行う。 導出 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&-\sin x\\f'(0)&=&0\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&-\cos x\\f''(0)&=&-1\\\end{eqnarray} 三階微分 \begin{eqnarray}f'''(x)&=&\sin x\\f'''(0)&=&0\\\end{eqnarray} 四階微分 \begin{eqnarray…

  • sin xのマクローリン展開

    概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を行う。 導出 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&\cos x\\f'(0)&=&1\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&-\sin x\\f''(0)&=&0\\\end{eqnarray} 三階微分 \begin{eqnarray}f'''(x)&=&-\cos x\\f'''(0)&=&-1\\\end{eqnarray} 四階微分 \begin{eqnarray…

  • 交代調和級数の収束判定

    概要 調和級数の正負が1項ごとに入れ替わる、交代調和級数の収束判定を行う。 全項がプラスの調和級数は無限大に発散してしまったが、これは半分の項がマイナスなので、より収束しやすい級数と言える。 導出 足し合わされる数列の一般項をと書き、級数を代数的に表す。 \begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{\infty} a_k&=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\\&=&\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k - 1}}{k}\end{eqnarray} 1項目から項目までの部分和を実際にプロットしてみ…

  • ln(x+1)のマクローリン展開と収束半径 その2

    概要 前回に続いて、のマクローリン展開(を基準としたテイラー展開)を計算する。 をマクローリン展開すると以下のようなべき級数で表せることを前回示した。 \begin{eqnarray}f(x)&=&x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots\\&=&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\end{eqnarray} 収束半径の導出 をマクローリン展開したべき級数の収束半径を導出する。 、であるので、判定式は以下のように書ける。 \begin{eqnarray} \require{ca…

  • 収束半径の導出

    概要 ダランベールの収束判定法を使ってテイラー展開の収束半径を計算する。 ダランベールの収束判定法(再掲) 級数が収束するかどうか、以下の式で判定できる。 足し合わされる数列が以下の条件を満たすとき、級数は収束する。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1\end{eqnarray} が以下の条件を満たすとき、級数は発散する。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1\end{eqnarray} が以下の条件を満たすときは…

  • ln(x+1)のマクローリン展開と収束半径 その1

    概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を用いて、収束半径の概念を説明する。 導出 を基準にしてのテイラー展開を行う。 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&\frac{1}{x+1}(x+1)'\\&=&\frac{1}{x+1}\\f'(0)&=&1\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&-\frac{1}{(x+1)^2}(x+1)'\\&=&-\frac{1}{(x+1)^2}\\f''(0)&=&-1\\…

  • 収束判定の例題

    例題 を収束判定し、収束するならその値を求める。 この足し合わされる数列はでいきなり無限大に発散してしまうのでからの和とした。

  • 調和級数の収束判定

    の無限和、が収束するか考える。この無限和は調和級数と呼ばれる。 この数列は、明らかにを増加させるとだんだん小さくなっていくが、項を無限に足したら発散するかも知れない。 ダランベールの判定法 まずダランベールの判定法で収束するかを判定してみる。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&=& \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\\&=&\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}\\&=&\lim_{n \to \infty}\fr…

  • ダランベールの収束判定法

    概要 ある数列を考えたとき、その級数(=無限和)は無限大に発散するのか、それともある値に収束するのかを確認したい。どうすればよいか? \begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{\infty}a_n\end{eqnarray} 結論から言えば、数列が以下の条件を満たすとき、級数はどこかの値に収束する。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1\end{eqnarray} 以下の条件を満たすとき、級数は発散する。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{|…

  • 等躍度運動で分かるテイラー展開

    テイラー展開の性質 無限回微分可能な任意の関数を、ある点の近傍では下記のようなべき級数で表してよい。これをテイラー展開と呼ぶ。 \begin{eqnarray}f(x)&=&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!} f''(a)(x-a)^2+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^3+\cdots\\&=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\end{eqnarray} 以前導いた等躍度運動の式を用いて、テイラー展開の性質3つが成り立つ理由を説明する。 色々な関数をの無限べき級数で表してもよい。 項の係数は…

  • 等躍度運動

    等加速度運動 以前、空気抵抗を無視した自由落下運動、すなわち等加速度運動について書いた。 例えば宇宙空間でロケットを操縦しているとき、フットペダルを一定量踏めば、ブースターが一定の推力を発揮し、ロケットはすなわちの加速度で等加速度運動するだろう。 等躍度運動 しかし、実際にはフットペダルをいきなり一定量踏むのではなく、徐々に踏み込んでいくことになる。その間、推力は増加していくので加速度も一定にはならず、やはり一定の変化率で増加していく。 加速度が一定の割合で時間変化していく様子を微分方程式で表す。この比例定数、すなわち加速度の時間変化率を躍度(jerk)と言い、と書く。 \begin{equa…

  • 三平方の定理の証明

    三平方の定理(ピタゴラスの定理)を証明する。 すなわち、上図のような直角三角形を考えたとき、 \begin{equation}a^2+b^2=c^2\end{equation} が成り立つことを示す。 証明 合同な直角三角形を下図のように4つ配置した場合を考える。 ここで大きな四角形は、明らかに四辺の長さがの正方形である。 また白い小さな四角形は、四辺の長さが、四隅の角が垂直でない2角の和 であるので、やはり正方形である。 「大きな正方形の面積」は、「小さな正方形の面積と直角三角形4つの面積の和」に等しいので、以下の等式が成り立つ。 \begin{eqnarray}(a+b)^2=c^2+4\…

  • 自由落下運動 - 空気抵抗有無の比較2

    特殊解(再掲) 前回計算した速度と位置の特殊解(で)を再度書く。 ここでは落下物の速度、は位置、は重力加速度、は時間、は空気抵抗係数、は落下物の質量、は任意定数である。いずれも上方向(重力と逆方向)をとしていることに注意。 空気抵抗なし 速度 \begin{eqnarray}v=-gt\end{eqnarray} 位置 \begin{eqnarray}x=-\frac{1}{2}gt^2\end{eqnarray} 空気抵抗あり 速度 \begin{eqnarray}v&=&\frac{mg}{k} \left[ \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-1 \righ…

  • 自由落下運動 - 空気抵抗有無の比較1

    これまでに導いた空気抵抗無しと有りの2つの自由落下運動を比較してみよう。導いた一般解を再度書き出す。 ここでは落下物の速度、は位置、は重力加速度、は時間、は空気抵抗係数、は落下物の質量、は任意定数である。いずれも上方向(重力と逆方向)をとしていることに注意。 空気抵抗なしの自由落下 一般解 前回求めた一般解を再掲する。 速度 \begin{eqnarray}v=-gt+v_0 \tag{1}\end{eqnarray} 位置 \begin{eqnarray}x=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0 \tag{2}\end{eqnarray} 特殊解 初期値を代入して特殊解を作る。…

  • 自由落下運動 空気抵抗あり2

    速度の一般解(再掲) 前回、空気抵抗があるときの自由落下速度の一般解を求めた。 \begin{equation}v=C_1\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}\end{equation} ここでは任意定数、は空気抵抗係数、は時間、は落下する物体の質量、は重力加速度であった。 位置の一般解 速度の一般解の両辺をでさらに積分し、位置の一般解を求めることができる。 \begin{eqnarray}\int v dt&=&\int C_1\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}dt-\int \frac{mg}{k} dt\…

  • 自由落下運動 空気抵抗あり1

    物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。空気抵抗なしバージョンは以前やったので、今回はありバージョンを計算する。 まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。 \begin{eqnarray}ma=f\end{eqnarray} 物体には重力による引力と空気抵抗が働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。空気抵抗力は速度に比例して強くなり、その比例係数をと置く。これらを右辺のに代入する。 \begin{eqnarray}ma&=&-mg-kv\\\end{eqnarray} 空気抵抗力はの反対向きに働く…

  • 自由落下運動を微分方程式で解く

    物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。今回は空気抵抗を無視することにする。 まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。 \begin{eqnarray}ma=f\end{eqnarray} 物体には重力による引力だけが働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。これを右辺のに代入する。 \begin{eqnarray}ma&=&-mg\\a&=&-g\end{eqnarray} 加速度は位置を時間で二回微分したものと言える。をで1回微分したものを、2回微分したものをと書こう。 \begin{eqnar…

  • ヒポクラテスの定理

    図のように、直角三角形ABC、辺ABを直径とする半円、辺BCを直径とする半円、辺CAを直径とする半円がある。図の青い領域の面積はいくつか? ⊿ABCの面積と3つの半円の面積を計算する。 \begin{eqnarray}S_1&=&\frac{CA \times BC}{2}\\S_2&=&\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AB}{2}\right)^2\\S_3&=&\frac{1}{2}\pi\left(\frac{BC}{2}\right)^2\\S_4&=&\frac{1}{2}\pi\left(\frac{CA}{2}\right)^2\\\end{eqnarray}…

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