指数の基数を変換する

概要 のような指数関数があるとき、基数を好きな数に変換したいことがしばしばある。 一例として、任意の基数を持つ指数関数を微分するために基数をに変換したり、逆に変数分離法の微分方程式の解として現れたを目的の基数を持つ指数関数に変換したりすることが挙げられる。この方法を導く。 導出 以下の指数関数の基数をに変換したいとする。 \begin{eqnarray}y=a^x\end{eqnarray} 両辺のをとり、対数関数の性質を用いて変形する。 \begin{eqnarray}\log_b y= \log_b a^x\\\log_b y= x\log_b a\end{eqnarray} について整理…

対数の底を変換する

概要 のような対数関数があるとき、底を好きな数に変換したいことがしばしばある。 一例として、任意の底を持つ対数関数を微分するために底をに変換したり、逆にを積分するなどして現れた自然対数を目的の底を持つ対数に変換したりすることが挙げられる。この方法を説明する。 導出 以下の対数関数の底をに変換したいとする。 \begin{eqnarray}y= \log_a x\end{eqnarray} 指数関数として書き直す。 \begin{eqnarray}a^y= x\end{eqnarray} 両辺のをとり、対数関数の性質を用いて変形する。 \begin{eqnarray}\log_b a^y= \l…

半減期を微分方程式で表す その2

概要 前回、放射性物質の個数を表す微分方程式を導いた。微分方程式を解いて放射性物質が減っていく様子を式で表す。 式 解きたい微分方程式をもう一度書く。 \begin{eqnarray}\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)\end{eqnarray} 変数分離法で解く。として、両辺をで割る。 \begin{eqnarray}\frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda \end{eqnarray} 両辺をで積分する。 \begin{eqnarray} \require{cancel}\int \frac{1}{N(t)}\frac{dN(…