半減期を微分方程式で表す その1

概要 放射性原子が崩壊して残りの個数が減っていく様子を微分方程式から導き、半減期の概念を理解する。今回は解きたい微分方程式を作るところまで説明する。 考え方 放射性原子は全ての時刻でランダムに一定確率で崩壊する、この「一定確率で減っていく」ことをどのように扱うか、というのが難しいのだが、以下のように言い換えることで式に表すことができる。 「ランダムに一定確率で崩壊する」ということはすなわち、以下の2つの文章に等しい。 「崩壊する原子の数は元の原子の数に比例する」= 元の原子の数が2倍になったら崩壊する数も2倍になる 「崩壊する原子の数は観察する期間に比例する」= 観察する期間が2倍になったら崩…

C14年代測定を式で表す

概要 土中から発掘された遺跡や化石が何年前のものなのか分析するための手法、年代測定を式で示す。 原理 炭素の放射性同位体は宇宙線により毎年生産され、同時にβ崩壊により毎年消滅している。これらの平衡により地球上の炭素原子に占めるの割合はに保たれている。 また、生物は常に環境からの炭素摂取と排出を繰り返しているため、体内のもまた同じ割合に保たれている。しかし生物が死亡すると炭素の摂取が止まるため、遺骸内の量は減少していく。 これを用いて生物がいつ死亡したかを判定するのが年代測定である。どのように年代を分析するかを式で表す。 の半減期は5730年であり、5730年経過するごとに遺骸内のは元の量の半分…

バーゼル問題

概要 次ゼータ関数の収束判定を行いたい。これまでには無限大に発散し、は2よりも小さい数に収束することを示してきた。 が実際いくつに収束するのかを求める。以下にを書き下しておく。 \begin{eqnarray} \zeta(2)&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\ &=&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots \end{eqnarray} 導出 のマクローリン展開を書き下す。 \begin{eqnarray} \sin x&=&x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\fr…