xが0に近い時のsin xの性質、面積を用いる方法

概要 図のように、半径の円(緑)と、二つの直角三角形(青、赤)を考える。これらの直角三角形と、切り取られる扇形の面積を比較して、三角関数の微分に必要なを導出する。 導出 二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径と中心角を用いて表す。 小さな直角三角形の面積 斜辺がと定まることから底辺と高さを導ける。 \begin{eqnarray}S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\\&=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2}\end{eqnarray} 切り取られる扇形の面積 円全体の面積に角度の割合をかけて求める。…

xが0に近い時のsin xの性質 マクローリン展開を用いる方法

以前導出したのマクローリン展開を書き下す。このマクローリン展開は無限の収束半径を持ち、本質的にと等しいのであった。 \begin{eqnarray}\sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\\\end{eqnarray} として両辺をで割る。 \begin{eqnarray}\frac{\sin x}{x} = 1-\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{5!}x^4-\frac{1}{7!}x^6+\cdots\\\end{eqnarray} 両辺のを取る。 \begin{eqnarray} …

民主主義、三択に弱い説

背景 最近ブレグジット問題がアツい。イギリスがEU離脱を決定したものの、その離脱プロセスが決まらず、締め切りだけが迫っている状況なのだ。 締め切りが来ると何も決まってないのに強制的にEU離脱となって大混乱を招くという。一体何故こんなことになってしまったのだろうか。 以下、モデル化してブレグジット投票の流れを追う。 イギリスの有権者3パターン 大体以下の3パターンに分かれている。 EU残留派 40%「EUに残留したい、離脱絶対反対！」 ソフト離脱派30%「EUからは離脱したいけど、ちゃんと交渉に沿ってやる」 ハード離脱派30%「EUから離脱したい！交渉で妥協とかしない！」 支持率の数値は適当なの…

指数表記された三角関数の手触りを確かめる

オイラーの公式を用いて、三角関数を指数関数形式で表せることを前回示した。 この形式でも三角関数としての性質が保たれていることを、いくつかの代表的な性質からか確認する。 との指数関数表記を再度書く。 \begin{eqnarray}\sin x&=&\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\end{eqnarray} \begin{eqnarray}\cos x&=&\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\end{eqnarray} 左辺を変形して右辺を目指す。 \begin{eqnarray}\sin 0&=&\frac{e^{i0}-e^{-i0}}{2i}\\&=&\f…

オイラーの公式から導かれる三角関数の記法

概要 オイラーの公式を受け入れると三角関数を別の形式で表せる。 導出 オイラーの公式を再度書く。 \begin{eqnarray}e^{ix}=\cos x+i\sin x\end{eqnarray} 式中のをに置き換えてみる。 \begin{eqnarray}e^{-ix}&=&\cos (-x)+i\sin (-x)\\&=&\cos x-i\sin x\end{eqnarray} は偶関数なので変化しない。は奇関数なのでマイナスが付く。 マクローリン展開版の表記でも確認しておく。まず元の形。 \begin{eqnarray}e^{ix}&=&\left(1-\frac{1}{2!}x^2…