オイラーの公式

概要 これまでにとのマクローリン展開を導出してきた。これらを用いてオイラーの公式を導く。 導出 のマクローリン展開(再掲) \begin{eqnarray}\displaystyle \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\end{eqnarray} のマクローリン展開(再掲) \begin{eqnarray}\displaystyle \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots\end{eqnarray} のマクローリン展…

e^xのマクローリン展開

概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を行う。 導出 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&e^x\\f'(0)&=&1\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&e^x\\f''(0)&=&1\\\end{eqnarray} 三階微分 \begin{eqnarray}f'''(x)&=&e^x\\f'''(0)&=&1\\\end{eqnarray} 四階微分 \begin{eqnarray}f^{(4)}(x)&…

cos xのマクローリン展開

概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を行う。 導出 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&-\sin x\\f'(0)&=&0\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&-\cos x\\f''(0)&=&-1\\\end{eqnarray} 三階微分 \begin{eqnarray}f'''(x)&=&\sin x\\f'''(0)&=&0\\\end{eqnarray} 四階微分 \begin{eqnarray…

sin xのマクローリン展開

概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を行う。 導出 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&\cos x\\f'(0)&=&1\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&-\sin x\\f''(0)&=&0\\\end{eqnarray} 三階微分 \begin{eqnarray}f'''(x)&=&-\cos x\\f'''(0)&=&-1\\\end{eqnarray} 四階微分 \begin{eqnarray…