交代調和級数の収束判定

概要 調和級数の正負が1項ごとに入れ替わる、交代調和級数の収束判定を行う。 全項がプラスの調和級数は無限大に発散してしまったが、これは半分の項がマイナスなので、より収束しやすい級数と言える。 導出 足し合わされる数列の一般項をと書き、級数を代数的に表す。 \begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{\infty} a_k&=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\\&=&\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k - 1}}{k}\end{eqnarray} 1項目から項目までの部分和を実際にプロットしてみ…

ln(x+1)のマクローリン展開と収束半径 その2

概要 前回に続いて、のマクローリン展開(を基準としたテイラー展開)を計算する。 をマクローリン展開すると以下のようなべき級数で表せることを前回示した。 \begin{eqnarray}f(x)&=&x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots\\&=&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\end{eqnarray} 収束半径の導出 をマクローリン展開したべき級数の収束半径を導出する。 、であるので、判定式は以下のように書ける。 \begin{eqnarray} \require{ca…

収束半径の導出

概要 ダランベールの収束判定法を使ってテイラー展開の収束半径を計算する。 ダランベールの収束判定法(再掲) 級数が収束するかどうか、以下の式で判定できる。 足し合わされる数列が以下の条件を満たすとき、級数は収束する。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{ a_{n+1} }{ a_n } < 1\end{eqnarray} が以下の条件を満たすとき、級数は発散する。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{ a_{n+1} }{ a_n } > 1\end{eqnarray} が以下の条件を満たすときは…

ln(x+1)のマクローリン展開と収束半径 その1

概要 基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。のマクローリン展開を用いて、収束半径の概念を説明する。 導出 を基準にしてのテイラー展開を行う。 を微分してを代入し、を求める。 まずである。 一階微分 \begin{eqnarray}f'(x)&=&\frac{1}{x+1}(x+1)'\\&=&\frac{1}{x+1}\\f'(0)&=&1\\\end{eqnarray} 二階微分 \begin{eqnarray}f''(x)&=&-\frac{1}{(x+1)^2}(x+1)'\\&=&-\frac{1}{(x+1)^2}\\f''(0)&=&-1\\…

収束判定の例題

例題 を収束判定し、収束するならその値を求める。 この足し合わされる数列はでいきなり無限大に発散してしまうのでからの和とした。

調和級数の収束判定

の無限和、が収束するか考える。この無限和は調和級数と呼ばれる。 この数列は、明らかにを増加させるとだんだん小さくなっていくが、項を無限に足したら発散するかも知れない。 ダランベールの判定法 まずダランベールの判定法で収束するかを判定してみる。 \begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty}\frac{ a_{n+1} }{ a_n }&=& \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\\&=&\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}\\&=&\lim_{n \to \infty}\fr…