円の面積の導出

概要 以前、弧の長さを用いて導出した\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)を用いて、円の面積を導出する。 導出 円に内接する正\( n \)角形と円に外接する正\( n \)角形を考える。\( n=6 \)の場合を図に示す。 \begin{tikzpicture}[x=4cm,y=4cm] \draw (0,0) circle (1); \draw (30:1) -- (90:1) -- (150:1) -- (210:1) --(270:1)--(330:1)--cycle; \draw (0:1.155) -- (60:1…

x が0に近い時のsin x の性質 弧の長さを用いる方法

循環論法 以前、扇型の面積を挟み打ちして\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を導出した。この手法は分かりやすいが、実は循環論法の問題がある。 半径\(r\)を持つ円の面積が\(\pi r^2 \)であることは定義されたことや自明なことではない。証明するには三角関数の積分が必要であり、その際に既に\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を知っている必要があるためである。 対策 円周率\( \pi \)の定義は円の直径\( 2r \)と円周長の比であるので、円周長が\…