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なるほど算数&数学 https://math-negi.jp

昨今,アクティブラーニングなど指導形態に関する論議が盛んです.その流れに竿を差すようですが,もっと教材自体への興味関心を持つべしと考えます.この視点に立ち,小中高「算数・数学を貫く教材観」をベースに数学の話題を提供してまいります.

学校と教育行政に「49:51」の割合で勤務し,その後大学の教員養成にもチョロリと関わっています(学生には迷惑かも).教具作りのため100円ショップ通いは欠かせません.本サイトの主テーマは,解答説明や授業形態論ではなく,教材とその展開についてですので,はっきり言ってクラシックで地味な内容でしょう.が,何か共鳴しあうことができれば幸いです.よろしく! ※あ北→あきた→秋田 

あ北のネギボーズ
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2020/06/30

1件〜100件

  • “有理化”は一通りしかないのか?

    √5 など根号で示される無理数に係わる独特の変形:有理化(rationalization)を話題にします.ところで,1÷2.236 と 2.236÷5 について①筆算で計算するとき,どちらがラク? ②両者の値はほぼ等しくなりますが,なぜ? "有理化"とは?■ 有理化とは,無理式において,その一部を根号のない形に同値変形することをいいます.最も一般的なケースは,分母の有理化です.$$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5

  • θとsinθ の大小(つづき)

    前回に引き続き θとsinθ の大小を見極めて,三角関数の微分に関する「あの」重要定理(以下,超定理 ※1)の証明に進みます.※1 「超定理」↓Q1 (突然ですが)上式の計算について意味を解説してください.A1 1°=π/180≓0.017453(弧度法)ここでsin0.017453≓0.017452(関数アプリ:ke!sanより)よって, θ=0.017453(=1°) とおくと$$\frac{sinθ}

  • θ と sinθ の大小

    唐突な問いかけで「?」かも知れませんが,ある超重要定理ナットクへの"0.1歩"として話題に挙げました.■ その定理(以下,超定理)とはのことですが,登場する場面の多さ&広さ&深さが超定理の重要性を示しています.それもあってか,証明自体はサラッと流され,「ホラ,またこの定理が使われるよ」と論が展開され,同時に計算問題も次々と紹介されていく現状が散見できます.■ ここでは,息継ぎをするべく,算数や中学数学とのつながりに留意しながら証明自体に注目してみま

  • わが街の犬,最小値を知っている!

    以前,街中で見かけた光景です.話の展開に多少(かなり)ムリ感もありますが,お付き合いください.■ 図は右側角に空地がある交差点です.迷い犬が手前から向こうへ歩いていました.すると,彼(彼女)は,右折したかったのでしょうか,青線で示した「歩くべき歩道」など全く気にもせず,突然,ピンク色のルートを歩き出したのです!犬の選択を数学的にみると・・・■ 点Pにいた犬は,点Qに向かうため,直線PQ上を歩いたワケです.△AP

  • 身長と中間値の定理

    中間値の定理を身近な例で再認識しましょう.ネーミングも気になります.マラソンで中間地点と言うように,"中間=真ん中" と受け取るヒト,いないのかな?■ まず翻訳の件から.中間値の定理は,intermediate value theorem の訳なのですが,intermediate には,中間のほかに「~と~の間にある」という意味もあるのでよろしいワケ.⇒ 実は,中間の第一義的意味は,「aとbの間」なのです(複数の事典より).したがって,中間値の定理

  • 濃度:ガクッ!(全国学テ結果)

    過日,’22全国学テの結果が公表されました.学テを巡る議論はいろいろありますが,以前から小学校国語と算数は学力保証の視点で分析すべきと考えています.■ 理由は次の2点です.①平均正答率:比較的高い②正答分布表:グラフが右(高得点側)にかなりずれた正規分布「もどき」形になっている(グラフ:小6算数)したがって,難問を並べた構成ではなく,基礎(の基礎)をチェックをするべく, 通過(すべき)テスト ⇒ 学力保証 の色彩が強い

  • 筆算の「舞台裏」

    いまさら筆算?という声もありましょうが,筆算ルール・仕組みの大もとを確認することはムダではないと思います.■ 筆算が"how to指導"に傾く事情は分かるのですが,徹頭徹尾ドリルで押し続けるのはいかがかと感じます.■ 筆算に限らず,計算の原理を確認しておくことは, 直接子どもたちに説明する・しないは別にして,十分意味があります.①指導上の余裕にもつながること ②指導者の"姿勢&奥行き"を見抜く子どもへの対応(小学生でも結構います)1

  • 球の体積公式,どう扱う?

    球の体積Vはrを半径として $$V=\frac{4}{3}πr³$$と示され,中1で習います.■ 球の体積公式(以後,球Vとする)は,中学生には「証明はしない・できないが,計算はさせる」という何とも扱いにくい公式ですね."~と知られている"定理の代表です.正式には高校の数Ⅲで学びますが,数Ⅲは選択科目であり,履修率はおそらく10%未満かと.つまり,大半のヒト(国民)にとって,球Vは,13歳前後で紹介され,後は入試や就職試験等で公式を思い出すくらいの付き合いに

  • 3< 円周率

    定理や法則はすべて証明した上で次の段階へ進みたいものです.しかし実際は,π(円周率)=3.14159・・・のように,定理・法則の「ユーザー」と割り切るしかない例も少なからずあります.ただ,その「割り切り方」は大切ですね.「詳しくは大学で習うが,ここではおおよその値でいこう」はまずまずとして(※実際は大学でも関心をもつヒト以外はムリ)「ワケはいいから結果は覚えておけ」はワーストかと.円周率って何だっけ

  • 判断推理 ⇒ 改良ベン図でサクサク

    是非はともかく公務員への熱は高いものがあります.今年度の公務員試験(1次)もほぼ終了.既に次年度に向けた準備もスタートしています.■ 高倍率ゆえに,1次はペーパーテストで志望者を絞るしかなく,いきおい問題自体の難易度も上がっています.■ 中でも数的推理・判断推理と称される分野の結果が合否に大きく響いているようです(公務員に必要な資質かどうかは"?"ですが).ここでは,判断推理に焦点を合わせて,数学的思考を深めましょう.■ 上図

  • 公式 ⇒ with”イメージ”

    数式&公式はだいたい”無色・無味乾燥”です.したがって,そのまま平板に解説する ⇒ 暗記 になりがち.■ 暗記も必要ですが,知的好奇心を抜きにした公式の"暗記術"のみを披露・駆使していますと,いずれ壁にあたります.■ ここでは,暗記カイゼンを図るべく,公式の背景となるイメージ例を紹介します.⇒ イメージと一体で理解する数式・公式 2÷0.1 と 0.1÷2■ 2÷0.1 ですが,20

  • 「円錐の斜平面cut ⇒ だ円」を体感する

    2次曲線(放物線・だ円・双曲線)は,(直)円すいを平面でcutした際,その切り口として現れます.円すいは3次元,平面は2次元の図形ですから,2次曲線は,3次元と2次元図形の境界で見える曲線ともいえますね.(下図は,東京書籍数学C)■ 今回は,だ円に注目します.■ まず,左図のように,円柱を斜平面で切り取ったときの切り口がだ円になることはよろしいですね.中の図は「かぐや姫とだ円」です.右写真はレストランでよく見かける注文伝票を差し入む器

  • 責(攻)められる三角関数!

    過日,ある国会議員が財務金融委員会で「三角関数より金融教育を」と発言しチョット話題を呼んでいます.※かつて,鹿児島や大阪の(元)知事も三角関数を例に挙げ持論を展開しております.三角関数は責められる易い?■ 議員は,数学全般を踏まえた上で,時代が要請する金融教育の重要性を説き,その対極に三角関数を置いたのです.2次関数やベクトル,微積分ではありません.なぜ三角関数でしょうか?思い当たる節■ 金融教育の「引き立て役」として,

  • 重心はなぜ一つか

    重心をめぐるあれこれの話題は,かなり「スジ」のよい数学導入ツールになります!重心とは■ 物体の各部に働く重力をただ一つの力で代表させるとき,その作用点を重心Gといいます.(小学館デジタル大辞典による) なぜ重心は一つか■ 高校生や学生に「重心は一つしかない.なぜ?」と問うと,大半がキョトンとした表情をします.「聞いたことがない」「聞かれたことがない」「考えたこともない」.中には「そんなことを考えてもテストに出ない」という

  • 近似値は脇役か?

    日常生活で距離や面積,重さなど連続量を扱う際,数値は近似値で処理します.しかし,授業・テストとなるとどうでしょう.近似値は"冷遇"されていませんか?■ 授業やテストでは,近似値&近似式が"主役"になることはめったになく,付け足し程度で解説がなされることが多いようです(特にテストで顕著).■ なぜでしょうか?(1)近似値には「2.3ぐらい」「約55%」などのように,答にある種の幅が出来,「数学は答が一つだ!」という原理原則から外れ,子どもたちからは

  • 近似値は脇役か?

    日常生活で距離や面積,重さなど連続量を扱う際,数値は近似値で処理します.しかし,授業・テストとなるとどうでしょう.近似値は"冷遇"されていませんか?■ 授業やテストでは,近似値&近似式が"主役"になることはめったになく,付け足し程度で解説がなされることが多いようです(特にテストで顕著).■ なぜでしょうか?(1)近似値には「2.3ぐらい」「約55%」などのように,答にある種の幅が出来,「数学は答が一つだ!」という原理原則から外れ,子どもたちからは

  • ナヌッ!?とくる問題

    一瞬,ナヌッ!とくる問題ってありますね.twitter上で見かけた例やオリジナル問題から,いくつか紹介します.解く・解ける に留まらず,先に繋がることを期待します.Q1 下図で三角形ABCの面積を求めてください. Q2 次の問に答えてください.第30回富山県思考大会(小学生)より Q3 自然数{1,2・・・ 9} のうち,3つの数を用いてできる一番大きい数をかきなさい.同じ数をくり返して使用してもかまい

  • その数学用語 ⇒ 扱いが雑では?

    独特の言い回しが数学にはありますが,その扱われ方はどうでしょう.無意識に「ぞんざい」になっていませんか.■ 教科書をみると,中1数学から記述が急に「大人びて」きます.論理用語や記号が増加して,中には戸惑う学習者が表れても不思議ではありません.<中1の教科書から一部紹介>■ 字面は追うことはできても,何を主張しているのか分からないという声が大半でしょう.関数の定義そのものですから,中1生がナットクするのは難しい!?

  • カタチ優先の”協議”

    新学期ですので数学から少し離れて一般の話題提供をします.テーマは協議(=集まって相談すること)です.協議そのものに何ら疑問はありませんが,フト首を傾げたくなる場面が目に付くようになりました.■ 「ハイ!では,このあとは,いつものように各グループで話し合いをしてください.10分後,代表の人はグループ報告をしてください」「本日の研修会の進め方ですが,①担当指導主事による講義,②各班ごとの協議,➂各班からの報告、④まとめ,の順となります」&nb

  • ”無限”は小2で登場!

    無数・無限は数学(or哲学)で扱う大テーマの一つです.算数・数学についていろいろと論を展開する際,無数や無限との出会いをどう扱っていますか?■ 限りなく大きい(=無限大) の記号は,∞ と表され,高数Ⅲで登場します.すると「17歳前後で無限を習う」のだという見解が示されそうですが,果たして正しいのでしょうか.無限という語句は出ていませんが・・・■ 無限の中には,「いくら数えても切りがない」という場合も含まれます.この視点から算数

  • 必要(十分)条件って何?

    〇は△のための何条件か?という問がありますが,"問題のための問題"となってはいないか,という疑問&不信を以前から感じてきました.順を追って話を続けます.そもそも命題とは■ 命題とは真偽のつく文や式のことです.「2+3=5」も命題に入りますね.すると,数学教科書のどのページも命題だらけになります.そこで,少し絞ってみましょう.真か偽か■ 命題の典型は,p,q を条件として pならばq という形です.これをp⇒q

  • 円周率≓3 へのバッシング

    円周率π≓3.141592653589793(小数点以下15桁) を用いたのは,7年に及ぶ飛行を終え,奇跡の生還('10.6)として歴史に名を残した惑星探査機初代「はやぶさ」の制御に関わってのことでした(※異見あり.後述).■ すると,π≓3 というのは,何ともおおざっぱで"粗い"扱いですね.■ 平成生まれの方はご存じないかも知れません.今から20数年前,円周率πがマスコミで大々的に取りあげられたことがあります.πは迷惑そうでしたが(私見).

  • 数の大元は “大小判断”

    数の感じを数えることと混同してはなりません(ダンツィク「科学の言葉=数」岩波).音の発声が直ちに会話にはならないと同様,数の感じから数える(数の誕生)までは,気の遠くなるような時間がかかりました.■ 数の感じとは何でしょう.ダンツィクは,ある鳥の例を紹介しています.鳥が巣から離れたとき,巣にある卵を一つずつ抜き取っていく.その鳥は,残り3個まではソノママでいるが,残り2個なると,異変に気付いてその巣を捨てる.⇒ その鳥は,4と3の区別は付かないが

  • 整数方程式の”源流”

    整数方程式 5x-13y=1 などは,ごくありふれた問題で,解くことも「楽勝」でしょうが,少し立ち止まってみましょう.Q1 整数方程式 5x-13y=1 を解いてください.x,yなど未知数が2個の場合,通常,方程式は2本必須です.しかし「x,yは整数である」という条件が付くと,式の本数が1本でも解が求まることがあります(解がないときも.後述).A1 次は,定石による解法です.整数方程式が解けた!でエンドですか?■ 解を振り

  • スケートの刃に同情 ⇒ その衝撃!

    北京冬期五輪が始まりましたが,アイススケートの刃に"同情"します.もの凄い力が,あの細い刃にかかっているのでは?と想像するからです.いろいろな視点から考えてみましょう(知り合いの”物理プロ"G氏に協力をあおぎました).着地(氷)のとき,受ける衝撃とは■ 体重60kgの選手が,0.5m跳び上がって,着氷したときの衝撃力Fはどれくらいでしょう?実際は,斜めにジャンプするのですが,話を簡単にするため,垂直方向とします.聞き

  • 共通テスト 数ⅠA「山の仰角」問題 ⇒ 生活数理!

    過日終了した'04大学入学共通テストの数ⅠA「山の仰角」問題がチョット注目されました.ワケは,①日常生活数理問題であること,②地上配備迎撃システム「イージス・アショア」の新聞記事との関わり にあります.■ 重要な縮尺条件が付いており,水平方向:1/100000, 垂直方向:1/25000  のとき,三角比表をもとに,実際の角度(近似値)を10択から求めさせる内容となっています.■ 確かに三角比(tanθ)を用いてはいますが,解答の本

  • asinθ+bcosθ:合成 ⇒ 唐突感のカイゼン

    y=3sinθ+2cosθ という関数は,y=√13sin(θ+α) と変形(合成)できます.この合成公式,唐突に√13 や 意味が分からないα が登場しますので,評判よろしくない公式の代表格です.突然,√a²+b² でくくる ⇒ これが不評■ 唐突感ある授業の場合,その多くは,一方通行で,天下り式の展開となります.■ √13や α が登場する舞台裏,また,そもそも合成自体の必然性の理解も得たいですね.すばら

  • 大学共通テスト”選択肢”に注目します!

    間もなく50数万人が受験する大学共通テストが実施されます.ここではテスト内容ではなく(畏れ多く),マークシートテストに宿命的に伴う選択肢にまつわる話題を提供します.■ 大学共通テストを筆頭に,マークシートによる解答方式(以下,マークシート式)が中高大入試でかなり多く採用されています.■ '21共通テスト1設問ごとの選択肢数国・英・・・5択が減り大半が4択理・社・・・4,5択が多い.例外的に8,9択もある数・・・□に数や文字を選ぶ変則形

  • サイコロはフェアか?

    20年近く前,身近な教具であるサイコロをしげしげと見つめ,再認識いたしました.ある新聞記事をみたことがきっかけです.■ 本blogでは二度目の登場になりますが,入曽(いりそ)精密製(入間市)の超精密サイコロを話題にします.                            &nbs

  • 「7²+7²=98」 の活用

    ごくありふれた三平方の等式:7²+7²=98 が,意外にも高校生や学生の弱点をケッコウ突きます. ■ 図のように,短い棒aと長い棒bがあります.aを地面と垂直に立てて,bの端をaの先端部と地面に付けます.このとき,bと地面とでなす角θを答えてください.Q1 90cm と 100cm ⇒  θ は{①55°  ②65°  ③75°  ④80°  ⑤85° }くらい 

  • グラフ ⇒ 即,増減表か?

    今日,コロナ感染者数や気温,人口,経済の変動など,グラフに接する機会は日常的です.そのグラフですが,数学教科書に基づく授業展開は,当初から”増減・凹凸”onlyで,それ以外の分析視点が欠けていませんか?■ 2次関数や3次関数,三角関数などでグラフを扱いますが,"入試問題解きのためのグラフ"という色彩が濃く,グラフ自体にもっと焦点をあてるべきです.■ 変化の特徴をどうとらえ,その式化はどうするのか?この視点を踏まえた上で,その基本の基とし

  • “記号”を味方に!

    「数学は記号の学問である」と言われています.確かに,数も記号,演算(+, × , y' ・・・)も記号.だから,数学は世界共通"言語"なのでしょう.この記号を"敵"にしてはなりません.「記号は"約束"にすぎない」 との声?■ 図形の問題等で,補助線1本付け加えるだけで証明が一挙に解決する場合がありますね.図は,三角形の内角の和が180°の証明です.補助線Lを引くだけで一気に解決します.それに比して,記号の意味や意義などは,しょせん

  • “グラフ交点”の求め方:無神経では?

    グラフの交点を求めよ⇒それっ!連立方程式を解けばよい! とやや条件反射的に計算作業に取りかかる向きがあります.引っ掛かるところを紹介します.本テーマのきっかけ■ 数年前,学生が主体となって実施した中2生対象の復習で,次のような場面に遭遇しました.■ 学生「直線 x=2 をグラフに描いてください」S「・・・」.ほとんどの生徒のペンは止まったママ. やや憂鬱な沈黙が続き,空気が冷えてきました.ようやく,ある生徒が「x=2 って,答え

  • 内積って何だ?

    内積については,ひたすら問題解きのための重要ツールとして扱っているヒトが少なからずいるのでは? ナットク感もナルホド感もないとすれば,モッタイナイ話.まず 内積とは■ 内積の定義は次のようです.■ 「・」を普通のかけ算と混同(同一視)して,雑に書いたり,中には省略してしまう解答も見受けますが,答案の採点について言えば,極めてよろしくない印象を与えますね.「このヒトは数学のソモソモが分かっていない」⇒ その後は「厳しい目」で答案採点が続くことに

  • 行き6km/h,帰り4km/h ⇒ 平均の速さ?

    平均値が世の中を動かしています!経済指標や気象変動dataなど,平均値は日々カッポしています.この”平均”ですが,計算自体は実に単純で簡単.しかし,意外な盲点もありそうです.戸惑う”平均計算”■ 12kmの道のりを,行き:6km/h, 帰り: 4km/h で往復したとき,平均の速さは?⇒ (6+4)÷2= 5 km/h ではありません! ■ 往復距離:24 km,  かかった時間:往路2h,復路3hで計5時間

  • ノーベル賞⇒”北日本”低っ!

    ノーベル賞は人類の英知の象徴と言うべきもの.その受賞者について,国別ならまだしも,国内各地域ごとの"ローカルモノサシ"を当ててあれこれ述べるのは,的外れであることは重々承知しつつも,気になることを話題にします.これまでの受賞者一覧■ 地球規模で見れば,狭い日本列島,どこでも同じだろう,という向きもあるかも知れませんが,一応,受賞者を出身高校所在地別にプロットしてみると,次のようになります.ほぼ空白の「北日本」出身者

  • 宅配”120サイズ:〇〇円”の数理

    コロナ禍,今や宅配サービスは必須インフラとなりました.気になる料金ですが,ある大手宅配業者の料金表によると「120サイズ1610円」などとなっています.120サイズに限定して数理的な解釈を試みましょう."120サイズ○○円"の意味■ 「120サイズ」とは,荷物を直方体(各辺をa,b,c)として① 100cm<a+b+c≦120cm② (荷物の重さ)≦15kg の場合をいいます.①で"100cm&

  • 13日(金)は年に何回ある?

    "学習の進んだ子ども”の第3弾です.ある日「今日は13日(金)だね.年間に何回くらいあるのかな.ない年もあるのかな」とつぶやいたところ,数日後,T君(当時高1)がレポートを提出してきました・・・."3昔"も前のことであり,また,レポートのママ公表についてT君本人の了承を得るのも実際的ではなく(理由は後で),レポートの趣旨に沿って「13日(金)~」の解説をします(下はレポート冒頭の一部).平年の場合■ 次の表(下段)を見てく

  • 座標のスタート⇒”道案内”(小4)

    小4で「位置の表し方」を習います.つまり,簡単に言えば"道案内"です.日常でよく目にする道案内ですが,数学の土台を形成する座標概念の第一歩になります.小4算数(啓林館)■ 代表的な道案内3例を紹介します.道案内(Ⅰ&Ⅱ)■ さほど違いのないように見えるⅠとⅡですが,算数・数学のリーダーは,この「違い」に鈍感であってはなりません.<ⅠとⅡの違い>■ Ⅰ(左)とⅡ(右)を比較して,より基本(原型)に近いのはどちら

  • コイン&サイコロと確率

    各種保険料は,年齢や過去の発生数等を基に確率計算により決定されています.確率は統計とともに数学教育でも重視されつつあり,その存在感は強まっています(その是非は別として).しかし,今も昔も,確率は,超苦手・大嫌いというヒトがいます.本稿では,コインとサイコロをあげ,意外性ある確率の問いかけをいたします.どう説明します?Q1 「サイコロをふったとき,3以上の目が出る確率は, 4/6(=2/3) と習ったけど,目は {出る,出ない} のいずれかなので,答

  • 背理法とモヤモヤ感

    背理法ですが,まず,漢字表記から受けるイメージがよろしくありません.何しろ「理に背く」ですからね.実際,多くのヒトにとって,背理法との初対面の印象は,どこかごまかされたような,スッキリ感の持てない出会いとなっているようです.さらに,背理法に首をかしげていると,数学を得意としているヒトからは「数学論理の素晴らしさにカンドーする」みたいな言い方をされることもあるようで,背理法を巡って、教室は2分されるかもしれません.源流は算数に背理法の源流を算数に見出

  • 残念な ”y軸”!

    機械的(安易?)にy軸を用いている傾向ありませんか.もう少しy軸に気を遣って「彩り」を持たせると,算数・数学の展開もより充実すること確実です.親和性ある例日常生活とも親和性がある例を紹介します.社会や理科でよく使用されていますね.例1  x軸:時間,y軸:温度や降水量  例2  x軸:地域,y軸:リンゴ生産高これらは単純と言ったら失礼でしょうが,要するに,y軸が温度や生産高という1次元量ですので,理解度も進むワ

  • 面積を測る:タイヘン!

    量の中で,距離,重さ,温度,角度などは,それぞれモノサシ,秤,温度計,分度器という身近に見られる道具で計量することができます.しかし,面積については,どうでしょう.プラニメーターという面積計があります.図形の輪郭(りんかく)をなぞって1周すると面積を計測できるというプロが使用するもので,価格も結構します.アナログ式精密装置であり,教室内で子どもたちが遠慮なく使えるような教具ではありません.スマホでは,地図上の閉じた形の面積を表示するアプリや画像dataから

  • “ねじれの位置”の数値化

    空間において2直線がねじれの位置にあることを特殊なケースとして受け止めているヒトが少なくありません.はたしてそうでしょうか.そこで数値化を試みました.ねじれの位置とは中1の後半で学習します.※1の説明文だけですと「何言ってるか分からない」「イメージがわかない」というヒトが多いと思われます.中1という発達段階からするとムリもない話かと.そこで※2は 2直線が同一平面上にある・乗っかっている を示して

  • 暗号解読:スパコンで素因数分解は”一瞬”か?

    暗号アルゴリズムは,桁数の大きい数の素因数分解が難しいことをベースにしています.しかし,スーパーコンピューター富岳(世界一の性能. '21.6現在)にとって,素因数分解などまったく問題にせず,"瞬殺"解答となるのでは?と思う方いますよね.数年前,素因数分解の困難性への素朴な疑問,つまり,「スパコンなら一瞬即答ではないか」について,K氏(現在,h高校長)に相談したところ,氏の学部時代の友人である方(関西方面の大学教授)から氏経由で本テーマに関するコメントを頂戴

  • あみだくじ,重複しない?

    昔(室町時代)からあるクラシックくじです.ここでは,①ゴールは重複しないワケ,②ゴールに合うくじの作り方 について考えてみましょう.ルールを確認しておきます.縦線の上先端部に動点Pがあり,Pは次のように動きます.①縦線を上から下に向かう(=戻らない).②縦線L1,L2が横線mでつながっているとする.PがL1上にあるとき:Pはm上を動き,L2に移動する.PがL2上にあるとき:同様にしてL1に移る.ただし,横線mでつな

  • 宇宙人と会える?

    未確認飛行物体(UFO)ついては昔からいろいろと「語られて」きました.つい最近('21.5),米国防総省の元担当者の発言があり,また,近々同省から報告があるということで,注目が集まっています.超高度な知識と技術を備えた宇宙人が実在するのか,否かという論は「手に負えません」ので,それはさて置いて,別視点からチョロリと話題を提供します.キラキラ星に宇宙人はいない!星は大別して,次の二つ.① 恒星:自ら光を発し,そのエネルギー源は核融合反応である.②

  • やはり 0.999・・・=1 は疑問?

    ■ 0.999・・・=1 については,いつの時代も世代を超えて話題になります.ということは, 今日でも,ナットクのいく解釈・解説が不十分 という証左かも.■ 数学セミナー('19.11)で,数学界大御所の一松信氏(京大名誉教授)が取りあげていましたので,認識を新たにした次第です.やや 無理筋 の説明A1■ 手短で説得力に富み,ナットクするヒトも少なからずいます.しかし,多くの数学関係者が指摘するようにムリがあります.有限小数

  • 鈍角三角形面積 ⇒ Mさん(小学生)のナットク法

    ■ 三角形の面積公式は,s=ah÷2 (a:底辺の長さ,h:高さ) です.言うまでもなく鈍角三角形も含めての公式ですが,しっくりこない(釈然としない)ヒトもいるようです.■ その違和感なり不安感の大元は,高さが底辺から離れていることにありませんか?■ 数年前,山形県の小学生Mさんの自由研究作品と出会いました(「算数・数学の自由研究コンクール」理数教育研究所主催).残念ながら全国審査まで届きませんでしたが,教科書にある公式に正面から向き合った印象に残る作品で

  • このaは定数,変数どっちなんだ!

    ■ 1次関数 y=ax についてです.yはxの関数ですから,当然x,yは変数になります.では,aは何でしょうか.⇒ 変数xの係数がaということですので,aは定数(扱い)となります.が,コトはそんなに単純ではないのです.   文字だらけの式Q1 1次関数g: y=ax2-a2 ①について,どんなaについても直線gが通らない領域を求めなさい.■ この種の問と初対面すると,少なからずのヒトはキョトン「?」とします.文字だらけ

  • test

  • “必要感”は必須

    ■「数学史を踏まえる」などと大仰な言い方はしませんが,新しいコトを取りあげる際は,その"必要性(or必然性)"を感じさせたいもの.■ ラーニングをアクティブにするためにも,コトとコトの間にどんな流れや背景があるのかを,体感・追体験することはかなり重要です.学ぶ意欲と直結すると言ってもよいですね.例をいくつか紹介します.三平方の定理への誘いQ1 正方形AとBの面積の和と等しい面積をもつ正方形Cを作図してください. ■

  • たかが”植木算”

    よく知られている植木算についてです.ある距離に一定間隔で木を植えたときの,木の本数,間隔数,そして距離との関係を,ちょっと"引っ掛け”も細工したりして問う問題です.■ 上の図の場合は両端にも木を植えることより,5m×6本=30m となり,   (木の本数)=(間隔の数)+1となるわけです.これを基に,次のような内容が公式(or まとめ)として紹介されています.よく目にする植木算公式です・・・■ Ⅰ 両端に木を植える :木の本数=間

  • 寒っ! “空間認識力”

    ■ 数学自体に対して,得意・苦手 と2極化する傾向があるのですが,その中でも空間図形に関わっては,超がつくほど毛嫌いするヒトも少なくありません.■ よくあるサイコロの問題.3の目を書き足してください(向きにも注意).全国学テ から"寒い"現実■ 現状の一端を紹介します.全国学テ結果です.小6:2014(H26)実施 ■ 何のことはない,直方体を真上から見たらどんな形?という問いかけなんです

  • 残念な”面積計算”

    ■ 小4で面積を習います. そして小~高と,面積・体積を求めること(→求積問題)は,算数数学における「花形」になっています.対象となる”相手”が図示されることもあり取り組みやすいのでしょう. ■ たとえば,三角形の面積公式が,鈍角三角形でも通用することなどは,その不思議感から子どもたちの知的好奇心を高めています.■ そして,次々と難易度の上がる問いかけがなされ,中~大学入試でも中心的な存在となりました.結果,求積問題は日々の授業でもかなり重要視されておりま

  • 説明を2回くり返す〇先生

    新学期のスタートにあたり,算数数学を一旦離れて,”話し方”がテーマです.「教育はココロ.話し方?それは技術レベルのことだろう」と異論をもつ向きもありましょう.ここでは不毛な二項対立論を避け,話す際の”ココロ構え”について取りあげます.TVドラマ会話 と 日常会話 とどこが違う?■ 何気なく観ているTV・映画や舞台における俳優の会話 と 私どもの日常会話との違いは何でしょう.人にもよりますし,また感じ方の程度も差がありましょうが,次の点を挙げます.

  • 文字の「壁」・・・twitter上の質問から

    ■ 先日,twittter上で次のような質問を発見しました.はじめは題意が?でしたが,そのうち目が醒めました.もしかすれば数学を十分理解している方が,”その上”でツイートしたかも知れません.■ 以前も取りあげました文字です.数学における「文字」指導は,何十年も前から指摘されてきた課題ですが,広域的に改善された・効果的な指導方法が確立したといった話は耳にしておりません.何とかしようではありませんか.紹介したtwitter問題の背景です(斜線は約分操作).&n

  • ”感染率拡大緩和” ⇒ 意味は?

    ■ 今日的な学力として資料の活用が注目されています(昔風に言えば,統計処理の初歩). 現下のコロナ関係でも,感染数値のタイトルが日々発信されています.■ ”感染者数 高止まり”,”感染率拡大緩和” etc ・・・どんな意味でしょうか.ヒトにより微妙な解釈の違いもありそうです.■ そこで,理解・解釈を深めるため,ナント「微分」まで持ち出してみました.記事と合うグラフはどれABC

  • 「数学 ⇔ 物理」離れすぎ!

    ■ 数学教育と物理教育に携わるヒトは,もっと接近すべきだと前々から考えてきました. ■双方の接近は,結果として,理数を学ぶヒトに「よさ」が還元されると確信します.■ 特に,2022年から新学習指導要領がスタートしますが,ベクトルが数学Cに入ったことで,高校生の過半数はベクトルを「知らず」に卒業する可能性がかなり高いと予想.すると,物理の担当者は,ベクトルを「全く新鮮な気持ちで聞く」生徒たちを前に,力学等の説明をしなければなりません.■ 従来以上に,数・

  • 細かいところが気になります

    ■ 算数・数学を解説・展開しているとき,①詳しい説明は必要だけど,ここはラフに進める②(詳しい説明の必要性を自覚せず)ラフに進んでいる  という場面が結構ありそうですね.特に,論理をつなげる小さい,細かい部分・結節点で見受けられます.■ 数学的には,枝葉部分に相当する細かい個所ですが,少なくするに越したことはありません.児童生徒の目は怖いです.冷静に客観的に見つめられていると覚悟しておきましょう.■ 約束やルールに根拠を求めること,これは思考

  • 学習の進んだ子供 part2

    ■ 算数・数学教育に関わる者(シャ)にとって,子供の伸びは大きな喜びです.■ また「学習の進んだ子供」の"才"との出会いも,感激・驚きです.■ その際,"才"については,ややもすれば"テスト高得点"に目が奪われがちですが,子供の学校数学を超えた”理数センス"により関心を抱き,それらの見逃し・見落としがないようにしたいものです(自戒を込めて).自由研究は「青天井」です■ △△ピックや○○コンテストと異なり,自由研究は,正に

  • 「□÷0.8 」正解,低っ! 

    ■ 24÷6=4,18÷3=6 のように,割り算すれば,元の数(被除数)より商は小さくなる のだと思い込んでしまっているヒトは少なくありません.言葉自体が「割る」ですからね.■ 「そりゃ,少数でしょう」と主張する方もいるかも.でも,後で紹介する全国学テ(小6)の結果をみると,そんなに甘くないことが分かります.「算数」ではこんな問が■ 小3算数「15個のリンゴを3人に同じ数ずつ分けました.一人分はいくつになりますか」 ⇒ 15÷3=5 一人分は5

  • 坂のθ(角)を測るヒトはまず「いません」

    ■ 量の中でその「量感」が比較的安定しているのは,長さ(1cm,1mなど)くらいでしょうか.重さや広さ,速さなどになると”迷う”ヒトが多くなりますね.■ 中でも角(度)は,身近で扱う機会もほとんどなく,量感を持つのは大変です.■ では,坂の勾配(傾き)についての量感をチェックしてみましょう.Q1 図は,べた踏み坂で有名な江島大橋(えじまおおはし)です.何度くらいの坂でしょうか?正解は最後に紹介します. Q2 次の写真は,

  • おうち時間に紙折り10回挑戦

    ■ 紙(長方形)を次々に半分づつ折っていきます.■ この紙折りですが,数学的には線対称変換であり,指数と直結します.また,高校で習う対数(log x) の「萌芽」もチョロリと見ることができます.■ 指数は中1で学びます.その際,しょっぱな(導入)で「5×5を52 と書きます.同様に,3×3×3 は・・・」といった解説とお目にかかることもあります.率直に言って×です(いやx2 かも).■ 新記号が登場する必然性や流れが見えません.した

  • 公式と「密」に!

    ■ 公式は論を進める際のツールで,活用により時間と思考の節約になります.■ ガチガチに言えば定理とは,証明された真なる命題定理を数式で表したモノを公式というようです.その外,近い表現として法則もあります.■ これら公式等(以後,公式)は,論理と論理の間をつなげる場面で活躍します.■ 中には,数学=公式 と理解する向きもあり,さらに,公式=暗記 となると,数学=暗記 ですから,これは,ただ事ではなくなります. 

  • “テスト”にメッセージを込める

    ■ テストの定義はさておき,日常のテスト~入試まで,およそテストと呼ばれるその時間内における受験者の集中力は凄いモノです.■ よく大人が言います.「私が今,○○校を受けたら,受からなかった」.これは,入試の内容より,立ちふさがる壁に挑戦したときの,自らの若さや情熱,そして集中力も含めての述懐ではないでしょうか.■ このように,持てる能力をフル回転して集中して問題に取り組んでいるワケですから,その力を次に活かさない手はないです.

  • 題意は伝わるかな?

    新しいタブでプレビュー■ 題意が「理解できない・できていない」にもかかわらず「解きなさい」と進めるのは一方通行授業の最たるモノです.■ 「題意が理解できない」要因としては数多くの,また,個別の事情がありましょうが,ここでは2つあげます.①読解力不足(特に,論理用語に不慣れ)②題意がイメージできない ■ どちらも克服のハードルは高い(特に,①)ですが,②はやりようによってかなり改善が図れると考えます.題意のイメージ化

  • y=ax+q ⇒ yはxと比例しない : 正しい?

    ■ 「yがxに比例する」とは,y=ax (a:比例定数) と書き表せるときですから,y=ax+q ならば一般的に「yはxに比例しない」となります.が,マッテください.■ 上の表で,y/x (x:0以外)を計算すると,5/1, 8/2, 17/5・・・となり一定値となりませんから,yとxは比例関係にはないです. ■ 次の表ではどうでしょう.(y-2)/x の値は,常に3 で一定しています.■ つまり,y-2 は x

  • πと誕生日

    ■ 円周率π は何とも不思議かつ魅力ある数ですね.本稿では実数の確認,πの無限小数表示にまつわる「摩訶不思議さ」を紹介します.また,πと聞くと 円周率≓3.14 だけで思考停止する,数学的にはよろしくない例を確認しましょう.π は 循環しない無限小数  ■ 実数とはどんな数を言うのか,改めて確認しましょう.{・・・-5, -3, -1/2 ,0 ,1/3 ,1 ,√2, π ,5,・・・}など,すべて実数です.粗い言い方をすれば,数直

  • 「攻める」復習を!

    ■ 復習とは”一度学習したことを再度勉強すること”,”おさらい”という意味で,十分理解している子供にとっては,不要でしょう.したがって復習から受けるイメージは,どちらかといえば,”後ろ向き”かも.■ 授業では既習事項の確認(復習)をしながら本時の展開に入ることはフツーです.が,本稿では,補充や居残り,時には追試対策など,やらされ感のある”強制”学習の復習に焦点を合わせます.”復習”・・・前に習った方法を”なぞる”のはやめたい■ 学習者の立場で

  • ”秒殺引き算”から文字指導へ

    ■ 同じ教材でも導入の在り方で,その後の展開が「天と地」の違いになる場合があります.学習者の心理をベースにした,Rさん(当時大学3年生)の印象深い文字活用の導入例を紹介します.■ まずは動画①をご覧ください(Rさんの導入例を参考にしました).■ 続いて動画②をご覧ください.出だしで”ひきつける”,Rさん      ■ ところ:ある公立中2の

  • 数学用語アレルギー 第2弾

    私たちは,自然数(小1)から微積分(高校)まで約12年間,算数・数学を学び続けます(高校も実質,義務教育?).そして新しい単元に入るたびに,新しい「用語」と出会います.その際,用語なりがかなり"独特"なんですね.結果,抵抗感をもったり,中にはアレルギー反応を起こすヒトもいます.「商」ってナットクできない("あまり"は ok)■ 教科書では,小4算数の早い段階で「商」が登場します.あまり=0の割り切れる例でスタートして,「答えを商といいます」と

  • y’:意味わかんないが計算はできる

    ■ かつてある学生(工学系2年)が述べた言葉が残っています.「クラスのAが言うには,『微分も積分も毎日,計算しているんだけど,ホントは意味がわかっていないんだ』と.この先もっと大変になりそう.彼の場合,どこから手を付けたらいいのでしょうか」.微積分に限った話ではありませんが,思い当たるところ多々あります.■ 一方,「今はわからなくても,計算を続けるうちにいつかわかるよ」という指導者の助言も耳にします. ■ 今回は,この意味理解なしの計算

  • 分数:やっぱり難しい

    Q 長さ2mの棒の 1/3 はいくつですか? A 2/3mです.■ 何気ない質問・答えですが,小学生(2,3年生あたり)がよく答えられるな~と思います.嫌みではありません.心底,そう思います.やっぱり分数は難しいです.■ 上のQについて① 1/3 m と答える子供が必ずいます.大人も同様.② 1/3 , 2/3 と二つの分数が登場しますが,それぞれの意味・役割が違います.③ 1/3 や2/3という表し方に,そもそもの抵抗感ありませんか(これらも数なのかと)

  • 台風を斜め横から見る

    ■ 台風シーズン到来です.ここでは,台風の形(イメージ)を取りあげます.気象衛星ひまわり画像を見る限り,台風は渦を巻く”モクモク”の雲・・・身近な例で言えば,巨大なフワフワパンケーキ,あるいは,円形クッションのようなイメージでしょうか.台風のイメージ,誤解していませんか■ 台風の大きさについてdataを確認しましょう.【参考:国立情報学研究所問い合わせ欄(北本朝展教授),エキサイトニュース('04.9.8)】①直径:大小様々

  • 「45÷12=3 あまり9」の”=”は何?

    ■ 小4で割り算の筆算を習います.例えば「45÷12 =3 あまり9」①といった具合です.同時に「45=12×3+9」②という式も示されます.①と②の”=”は同じ記号(イコール)ですが,大きな違いがあります.45÷12=3 あまり 9 ←  率直に言って発展しない形式です■ 「45÷9=3あまり9」①で使用されている=は,定義の意味です.つまり,45÷12 という演算の答えを"3あまり9と書くのですよ”という約束(定義)を示しています.■

  • 立体感覚UP!(その2)

    ■ 立体イメージ力は”先天的なモノ”という冷めた見方もあります.が,ホントにそれがすべてなのか,立体感覚を豊かにするための”カイゼン”策はないのか,挑戦してみましょう.■ 前回に続く円柱貫通体を扱います.合同な2本の円柱について,その中心線を直交させてできる重なった部分のことで,おおよそのイメージは次のようでしたね.ポイントは,①真上から見ると正方形,②真横2方向から見ると円 でした.■ 特に,ワイヤーフレームで,②真横

  • 立体感覚UP!

    ■ 立体図形が苦手!という人,結構おります(立体感覚:年齢にあまり関係ないかも).今やスマホ全盛期の時代.スマホ画像も日進月歩です.ただ,スマホ画像はしょせん平面,つまり2次元dataです.スマホ画像をチラリと見て,何となく理解した気持ちになった・させられているところはありませんか.■ 今回は,けっこう手こずる円柱貫通体に挑戦しましょう.円柱貫通体をイメージできる → 高校数学まで扱う立体図形の大半と対応可(私見).通常の学びと逆順になりますが,”ゴール”から攻め

  • スッキリ感のない答え

    数学の問題&解答について,「一応,頭では分かったというか,ナットクはしたのですが・・・.でも,正直,ピンとこないのですよ」.この種の声を耳にすることが少なくありません.今回は,私自身の体験をもとにいくつかご紹介します.一応,理解はしましたが・・・の例Q1 下図で,大円と小円は中心Oの同心円(小円はペンで描いたもの)です.大円を左側から地面に対して滑ることなく,時計回りに1回転して右側の位置まで移したとします.点P,P’はそれぞれの位置における接点,点QはOP

  • (-)×(-)=(+)?

    ■ (ー)×(ー)=(+) は,一般の大人にとっても印象に残っているようです.「そういうものだと思って覚えた」「不思議だったが理由は習ったかな?」等々の感想が多いですね.内容はさておき,数学について記憶に残っていること自体は”よいこと”かと考えます.■ 子どもはもちろん,大人も生涯学習の視点から,この (ー)×(ー)=(+) となる(とする)理由を再確認しましょう.新発見もあるかも. (-3)×(-2)=6 の解説<

  • コピー「1万円借りて利息10円/日」に釣られる

    今,流行の金銭教育ではなく,「金銭感覚」についてです.かつてJR山手線内で「1万円借りても利息は1日たったの10円」という中つり広告を目にしました.結構な反応があったものでしょう.このキャッチコピーの感想を聞くと,今でもほとんどの人が「安い」といいます.お金を巡るトラブルでは,しばしば「だまされる人」が登場します.「だまされた」場合,自己責任という見方がなされがちですが,果たして学校教育(特に算数数学)は無関係でよいのでしょうか.高校生や学生に質問します.Q

  • 数学的思考は ”なるほど感”で

    「主体的・対話的で深い学び」・・・欧米で見られる授業形態(思想)のいいとこ取りをするという解釈をしています.まったく異論はありません.その一方で,教材自体への関心がきわめて低調である空気に危機感を覚える昨今です.中核となる数学的思考を取りあげます.数学的思考とは「数学的な見方・考え方」について.学習指導要領(算数)では,「事象を,数量や図形及びそれらの関係などに着目して捉え,根拠を基に筋道を立てて考え,統合的・発展的に考えること」 とありま

  • ”微分の源流”を算数にみる

    「市民が学ぶべき数学のゴールは,微積分である」という声は,今や風前の灯火かも知れません.ゴール設定が諸事情により困難であるにしても,到達ゴールをキチンと意識しながら,小→中→高→生涯学習へと進めたいものです. 一連の見通しの中で今をあつかう一連の見通しの中で今を学ぶ・・・二つのkey wordがあります.”学力保証”と”知的刺激”です.① 学力保証・・・教師の使命ですね② 知的刺激・・・個々の子供の数理センスをキャッチし,より伸ばす

  • 折り紙の”折る”を探る

    折り紙は,英訳でもorigamiです.日本独特の文化と言えますね.今回は,「折る」という操作を数理的な視点で見てみましょう.早速ですが,作業です.A4の用紙を折ってください.(以降,作成中) 

  • 1°はどれくらい?

  • 学習の進んだ子供

  • 9の次は10?

  • 量感は金銭から

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