(sin x)’=cos x の図形的体感

sinの微分結果がcos とは！ 何とも不思議なコトだ という思いを抱かれた方も多いのでは？ この不思議感を払…

円の面積公式って証明した？小中高いつ？ （その2）

（その1）では，かの有名な円の面積公式：S=πr² （パイアール二乗）は，小6~高校間，ナットクのいく証明はさ…

円の面積公式って証明した？小中高いつ？（その1）

円は，図形（幾何）領域の主役級です．中でも円の面積公式：S= πr²(パイアール2乗) は一般人にもかなり浸透…

筆算のナットク：例 123×45＝45×123

乗法の交換法則により 123×45 = 45×123 となりますが，両辺を筆算でそれぞれ計算してみます．一見，…

それって，題意の「伝達」ですね

中学校・高校では，進度のこともあり，ある日の授業が例題や演習の「問題解き」で終始することもママあります．その際…

「かつ（and）」の教科書デビューはいつ？

昔³，数学Ⅰの授業でのこと．入学まもない頃で高1生のクラスにはまだ緊張感が漂っていました． 「･･･ここで，a…

2.4495÷1.4142 ⇒ どのくらい？

数量感覚抜きで数とは仲よくなれません．数の成り立ちからして当然のことですが，よくよく観察すると”テ…

グループ学習にはふさわしい協議題を！

算数・数学の授業におけるグループ学習（「協働的な学び」の一場面）のメインテーマを”グループ協議題&…

グループ学習が ”予定調和” ？

近年，中教審答申「個別最適・協働的な学び」は，各研究会のメインテーマに掲げられ，実際，学校での授業展開が大きく…

GPTがイラつく算数問題

時代は正に「AI」一色です．当方もChatGPT（以下，GPT）の威力には畏れ入るばかり（しかも無料！感謝の2…

敬遠される積和公式：sinα･sinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}･･･へのエール

数学を学ぶ上で，敬遠され・評判悪く・嫌悪される 公式は，三角関数関係が多く，中でも，三角関数の積を和のカタチに…

（桁数の長～い）かけ算の処理

突然ですが，PCや電卓もない時代として 3486784401×1594323÷847288609443 （※）…

ノーベル賞と地域格差（国内）

年始めですので，少し数学から離れた内容にしますが，ノーベル賞の話題です．’26.1と’…

年賀状の紹介

年始めですので，少し数学から離れた内容になります．’26.1と’22.1 の年賀状文面…

“カタチだけ”協議 ⇒ 学力低下↓

現在，学校（特に公立）では，学習指導要領の基本理念である「主体的・対話的で深い学び」を実現するべく，その手段と…

不定方程式：ax+by=1(a,b互いに素) ⇒ “図で説く・解く”

表題の不定方程式は，整数論における”基本の基”相当の定理（以下，基本重要定理）です．通…

循環論法･･･悩み出すとキリがない？

循環論法･･･漢字も難しく，見るからに理屈っぽい内容．受験を控えた高校生はもちろん，数学教育系学生もあまり興味…

教室内にある”教具”⇒使えるzo！

教具の中でしばしば用いられる画像ですが，しょせん液晶 or スクリーン画像なので教室内にある”実物…

連立方程式の導入3態（×△○）

今や世は「画像」全盛期です．スマホ画面やpower point画面，街中の巨大LEDスクリーン等々・・・．学校…

’25大学共通テスト数ⅠA第3問（五面体）

今日，大学受験と言えば，共通テスト（大学入学共通テスト）を想起するヒトが多いことでしょう． ※ 共通テスト・・…

マークシート式の本質⇒消去法

大学共通一次試験以降，国主導のマークシート式テスト（以下，マーク式）がスタートして約半世紀．今やマーク式はシッ…

「いかにして問題を解くか」(Polya)に学ぶ

近年，数学教育を巡る議論のテーマは，①授業形態，②入試問題攻略 に大別されているように感じます． ■ ①はあの…

児童生徒をヒマにさせない

とある会合で隣合わせになった小学校校長先生との会話です． 「授業中すぐ分かってしまってヒマにしている子どもって…

減点したくなる「汚文字」

美文字をスラスラ書き連ねられるカタは羨ましい限りです．一方，悪筆・汚文字で悩むヒトも少なからずいます．ここでは…

アナログ量感覚up･･･車&JR車両じっくり観察

今やデジタル全盛期．瞬間操作で即完結！しかし，反動（ツケ）も怖いと思います．今回は，アナログ量感覚の回復を目指…

円面積，大きいのはどっち？

先日，佐藤学氏（畿央大学教授）から「不思議な算数」（小西豊文著，学術研究出版）を紹介いただきました． ■ どの…

「％ 」の浅読み

「日々，画面・紙面上で「％」を見ないことはまずありません．経済成長や人口減少，気候変動等々，ヒトに関わる活動変化の大半は数値（特に％）で表され,重宝がられています（例：物価上昇率3.2%）．ここでは昨今気になっていることを話題にします．％自体には罪はありませんが，結果として ％よるミスリード です．例を挙げましょう■ 上記記事で見出しをざっと読んだヒトは，学生の98％，つまり，ほとんどの学生は順調に就職していると判断することはないのでしょうか？

入れ子式「式」に戸惑う

あるものの中に同じ形や種類のものが重ねて入れられている状態を入れ子式構造といいます．■ イメージとしてはマトリョーシカが思い浮かびます．造形だけでなく論理や数学でも遭遇することがあります．クレタ人は嘘つきだとクレタ人が言った⇒ 「クレタ人は嘘つきである」は正しい主張でしょうか？■ 過日，新聞に面白い記事を見つけました．「AI の 使い方聞く AI に」入れ子式川柳ですね（前述のクレタ人の例ほど悩まされませ

問題リード文のじっくり「観察」

学校事情や個人にもよるでしょうが，数学（算数含む）の学び ≓ 問題を解く という等式が成り立っているように感じます．この延長線上には「○がもらえたので数学が好き」という児童の声がありそうです．■ つまり，数学特有の思考や論理に価値を見出すことよりも「テスト結果」に重きを置く（置いてしまう）姿勢です．⇒ 数学科に進学した少なからずの学生が受ける「数学ショック」の主因と考えます．物理や化学など同種ショックはあるものでしょうか？■ そこで，数

人口変動のグラフ観察

人口変動の要因は，自然増減と社会増減に大別できます．そして，前者は出生数と死亡数の差，後者は転入と転出の差で決まります．言い換えれば，人口は「ヒトの移動」の結果ですから，雇用関係や家族・個人に関わる要因など，数多くの"きっかけ"が重なっての「総決算」というわけです．■ したがって，人口変動について客観性ある予測等々は，その分野のプロに頼らざるを得ないと考えます．■ しかし，「サジを投げる」のも口惜しいことから，A県Y市について，国勢

変化 ⇒ まずは”比例”で

言うまでもなく世の中の「変化」が比例関係だけで成り立っているワケではありませんが，多くの場合，思考と行動判断のベースに「比例」が横たわっています．比例・・・無意識レベル■ たとえば，時の流れと時計針の位置は比例しています（当然ですが）．「バスの出発は20分後か．（チラリと時計を見て）まだ時間がある．お土産を買ってこよう」こういったナットク感があって20分間なりを，買い物等の有効な時間とすることができるワケです．⇒ あまりにも日常化してい

「弧度って必ずπ(パイ)が付くんでしょ？」「・・・」

「弧度(法)って，必ずπが付くんでしょ？」は，実態の一断面を象徴するセリフです．少なからずの高校生・学生は弧度法が分かっていません．仮に「計算はできた」としても，です．60分法との単なる単位換算であればこんな「悲惨」なことにはならなかったでしょうが．数学におけるユーウツ分野の筆頭格です．■ つまるところ，弧度法は三角関数に微積分を導入する際の必須アイデアなのですが・・・特に，sin2π/3=√3/2 等，「有名角棒暗記表の徹底」ルートをたどってきたヒトは，学び

「プレゼント交換」に潜む数理

互いにプレゼント交換をしたら自分のヤツが当たった！このプレゼント交換にまつわる"諸問題"は今となっては古典数学かも．多少視点を変えて話題にしました．まず，手作業で■ 4人による互いのプレゼント交換の場合，ヒトとプレゼント品をともに1～4の数で表し，また，各メンバーがこの順で受け取るプレゼント品を順列 (3,2,4,1)などと書くとします．例｛1,2,3,4｝→ （3,2,4,1）※この例では2のヒトだけが自分のプレゼントを受け取るわけです

“腕力”計算は無意味か？

「いかにスマートに，かつ，短時間で結論に至るか」を追究することは数学を学ぶ際の必須姿勢です．■ しかし，学びのプロセスにおいて，ときには「腕力」で対処することも無意味ではなく，特に，考えている対象が有限とおりの場合，"しらみ潰し"でコトに当たると先が見えることもありそうです．総当たり（しらみ潰し）⇒ 整然と列挙■ 何か困難にあった際，全体像が分かると不安も軽減されますね．数学を学ぶときも同様です．即，計算へと走る前に全体の把握に努めた

タブレット教育への不安 ⇒ 素材で勝負！

今や「タブレット画面全盛」期です．が，不安も大です．実際，IT先進国スウェーデンからは「紙と鉛筆」への回帰が報じられました（'23）．ここは，"タブレット vs 紙・鉛筆"という二項対立論に陥ることなく「よい素材の発見＆開発」に注力しましょう．例えば，数学と物理の共通部分に属する重心は実に使い勝手ある素材です．これを教室内でフル活動させる意義は充分あります．Q1 下図のようなL字形の重心Gを作図してください．また，Gを支点にしてL字形全体のバランスをとって水平

中学生に”図で説く”←不定方程式：ax+by=1(a,b互いに素)

不定方程式のイメージはどうも明るくないようです．「不定」自体から受ける印象も不気味ですしね（定方程式という用語もない！）．■ 2x+3y=5…① を方程式を見なすと，(x,y)=(1,1)，(-1,7/3)など解として無数の組があります．つまり，解が"定まらず"です．よって①のような方程式を不定方程式といいます．※ sinθ=0.5 の解は無数にありますが，不定方程式とはいいません．■ 高校で扱う(一次)不定方程式では整数係数で

まず，大ざっぱにナットク

世の中，モノづくり関係者や研究者，投資家等々，コンマ以下の数値を凝視しながら日々を送っているヒトもおりますが，一般には，数値扱いは大ざっぱな把握で「可」としているように思えます．"ひろ（尋）"って何だ？■ 町内会に係わって祭典の山車製作や会館補修など，地域のメンバーと共同作業する場面がよくあります．あるとき，ベテランが若手に発しました．「Aさん，ロープを2ひろ切って」…①⇒ 何言っているのでしょう？■ ひろとは「両手を左右に広げた

リーダーの「禁句」

年始めですので数学から離れ，リーダーが発する言葉の中で，意味のない or 逆効果のヤツを経験則で紹介します．子どもに愚痴をこぼす■ 昔昔昔，スキーに超人気があった時代のこと．学校でもスキー技術の向上談義やスキー場のリフト待ち情報などが職員室での話題になることも．■ 実際, 準指（準指導員）のスキー資格を持つ教員は生徒も含め校内で一目を置かれる存在でしたね. ⇒ 今と比較し「隔世の感」ありでしょう！ 職員室にそんな余裕があったのか？

「1=2 ならば 2>3」は真？

ある命題「p→q」※について，p:偽 のときは，qが真でも偽でも※はつねに真 なる命題となります．つまり1=2 ならば 2>3 6>9 ならば  2+3=5 ともに真なる命題なのです．昔々、ある著名な数学者はこの結果について「あれこれ悩んでも生産的でない」と述べていたことを思い出します．でもその背景を知っておいてソンはないですね．生産的でない悩み ⇒ 一応の説明■ 命題とは「真偽（○×）がハッキリしている数学的な文章」を指します．例

同様に確からしい って何？

「同様に確からしい」とは，確率の世界で「起こることがすべて平等に期待できることがら」を指す数学用語ですが，どことなく"不自然さ（ぎこちなさ）"を感じませんか．内容？  日本語自体？■ 「同様に確からしい」は"equally probable" の訳でこれ以上の適切な表現はないかも知れません．■ ただ，日常ではまずお目にかかることはない”業界用語”ですので，初見で出会う学習者（子ども）への配慮・気配り・ケアは必要です．「同様に確からしい」例で

印象度が低く，可哀想な公式

数学の公式・定理にもいろいろあって，三平方の定理などは横綱クラスでしょう．中には，貢献度はサイコークラスなのに地味なヤツもいます．レ･ミゼラブル…｢地味｣な公式の困った使用例Ⅰ {f(x)+g(x)}’＝f’(x)+g’(x) ■ 要するに，関数の和の導関数＝それぞれの導関数の和 ということです.⇒ 変数xを省くと，(f+g)’=f’+g’ となる．学ぶヒトにとっては極めて分かりやすい公式でしょう⇒ (f+g+h)’={(f+g)+h}’=(f+

’24大学共通テスト数Ⅰ･A (第2問)への疑問

'24.1実施の大学入学共通テスト(数Ⅰ･A)第2問[3]について解説＆疑問を述べます.■ 実際の第2問[2]を一部紹介します。（中略）（以下、略）リード文（式の定義）の分かりにくさ■ (ⅲ)[あるデータのある選手のベストタイム]の定義式について私見を述べます.a) 連体語「ある」が2回続けて使用され，特に，前者「あるデータ」が何を指すのかあいまいb) 定

小学校”教採”合格の皆さんへ

「教職 ≓ ブラック」という等式がすっかり世間に定着してしまった感ある中、保護者との距離がもっとも近い小学校教員を選択し、教採（教員採用試験）という第一ハードルを飛び越えた皆さんに敬意とエールを送ります。■ 「やっと就活の追い立てから逃れられました」という安堵の声がありました。心中、よく分かります。■ 大学入試合格とは質の異なる関門突破・・・経済面における保護者からの独り立ちとともに、今後歩む方向を自身＆周囲（社会）へ宣言したことになります。⇒ 独立

物価高ニュース ⇒ 正しくナットク？

先日のNHKローカルニュースで「A市の生鮮食品を除く物価指数が、前年同期より2.7％アップしました。これで27ヶ月連続で2％超えました」と報じられていました。■ ここでこれで27ヶ月連続で2%超えましたについてですが、何を伝えているのでしょうか。今月までの物価指数を一律2%として、次の中で正しい主張をすべて選んでください。来月以降も2％超えの物価高が続くだろう先々月960円だったお菓子が、今月1000円になった

遠藤章博士と”教育”

この6月、コレステロール低下剤スタチンを発見された遠藤章博士がご逝去されました。ノーベル賞以外は"全ての賞"を受賞した（米ラスカー賞など）と評される遠藤博士ですが、"教育"の視点で話題を提供します。遠藤章氏略歴生誕地：東北秋田の片田舎、出羽丘陵に位置した(旧)下郷村高 校：県立本荘高校定時制課程下郷分校入学（2年次に秋田市立高校に編入学。後述）※ 時代が異なるとはいえ、高校定時制課程の分校入学者が、その道の「世界的権威者」となったことについ

その説明、通じてないかも

■ 算数・数学の授業で用いられる語を分類すると①：発達段階を基に理解できるであろう日常語（メタ言語）：大きい、重い、広い …②：特有の専門用語や記号：式、商、関数、相似、≡、Σ …③：①と②の境界にある語や用語：または、かつ、少なくとも …となります（島田茂氏による）。■ 今日、学校の授業においては「協働的な学び」の空気が列島を覆っています。子ども同士の学び合いにより価値を見出す流れですが、数学リーダーの言葉の役割・

カップの冷め方 ⇒ まず”観察”から

カップの冷め方は"あの分野"の典型例で、解法パターンに倣って忘れないうちに即、計算に…と走りがちです。しかし、ここはモノゴトについて観察力UPといきましょう。下図は、コーヒーカップの温度変化を示しています。最初は90℃であったのが、3分後に82℃となったとさ。では、さらに3分後には何度になるでしょう？観察（温度変化）から思考へ■ 本問は、高校生はもちろん、小学生から高齢者まで幅広い年代層に「問いかけ可能」です。年齢に関係な

「or は and を含む」ナットク

かつ(and) と または(or)は基本論理用語の代表です．日常用語としても浸透している，あるいは，定義の話だろう，という姿勢には疑問を感じます．■ 「誕生日に，PC か ハワイ旅行券をプレゼントしよう」と言われたらどう答えます？この場合，普通，どちらか一つを選択しますね．しかし，数学上では「PC かつ ハワイ旅行券」もok，つまり，ちゃっかり両方いただくことも可能なのです．「P または Q」には「P かつ Q」も含む■ こ

極限値＆”結婚”（←たとえ話です）

極限値の定義前段では，x→a とは，「xは限りなくaに近づく．ただし，x≠a である」としますが，この x=a を除外することに極限値の「神髄」があります．この極限値について，昔²，教育実習で仲間のAikさんが（とっさに）披露したたとえ話は秀逸であり今でも強烈な印象が残っています．まず復習：x≠a の確認■ A市は起点から30km位置にある．10時に出発して12時にB市(起点から130km)に着いた．この間の移動した平均の速さvは次の式で

limf(x)=b における”=”のイミ

■ P,Q2点間の平均の速さは[距離(Δy)÷時間(Δt)]で求まります．そして，「Δtを限りなく0に近付けていけば，平均の速さから瞬間の速さが求まるであろう」という考えはナットクがいきますね．このideaを下のグラフで解釈しますと平均の速さ：直線PQの傾き瞬間の速さ：点Pにおける接線Lの傾きとなります．ただマトモに数値計算すると次で述べるように 0/0 （⇒不定形といいます）が登場し，デッドロックに乗り上げてしまうのでした．

cos135° が分かんないワケ

棒暗記はベツとして，三角関数は生徒にとって鬼門であり，第一歩である三角関数値でさえ半数以上（data根拠は後述）のヒトは分からない・あいまいなママにいます．■ 図で円の半径は1とします（単位円）．このとき，端的に言えば，三角関数値とは，円周上にある点（P, Q…）のx，y座標を求めるだけの話なのです・・・分かるヒト（数学リーダー含む）は⇒ 「なぜこれが分からないのか」と首を傾げ，「分からないワケが分からない」と不思議にさえ感じます分からないヒトは⇒ 「角

三角関数値”マル暗記”の結果…

三角関数値一覧表のマル暗記は，廃れるどころかYouTubeの活用もあってか，ますます浸透している感じです．あの三角関数が歴史年号暗記と同じ扱いかと思うとユーウツになります．■「とにかく関数値が分かんなきゃ0点だ．話にならん！ワケは後からでも分かる」⇒ 三角関数値がスムーズに言えるためには，無理数や角の量感覚，相似の性質，三角関数の定義など，総合的な知識が必要であり，「x年後に分かる」保証はまずありません（たぶん忘れていますヨ！）

結局，標準偏差ってなに？

過日，ある高校生2人と会話する機会がありました．「そうか，中間試験なんだ．数学の範囲は？」「資料の分析で，平均値や相関，標準偏差なんかが出そう」「ところで，その標準偏差ってケッコウ計算が面倒だけど，結局，何を表しているの？」「・・・」■ 相関係数は比較的説明できるヒトが多いようですが，標準偏差はどうも形勢よろしくない感じです．■ 上図は，それぞれ9名（No1～No9）からなる3グループA,B,Cの小テストの結果

正四面体＆正八面体（続き）

各種公務員試験では数的処理（大別して①判断推理､②数的推理，③資料解釈）が課せられ，その中でも「空間把握力」は判断推理問題として多くのヒトが手を焼いています．空間把握力が公務員に必須の能力かどうかは疑問ですが，数学の教材として興味惹かれるケースもあります．次はX(twitter)上で受けた質問です（過去問かと）．■ この問をベースに本blogの前回テーマにしました（正四面体＆正八面体）．再度確認しましょう．↓■ 正四面体の各辺の中点を結んで

正四面体＆正八面体

空間図形を鬼門とするヒトは多くいます．3次元に住んでいるヒトが，3次元の立体図形を苦手とするのはなぜでしょうか，不思議ですね．今回は，サイコロ（正六面体）に次ぐ代表的な立体図形として正四面体と正八面体に焦点を絞ります．■ 図はCalbeeのそら豆ミーノが入っている包装ケース（試供品）で，ほぼほぼ正四面体Vです．この正四面体4ヶを次の図のように重ねると，中央に空間ができますが，どんな立体になるかイメージしましょう．■

風車の先端部に着目（速さのイメージ）

今日，再生可能エネルギーと言えば，太陽光発電と風力発電がその代表ですね．地方に行くと巨大な風車が次々と設置され，気忙しい世にあって風のおもむくままマイペースで回転しています（と見えます）．https://www.youtube.com/watch?v=MxqIw-rYwvA風車の直径，回転数■ 上の映像とは異なりますが，市民風力発電（株）が設置した青森県鰺ヶ沢町の風車を例に挙げましょう．ローター直径103mであり，1回転に要する時間は4.00秒でした

マグニチュードはわかりにくい

今年だけでも正月早々能登半島地震に見舞われ，わが国は地震大国であることをつくづくナットクさせられる昨今です．ところで，地震の大きさを示すマグニチュードですが，生活に関する数値の中でもそのわかりにくさは横綱クラスではありませんか．■ 四半世紀前，気圧の単位がミリバールからヘクトパスカル(hPa)に変更なりました．理由は国際単位系に合わせたということです．このhPaも評判は決してよろしいものではなく，ヒト一般への浸透度は高くはないと思われます．ただ台風や熱中症対

dy/dx を dy÷dx としてよいワケ

dy/dx は "yをxで微分する" という内容（⇒ y'と同一）を表しています．"ディーy , ディーx" と上から読み，dy/dx:一体としての操作記号です． 例：y=x³ のとき，y'=dy/dx=3x² ■ そして学習が進むといつの間にか（無自覚？で）dy/dx は, dy÷dx と同じ意味，つまり分数扱いされていきます．優れた記号にありがちな"落とし穴"■ 数学で用いられる数式や記号はほぼ世界共通語化しております．数学

全国学テに学力保証の視点を！

全国学テがスタートしたのは2007(平成19)年です．賛否両論も含めていろいろな声（評価）が出ております．意義・目的の一つに「･･･学校等が広い視野で教育指導等の改善を図る機会を提供することなどにより，一定以上の教育水準を確保する」（'06専門家検討会議報告）とあります．■ この「一定以上の学力水準」についてやや粗い解釈になりますが，出題した問を通して①学力保証の具体を示す②授業カイゼンを図るという国からの強いメッセージを感じます．■

「僕(小6)が見つけた”中おち算”」･･･最小公倍数＆最大公約数のゲット

算数・数学自由研究一般についてですが，昨今，統計的な調査や観察に関する応募作品が多くなり，率直に言ってやや食傷気味です．■ そのような中，A(小6)さんの自由研究作品と出会いました（「算数・数学の自由研究コンクール」理数教育研究所主催）．■ 残念ながら作品は東北地区審査まで届きませんでしたが，さきほど述べたような風潮の中にあって教科書の解説に正面から向き合った作品で印象深くご紹介する次第です（本人・保護者，学校の了承済）．

“あれ”が苦手（あれ：直線のベクトル方程式）

ベクトル方程式から直線や平面をイメージするのはケッコウ辛いことです．ただし「直線 ⇔ 一次式y=ax+b」のナットクもそんなにラクではありませんが．ベクトルは向きと大きさのみで決まる！■ ベクトルは｛向き，大きさ｝のみで決定します．つまり，位置はどこでもよい ⇒ 平行移動が可能たとえば，北向きで大きさ2のベクトルは，始点が東京でもパリでもベクトルとしては同値になります．■ 上の主張の意味 ↓ベクトル

「変化 ⇒ 即,比例」 という思い込み

比例は極めて重要な変数間の関係です．テストでは小中高を通し頻出され，また，自由研究の作品でも，計算自体は比例という例が少なからずあります．比例は重要 ⇒ だからこそ比例しない例をしっかり！■ 任意の曲線も，微視的に観察すれば，線分の集まり ⇒ 直線的変化  つまり，比例ですね．これが微積分へと発展します．■ このように，比例は変化の大御所であることは間違いありません．そうであればなおさら比例しないケースをしっかりと押さえ

暗記と数学

■ 公式や定理，筆算の方法など，数学を学ぶ上でも（他教科ほどではない）"暗記"と付き合わねばなりません．どう対応していますか？数学リーダーの「対暗記」スタイルは次の3タイプに大別されます（私的観察）．数学リーダー3タイプ①論（ワケ）は棚上げ．とにかく正解させるべくレッスンを重ねる．巧みな語呂合わせなど工夫する②論と計算レッスンを平行して展開して自然と公式を身に付けさせるよう努める③姿勢に一貫性がなく，あるときは

濃度出題(全国学テ21.6%正答率)に異議あり

'22全国学力学習状況調査（以後，学テ）「濃度正答率21.6%」はかなりショッキングな結果で，本blog('23.10)でも話題にしました．その後再考を重ねましたが，逆に深い疑問が残りました．おさらい：物議を醸した全国学テ結果より■ 要するに，ある濃さのジュースを半分の量にしたとき，濃さはどうなりますか？という問に（つまり，味見ですね）約80%の子ども（小6生）が間違った，これは大事(オオゴト)だ！となったワケです．■ 小6の子どもは「味

導入時つまずき⇒ リカバリー:ほぼ無理

数学の進め方はサマザマですが，やはり違い（≓差）はあります．特に導入部分で顕著に表れます．その際，"めあて"に要注意！芸人から学ぶ■ 教壇と舞台ステージには共通点が多々あります⇒ どちらも演者の語る，①中身 と ②語り方  がpoint⇒ 特に，出だし（導入部分）でつまずくとリカバリーはまずムリ※当方，長年にわたり数多く失敗してきました■ ステージに登場するだけで笑いを取る芸人がたまにいます．導入部分の苦労が不要と言う

アナログ時計の衰退 ⇒ 算数の危機

昨今，日常からアナログ時計がジワジワと姿を消しつつあることに強い"警戒心・危機感"を持ちます．学校社会ではアナログ時計を随所に・意識的に設置してほしいと切望します．時計の教科書デビューは小1■ 小1算数では，主に100までの数を扱い，足し算・引き算を学びますが，かけ算（九九etc）は小2からです．すると，時計の針⇔時刻を読み取る という学びはかなりハードルの高い内容と言えます．なぜなら文字盤に1～12の整数が明記されていますが3 ⇔15分，8

カン違い常識（理数編）

おそらく〇％のヒトはカン違いしているであろう"常識"3例（理数編）です．「まさか！そんなふうに解釈しているヒトなんていないよ！」と断定せずにまずはお耳を拝借．「生きている化石」シーラカンス■  シーラカンスは古生代デボン紀（数億年前）に広く世界の水域で栄え，約6550万年前ころ絶滅したとされていました．ところが，20世紀半ばころに現世種が発見され大騒ぎになり，以後「生きている化石」と称され今日に至っています．■ この 生きてい

医学科への一極集中を憂う

■ 当方，年相応に”お医者さん”のお世話になっており医師には感謝に堪えません．その現実を踏まえた上で本テーマを設定しました．昨今 ･･･特に平成中頃から･･･「医学部医学科指向」の高さは異常・異様です．その弊害がそろそろ見え隠れし出したな…と懸念しております．そんな折，過日，我が意を得たりの思いをしました！月刊「文藝春秋」('23.12号  以下,文春誌)は，このママ医学部人気が続けば日本は衰退すると「警告」したのです．あの医学界を正面に直球勝負の問題提起をした印象で

∫ 積分記号のルーツ

高校数学では不定積分を学んで定積分へ進みますが，どこかおかしくないですか？ また，微分記号の( )’ はともかく，積分記号の∫ って，唐突でイキナリですよね．⇒ 例えば，"健康"の意味を説明する際，"不健康"から話を進めるという手順はふつうは取りません．取ったとしても最後に「不健康でないことを健康と言います」と解説を付け加える必要があります．■ しかし，現行の積分（数Ⅱ）はその「不」からスタートしています．そして「不」不定積分=定積分 となることを念頭に

似ている記号の罪：{－, -}{＋, +}

すぐれた記号の発案により計算力・思考力はアップします．その反面，似通った記号が独走して「分かったような気にさせる」罪な場面もあります．中1年が正負の四則計算をよく理解できるな～■ イヤミではなく，心底そう思います．習う側・教える側，共に大変です．① 正の数･負の数をひく ⇒ 符号を変えた数を足せばよい② 異符号の2数の和 ⇒ 符号は絶対値の大きい方の符号，絶対値は2数の絶対値の大きい方から小さい方をひいた差（③以下略）こんなルールをたくさん前にして

\[\frac{1}{1.414} ≓ \frac{1.414}{2}\] ← どこか引っ掛かる…

有理化の代表例\[\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{{1}・\sqrt{2}}{\sqrt{2}・\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}…… A\]ということで話はスムーズに進んでいきます．ただ，A から\[\frac{1}{1.414}≓\frac{1.414}{2}\]とするといかがですか？ホントに左辺右辺は一致する？！分母の有理化は確かに「そのとおり」■ Aにおける式

思考にも〇△が…

算数数学で課題を解くとき or 論を展開するとき，見方や考え方がフル回転しますが，最近，気になる（正直に言うと"気に障る"）ことが増えました．■ 今日，教育界（学校）においては個別最適＆協働的な学び がキーワードになっていますが，後者：協働～に関連して画一的・形式的・予定調和的な場面と遭遇することが多々あり，やや閉口気味です．諸々の考え方に即「いいね」は疑問■ SNSの発展とともに「いいね文化」が列島を覆っ

竿灯をコントロールできるワケ

竿灯を操る（名手の場合ですが）・・・重心が主役です．重心のイメージとして，①モノの重さが集中する1点，②ヤジロベエの支点のように全体バランスが取れる1点，③2中線の交点（三角形の場合）…などが挙げられましょうか．■ この重心ですが，数学では高校での取り扱いとなります．しかし，イメージも含めて生活の中に十分浸透している実態があります．日常語としても「重心を少し前に！」など，スポーツ指導でもよく耳にします．それゆえに 誤解 or 勘違い で終始しているケー

「めあて⇒先生のめあて」を散見する

いつの頃からか「"めあて"の明記」(※)が声高に叫ばれようになりました．そして(※)が伝言ゲームよろしく「めあての明記は授業冒頭で行う」のように変質を遂げた場面にも遭遇しました．これでは(※)の理念なりが，ガチガチの画一的授業形態主義に陥っているというべきです．■  ガチガチでなくとも「めあての明記」が強調されすぎた結果，めあて自体に疑問を抱くこともあります⇒ 例：何の脈絡もなく突如「～することができる」などと板書（それも大書で）されると，引い

低すぎる濃度正答率21.6%(全国学テ)

大学共通テストと同様，全国学テ出題形式の潮流が"長文＆大河ドラマ"的となりました．その是非は別として，算数で個別にみると 濃度 が深刻です．■ 本文を拡大します．■ 正解は当然3ですが，この正答率は 21.6％（全国）．総量が1/2になっても果汁の割合（濃度）は変化しないという判断は，学校制度がない時代から（いやはるか大昔から）日常体験により備わっていたであろう生活必須の能力です．日常の具体場面と授業■ 調理において

極限値：x≠a のワケ

極限値計算は比較的ラクで，ややもすれば計算技術のみに気を奪われがち．x→a とは，① xは限りなくaに近づくが，② x≠a とします. ①はともかく，②の意味は？極限値の誕生まで■ A市は起点から30km位置にある．10時に出発して12時にB市(起点から130km)に着いた．この間の移動した平均の速さvは次の式で求められる．\[v=\frac{130-30}{12-10}=50(km/h)\]時刻aからx

背理法あれこれ② ”誤読”（素数の無限性）

前回に続いて背理法の2回目です．背理法はいかにも数学らしい証明法ですが，その際，背理法の核心部分を浅読みor誤解しているケースも散見できます．素数は無限にある■ 数学の定理の中で，主張のシンプルさ＆証明自体のユニークさ と言えば何？と問われると「素数は無限にある」という定理を挙げるヒトも結構いるかと．■ 次はユークリッド（紀元前3世紀？，ギリシア）による証明です．どの箇所が誤解されやすいか■ 赤下線の

背理法あれこれ ①浅読み（√2…無理数）

背理法はいかにも数学らしい証明法です（どこか釈然としないながらも渋々ナットクしている向きもアリ）．ただし背理法の核心部分を浅読みor誤解しているケースも散見できます．背理法がシックリこない主因■ 犯人捜しの場合，「容疑者がA, Bの2人いる．Aが犯人でないと証明された．よって，自動的にBが犯人である」とは断定できませんね．cや毒蜘蛛が真犯人かもしれませんから．■ ところが，論理（数学）の世界では「xは，Aであるか非Aであるかのいずれか一

無味な文字式に”味”をつける

数を学ぶはずの"数学"ですが，学習者が上級学校に進むに比例して，数が減り文字が増えます（ある代数の専門書はほとんどのページが文字で占領されておりショックを受けた記憶が）．■ 中高の教科書から文字式を2例取りあげ，無味乾燥な文字式に「ちょっと味」を施します．a²-b²=(a+b)(a-b)■ 代表的な因数分解公式で学習者には抵抗感なく受け入れられていますが，意味を付加しましょう．チョットした御利益ですが．Q1  S=103²ー97² を計算しなさ

「少なくとも～」をスッキリ！

数学が分かるヒトからすれば「何でこれが分からないの？」という例に「少なくとも～」を含む記述や問があります．例：3割バッターが3回打席に立ったとき，少なくとも1安打する確率を求めなさい．■ 「少なくとも」を含んだリード文を見ると，思考が停止or頭がグルグル回る･･･というケースも散見できます．その際「これは読解力の差．数学以前の問題だ」とフンガイしても改善には1ミリも前進しません．日常生活と「少なくとも」■ 日常生活の中で「

テスト問題のカイゼン

全国学力学習状況調査問題と大学共通テスト問題（以下，学テ等）を拝見すると，出題者（国）⇒ 算数・数学リーダー  への強烈なメッセージを感じます．■ すなわち「この問に応じた授業展開をしてね・するべし！」という方向明示です．※ 昨今，学テ等では1問が数ページにも渡る「大河ドラマ的長編」形式が定着した観がありますが，これについては後日テーマにする予定で，本blogでは小問をメインに話題にしました．「指導カイゼン」に絞る

“外積の大きさ” ⇒ なにか違和感が…

空間ベクトルa,bに対して，外積：a×bとは次の性質をもつベクトルのことです．①a,bと垂直，②a×bの大きさ(長さ)はa,bのなす平行四辺形の面積を表す■ 外積をイメージしようとするとき，①はともかく，②で戸惑うヒトおりませんか？ ■ 定義 a×b = a b sinθ で，右辺は図の平行四辺形の面積を示しています．ただ，ベクトルの長さOP＝面積 とは？？という（一瞬抱く）違和感です．■ 面積や長さ，時間等々の量を数量化したものをス

残念な”即，計算”

「算数・数学 ≓ 計算 」①と理解しているヒトはかなりおります．もちろん①を全否定はしませんが，即，計算に走る・ダッシュする姿には大いなる疑問を感じます．算数･数学の学びを単に「公式に当てはめ○をもらうこと」にミスリードしているのではないか？という懸念です． ⇒ 一つのカイゼン策が「計算前の見当付け」です．気になる授業光景から■ 授業や報告等でしばしば見かける光景(1) 「25.3÷2.3 を計算しなさい」＜展開例＞① 「まず5分間，自分だけでやっ

3進法と天びん

2進法はコンピューターと"一心同体"の記数法であり，10進法は日常生活に不可欠な記数法です．その点，3進法は存在感が薄いのですが，天びんと絡ませると教材としておもしろい結果が出てきます．3進法の例■ ある自然数xが3進法で20212(3) と表されているとします．※ここで，20212を二万二百十二 とは読まず，に/ゼロ/に/いち/に が普通の読み方■ 20212(3)を10進法で示すとx=2･3⁴+0･3³+2･3²+1･3¹+2 &nbs

部屋割り論法がここでとばかり登場する

「n個の部屋に(n+1)以上の客を泊めようとすると，相部屋(2人以上の客が入る)が必ずできる」という体験を基にした原理が"部屋割り論法"ですね．引き出し論法，鳩ノ巣原理とも言います．■ ネーミングからしてもわかりやすい原理であり，学習者のナットク感は高いです．しかし実際の適用場面となるとシックリ感は今一つということもありそうです．その原因を探ってみます．部屋割り論法 は相部屋の"存在だけ"を示す原理■ 部屋割り論法は，相部屋が何号室であるかは

1/7 にまつわる問題あれこれ

有理数1/7 はある意味で分数の「代表」です．a=1/7にまつわる問をいくつか挙げます．Q1 aを小数に直しなさい Q2 b=0.142857…を分数に直しなさい Q3 aが循環小数となる理由を述べなさい Q4 その他（「a=1/7のイメージを描きなさい」）Q1：割算が延々と続きます．Q2：巧妙な式変形で求められますが，無限に続く数のかけ算や引き算をするので数学的には疑問符が付きます．正式には無限等比級数の和の公式（高数Ⅲ）を用います． Q4：かつて熊本の小6

点と直線の距離公式⇒ ÷√a²+b²登場のワケ

点と直線の距離公式（以下,公式）は，受験数学では必須ツールですが，根号・絶対値付きの分数形式でゴッツいイメージです．特に，突然√a²+b² の登場に抵抗感がありそうです．定理 点(x₀,y₀)と直線ax+by+c=0 との距離d：\[d=\frac{ ax₀+by₀+c }{\sqrt{a²+b²}}\]点と直線の距離公式と学習者との「距離」■ 公式への「苦情」あれこれです① 数がなく文字だらけ ② 証明が

スーガクへの怨嗟①（例 平行移動の式変形）

「怨嗟(ｴﾝｻ)」は少しオーバーでした．しかし算数・数学の解説で，どこかあいまいさ・モヤモヤ感が残り，積もり積もってエンサとなることはあり得ます．実際「問題を解いていくとそのうちワカルよ」などと根拠の薄い弁解しながら先へ進む授業光景も散見されます．■ 先日，twitter上で見つけた一例です．関数y=f(x)のグラフをx軸方向にp平行移動したグラフの式は,y=f(x-p)となります．y軸方向も同様．⇒ 何で，x-p となるのでしょうか？x

「分数÷分数」 計算のナットク感はどう？

\[例 \frac{3}{4}÷\frac{5}{8}=\frac{3}{4}×\frac{8}{5}\]2分数の割算は「計算はできるにしてもワケはわからない」典型例かも知れませんね．■ 過日，本blogで1当たりの大きさ…1って何？をupしたところ，√6さんよりコメントを頂戴いたしました．後述しますように2分数割算の計算ルール ⇔ 1当たりの大きさであり「本質」が同じですので，ここでは√6さん案をメインに話題を提供します．Q

30°C＋50°C＝80°C とならないワケ

30g＋50g=80g, 30cm+50cm=80cm はよしとして，30°Cの水+50°Cの水=80°Cの水 は成り立ちません．その「ワケ」理解はいかがでしょうか．学生も含めてかなり怪しい状況です．■ 教材学研究第24巻「教員養成系大学生の量概念の実態と温度概念形成に向けた指導方法」（帝京科学大学 小池他，上越教育大学 高津戸）を基に話題を提供します．量は大別して2タイプ■ 日常よく目にする量についてですがⅠ：長さ，重さ，広さ etcⅡ：速さ，濃度，

立方体を回転させると…

立方体の回転もいろいろですが，中心を通る対角線を軸にして1回転してできる立体を話題にします．立方体という見慣れたモノを用いてはいますが，ケッコウな内容で手強いです．■ 写真では一番上の頂点で細い糸がかすかに見えておりますが，立方体がぶら下がっています．この状態で立方体をクルクルと回すわけです．■ 全体像はさておき，部分的に見ていきましょう（←"落とせそうな"ところから攻める！数学的思考の一つ）．■ 図で，上の頂点Aに集まる3本の辺で四面体

安直すぎる比例解説

ともなって変わる2つの量 ⇒ 即，比例！ こんなパターンがスッカリ定着し，算数・数学リーダーは「早く比例計算に導きたい」ようにさえ見えます．計算の前に「観察・思考」があるべきです．■ 水そうに1㍑のバケツでくり返して水を入れたときの深さが1回:4cm, 2回:8cm, 3回:12cm…となった．このとき，・・・■ 上記のような例ならば，典型的な比例関係であり，計算式もすぐ求められます．日常生活に見る比例■ 図は

数学vs物理

学ぶ上で「物理にあって数学に欠けていること」ってありますよね（もちろん，その逆も）．例を挙げてその「欠く点」のカイゼンを図りたいと思います．典型的な問題2例A(物理) 地上19.6mのところから，水平方向に初速度2.0mで小石を投げた．地面に落下するまでの水平距離と着地に要する時間を求めよ．ただし，空気抵抗は無視するとする．B(数学) 図のように円筒形タンクに水が満たされている．底に直径5cmの穴から水が

紙面1万文字から1文字を当てる

最近は新聞が”遠く”なりましたね．ある小学2年生クラスで「明日，授業で使うから，おうちから新聞紙1枚持ってきて」と話したところ，aさん「センセ，新聞紙ってなぁ～に？」！この寒空光景はさておき，1紙面に約10000字は印刷できそうです(画像，宣伝等なしで）．Q1 紙面上，相手が任意に決めた1文字を当てたいときの最小質問回数を求めてください．ただし，1問に対して相手は｛yes, no｝で答える というルールにしたがうとします．まず基本姿

マークシート方式の功罪

全国規模のマークシート方式テストが本格実施されて約半世紀近くなりました．今では保護者はもちろん，先生もマークシート世代です．いまさらですが，染み付いた「マーク」を話題にします．「マーク」をざっとおさらいする■ 加熱する大学入試の改善として1979(昭和54)年に共通一次テストがマークシート方式（以下，マーク式）で実施されました．背景には，大学入試について，①合否が1回だけのテストで決定していること，②範囲外からの出題や難問・奇問の出題の指摘 等の要因がありまし

1当たりの大きさ…1って何？

「算数つまずき」の一つ．まず1(単位量)がわかりにくい．自然数の出だしの数なのですが，扱いには苦労します．■ 代表的な問があります．Q1 $\frac{3}{4}m²の壁を\frac{5}{8}dl で塗れるペンキがあります．$$このペンキ1dlで何m²塗れますか．$A1 面積と使用するペンキ量は比例すると考えて，図のように比例式を立てると 面積 x=6/5 (m²)  と求まります．が，正答率はあまりよ

“こだわる”ヒト，減りました…

最近は"こだわる"ヒトがめっきり減りました（数学に限らない？）．"こだわりビト"は絶滅危惧種かも．学び合いする際，貴重な存在になり得るのですが．■ こだわること＝要領が悪い の等式が成り立ちそうな空気を感じます．職場はもちろん，学校社会(特に授業)においてです．背景の一つにマークシート式テストの浸透があると考えます．マーク式が本格導入されて約半世紀．マーク式回答は時間との闘いという側面が強く，その際「こだわり」は障害なのでしょう．こだわり

先生，周りみんなの三角形が皆ベツベツなんですけど…

A大学教育系学部の学生たちが出前授業として高校で数学を担当（復習）しました．その一場面からの話題提供です．多少脚色をしていますが，本テーマの顕在化のためですのでお許しください．最初の「問いかけ」が流れ全体を左右します■ 以下，担当学生Tさんの出だしの発言です．① では突然ですが，三角形ABCをノートに描いてください．② 描いた？ では，周りの皆さんの三角形と見比べてみて．③ ハイ，協力ありがとう．どう？そうですね．〇さんがつぶ

正四面体が（ちょっと小さい）正三角形の壁穴を通過する！

サイズ的にはムリなのに四面体が通過できる不思議な現象．10数年前「数学セミナー」でとり挙げられました．証明もさることながら，不思議感を味わいたく，ケッコウ精密な教具を作成しました（動画付）．証明の概略■ 数学セミナーによる解説を基に，補足を加えながら論を進めます．正三角形の壁穴をS，正四面体に平行光線を照射したときにできる影（正射影）をTとします．このとき正四面体が正三角形を通過できる ⇔ TがSに含まれるが成り立ちますね．

「採点前」でつまずく答案

マーク式テスト導入以来，約半世紀になります．その分，記述式答案の扱いが気になります．答案は「相手（採点者）のためにある」・・・これが原則です．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・記述式答案の「命」はその論理展開にあり p ⇒ q根拠pを示して結論q … この積み重ねが答案です・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・■ 図は最近目にした「気になる」答案例です（ぼかしています）．採点者の視点で答案