有名不等式（シュワルツの不等式）

イントロ 統計検定（1級）でもたまに知識が必要な有名不等式をまとめます。 今回は、シュワルツの不等式について紹介します。 いろいろなシュワルツの不等式 シュワルツの不等式はいろいろな形であらわれます。 ここでは4つの形を紹介します。 シュワルツの不等式(2数列バージョン) 2数列に関するシュワルツの不等式を紹介します。一番ポピュラーなものです。 シュワルツの不等式(2数列バージョン) 正の整数$n$に対し、実数列$\{a_i\} , \{b_i\} , i=1,2,\cdots,n$をとる。そのとき次の不等式が常に成立する。 \begin{align} \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} {b_i}^2\right) \end{align} 等号成立は \begin{align} a_1:a_2:\cdots:a_n = b_1:b_2:\cdots:b_n \end{align} の場合に限る。 コーシー・シュワルツの不等式とも言ったりします。 証明 $t$を実変数、$1 \le i \le n$とすると、 \begin{align}(a_i - t b_i)^2 \ge 0\label{ineq-a}\end{align} が成り立つ。 左辺を展開して$i=1$から$i=n$まで辺々足すと、 \begin{align} \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 -2t\sum_{i=1}^n a_i b_i + t^2 \sum_{i=1}^{n} {b_i}^2 \ge 0 \end{align} 左辺を$t$に関する二次関数とみると、常に0以上（実数解を持たない、または重解を1個持つ）であるので、判別式$D$は0以下となる。 つまり、 \begin{align} \frac{D}{4} = \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - \left(\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} {b_i}^2\right) \le 0 \end{align}

2018統計検定1級受験記

2018年11月25日 統計検定1級を受けてきました。試験の様子と感想を書きます。

数理統計：連続一様分布の性質

イントロ 代表的な分布の性質を解説します。 今回は連続一様分布です。 定義 連続一様分布は2つのパラメータ$a,b$をとり、区間$(a,b)$で確率密度関数が一定値を取るような分布です。 この連続一様分布を$U(a,b)$と書いたりします。 確率密度関数は、$X \sim U(a,b)$として、 \begin{align} f_X(x) = \begin{cases} \cfrac{1}{b-a} & (a < x < b) \lnl 0&(\text{その他}) \end{cases} \end{align} と表されます。 期待値 定義通りに計算します。 \begin{align} E(X) &= \int_a^b x\cdot \cfrac{1}{b-a} \delt x\lnl &=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{2}x^2\right]_a^b\lnl &=\frac{a+b}{2} \end{align} 分散 $V(X)=E(X^2) - E(X)^2$を用いて計算します。 \begin{align} E(X^2) &= \int_a^b x^2\cdot \cfrac{1}{b-a} \delt x\lnl &=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_a^b\lnl &=\frac{a^2+b^2+ab}{3} \end{align} これから、 \begin{align} V(X) &= E(X^2) - E(X)^2\lnl &= \cfrac{a^2+b^2+ab}{3} - \left(\cfrac{a+b}{2}\right)^2\lnl &= \cfrac{(b-a)^2}{12} \end{align} 積率母関数 定義通りに計算します。 \begin{align} M_X(t) &= E\left(e^{tX}\right) \lnl &= \int_a^b e^{tx}\cdot \cfrac{1}{b-a} \delt x\lnl &=\cfrac{1}{b-a}\left[\frac{e^{tx}}{t}\right]_a^b\lnl &=\cfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \end{align}

数理統計：指数分布の性質

イントロ 代表的な分布の性質を解説します。 今回は指数分布です。 定義 指数分布はパラメータ$\beta$をとります。 この指数分布を$Ex(\beta)$と書いたりします。 確率密度関数は、$X \sim Ex(\beta)$として、 \begin{align} f_X(x) = \begin{cases}\beta e^{-\beta x}& x >0\\ 0&x \le 0 \end{cases} \end{align} と表されます。 形からわかるように、ガンマ分布$Ga(\alpha,\beta)$の$\alpha=1$の場合と考えることができます。 期待値 定義通りに計算します。 \begin{align} E(X) &= \int_0^\infty x\cdot \beta e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\ &= \int_0^\infty e^{-\beta x} \mathrm{d}x - \Bigl[xe^{-\beta x}\Bigr]_0^\infty\\ &=\left[-\frac{1}{\beta}e^{-\beta x}\right]_0^\infty\\ &= \cfrac{1}{\beta} \end{align} 分散 $V(X)=E(X^2) - E(X)^2$を用いて計算します。 \begin{align} E(X^2) &= \int_0^\infty x^2 \cdot \beta e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\ &= 2 \int_0^\infty x\cdot e^{-\beta x} \mathrm{d}x - \Bigl[x^2 e^{-\beta x}\Bigr]_0^\infty\\ &= \cfrac{2}{\beta^2} \end{align} これから、 \begin{align} V(X) &= E(X^2) - E(X)^2\\ &= \cfrac{2}{\beta^2} - \left(\cfrac{1}{\beta}\right)^2\\ &= \frac{1}{\beta^2} \end{align} 積率母関数 定義通りに計算します。 \begin{align} M_X(t) &= E\left(e^{tX}\right) \\ &= \int

数理統計：ガンマ分布の性質

イントロ 代表的な分布の性質を解説します。 今回はガンマ分布です。 定義 ガンマ分布は2つのパラメータ$\alpha,\beta$をとります。 このガンマ分布を$Ga(\alpha,\beta)$と書いたりします。 確率密度関数は、$X \sim Ga(\alpha,\beta)$として、 \begin{align} f_X(x) = \begin{cases}\cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}& x >0\\ 0&x \le 0 \end{cases} \end{align} と表されます。 期待値 定義通りに計算します。 \begin{align} E(X) &= \int_0^\infty x\cdot \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\ &= \int_0^\infty \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha}e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\ &= \cfrac{\alpha}{\beta} \underline{ \int_0^\infty \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \mathrm{d}x} - \left[\frac{\beta^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}x^\alpha e^{-\beta x}\right]_0^\infty\\ &= \cfrac{\alpha}{\beta} \end{align} 最後の式の変形は、下線部が$Ga(\alpha,\beta)$のガンマ分布の全確率$1$となることを利用しました。 分散 $V(X)=E(X^2) - E(X)^2$を用いて計算します。 \begin{align} E\left(X^2\right) &= \int_0^\infty x^2\cdot \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \mathrm{d}x\\ &=

数理統計：正規分布の性質

イントロ 代表的な分布の性質を解説します。 今回は正規分布です。 定義 正規分布は2つのパラメータ$\mu,\sigma^2$をとります。 この正規分布を$N(\mu,\sigma^2)$と書いたりします。 確率密度関数は、$X \sim N(\mu,\sigma^2)$として、 \begin{align} f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \end{align} と表されます。 期待値 定義通りに計算します。 \begin{align} E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \mathrm{d}x\\ &(\text{Put } t \text{ as } x-\mu)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t + \mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{t^2}{2\sigma^2}\right) \mathrm{d}t\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t + \mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{t^2}{2\sigma^2}\right) \mathrm{d}t\\ &=\left[-\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2\sigma^2}\right)\right]_{-\infty}^{\infty}\\ &\qquad + \mu \underline{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{t^2}{2\sigma^2}\right) \mathrm{d}t}\\ &=\mu \end{align} 最後の式の変形は、下線部が$N(0,\sigma^2)$の二項分布の全確率$1$となることを利用しました。 分散 $V(X)=E(X^2)