有名不等式(シュワルツの不等式)
イントロ 統計検定(1級)でもたまに知識が必要な有名不等式をまとめます。 今回は、シュワルツの不等式について紹介します。 いろいろなシュワルツの不等式 シュワルツの不等式はいろいろな形であらわれます。 ここでは4つの形を紹介します。 シュワルツの不等式(2数列バージョン) 2数列に関するシュワルツの不等式を紹介します。一番ポピュラーなものです。 シュワルツの不等式(2数列バージョン) 正の整数$n$に対し、実数列$\{a_i\} , \{b_i\} , i=1,2,\cdots,n$をとる。そのとき次の不等式が常に成立する。 \begin{align} \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} {b_i}^2\right) \end{align} 等号成立は \begin{align} a_1:a_2:\cdots:a_n = b_1:b_2:\cdots:b_n \end{align} の場合に限る。 コーシー・シュワルツの不等式とも言ったりします。 証明 $t$を実変数、$1 \le i \le n$とすると、 \begin{align}(a_i - t b_i)^2 \ge 0\label{ineq-a}\end{align} が成り立つ。 左辺を展開して$i=1$から$i=n$まで辺々足すと、 \begin{align} \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 -2t\sum_{i=1}^n a_i b_i + t^2 \sum_{i=1}^{n} {b_i}^2 \ge 0 \end{align} 左辺を$t$に関する二次関数とみると、常に0以上(実数解を持たない、または重解を1個持つ)であるので、判別式$D$は0以下となる。 つまり、 \begin{align} \frac{D}{4} = \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - \left(\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} {b_i}^2\right) \le 0 \end{align}
2018/11/27 22:01