サンプル分位数の漸近正規性を確かめる

サンプル分位数の漸近正規性 サンプル分位数の漸近正規性で示した通り次が成り立ちます. $0 < p < 1$とし, 確率分布関数$F$が密度関数$f$を$Q_p$の近傍で持ち, $f$が$Q_p$で正であり連続ならば, \begin{align} \hat{Q}_{pn} \xrightarrow{d} \mathrm{N}\left(Q_p,\frac{p(1-p)}{f(Q_p)^2n}\right) \end{align} となる. 今回は, この定理が本当に成り立っているのかRを使ってシミュレーションしていきましょう. シミュレーション $F$が正規分布の場合 $F$を$\mathrm{N}(50,10^2)$に従う場合でシミュレーションしてみます. $n= 100 , p = 0.3$とします. この場合, $Q_p \fallingdotseq 44.756 , f(Q_p) \fallingdotseq 0.03477$なので, \begin{align} \hat{Q}_{0.3} \xrightarrow{d} \mathrm{N}\left(44.756,1.737\right) \end{align} となるはずです.シミュレーションにより$\hat{Q}_p$を独立に$10000$個生成し上記の正規分布に従うか確認してみます. Rのコードは次のようになります. 実行結果： 黒線がシミュレーションで生成した$\hat{Q}_p$で赤線が収束先の分布, つまり$\mathrm{N}\left(44.756,1.737\right)$です. よく一致していることがわかります. $F$がカイ二乗分布の場合 $F$を$\chi^2(8)$に従う場合でシミュレーションしてみます. $n= 200 , p = 0.7$とします. この場合, $Q_p \fallingdotseq 9.524 , f(Q_p) \fallingdotseq 0.0769$なので, \begin{align} \hat{Q}_{0.7} \xrightarrow{d} \mathrm{N}\left(9.524,0.1775\right) \end{align} となるはずです.シミュレーションにより$\hat{Q}

サンプル分位数の漸近正規性

はじめに ここでは, サンプル分位数の漸近正規性を示します. 必要な定義なども触れながら示していきますので, 一応このページだけ見ればわかるようにしています. 本ページで示すサンプル分位数の漸近正規性をRでシミュレーションした結果はこちらのページです。 分位数 $F$を分布関数とします. 分布関数の定義より右連続です. $0 < p < 1$となる$p$に対して, $F$の$p$分位数($p$-th quantile or fractile of $F$)は, \begin{align} Q_p = \inf \left\{x ; F(x) \ge p \right\} \end{align} で定義されます.これは, \begin{align} F(Q_p -) \le p \le F(Q_p) \end{align} を満たします.なお, 分位数は分位点または分位値ともいいます. 通常の意味での逆関数とは異なりますが, 次のような$F^{-1}$を定義することができます. \begin{align} F^{-1}(p) = \inf \{Q_p;F(Q_n) \ge p \} \end{align} これは$p$分位数の定義と同じことを言っています. 補題.$F$を分布関数とする. 上記で定義される$F^{-1}(p)$は, 非減少かつ 左連続で次を満たす. \begin{align} &\text{(i)} F^{-1}(F(x)) \le x ,\qquad -\infty < x < \infty\lnl &\text{(ii)} F(F^{-1}(p)) \ge p , \qquad 0 < p < 1\label{l-2}\lnl &\text{(iii)} F(x) \ge p \Longleftrightarrow x \ge F^{-1}(p) \end{align} 標本分布関数 分布$F$に従う大きさ$n$の標本$\{X_1 , X_2,\cdots ,X_n \}$を考えます.この標本に対しての標本分布関数(sample distribution function)とは, \begin{align} &F_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(X_i \le x) ,\qquad -\infty < x