ネピア数eが無理数であることの証明

2024年5月7日（火）ネピア数eが無理数であることの証明を紹介したい。こちらは円周率πが無理数であることの証明よりも遙かにやさしい。今一度、πが無理数であることの証明を振りかえってみてほしい。πが無理数であることの証明（2024年4月27日）eが無理数であることの証明の基本は、eのマクロリーン展開を使うことである。そして、eが有理数と仮定して矛盾を導くことである。ちょっと休息（1）5月5日のFacebook投稿より10年ぐらい前に大野町のバラ祭りに出かけたときに、ワンコインで1年苗を2鉢かってしばらく経て庭に植えたバラ。今は、庭のバラの中心的存在になっています。今年も花を付けました。写真は、パパメイアとモダンタイムズの2品種だったと記憶しています。ネピア数eが無理数であることの証明

円とおうぎ形に関する問題 ～面積に関する中学数学の難問

2024年5月5日（日）今回の問題は、以前のブログ『身勝手な主張』でとりあげた内容の再掲載です。面積に関する中学数学の難問のひとつである。私も中学生・高校生のときの遙か昔に、ここにあげた問題を解いてみたいと思っていた。しかし、いろいろ考えたけれど解くことができなかった。今度、私も参加している岐阜学習センターのサークル「おもしろ物理」で他の問題とともに問題提起する予定なので、このブログで改めて取りあげてみた。さて、問題についてひと言。本文の（解法）の図において、図形BAEが囲む面積を求めることが重要である。正方形からお互に重ならない図形BAEと自身も含めた4つの合同な図形の面積を引けば、求める図形の面積が求まることがポイントである。早速、解いてみよう。なお、ひと言。問題の図は境界が太線で書いてあるが、無視し...円とおうぎ形に関する問題～面積に関する中学数学の難問

関数の一様収束について ～定義および基礎的な問題を解く

2024年5月3日（金）一様収束については、大学院の入試問題関数の一様収束～京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻入試より（2023年11月11日）でも取りあげた。上のブログは一様収束の応用的なやや難しい問題であった。今回は基礎的な問題を解くことで、一様収束の概念を習得したい。一様収束の概念は、微分積分学の中でも特にわかりにくい概念で、問題の解法にはε－δ方式の証明が必須である。(注意）本ブログはかっての私のブログ『身勝手な主張』からの再掲載である。このことから、各点収束と一様収束の定義の区別がわかりにくい。ブログ関数の一様収束～京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻入試より（2023年11月11日）に記載されている定義の方がわかりやすい。そちらを参考にされたい。ちょっと休息（1）5月2日のFac...関数の一様収束について～定義および基礎的な問題を解く

ネピア数eを定義する数列の収束の証明 ～有界な単調増加数列であること

2024年5月1日（水）ネピア数eは、数列{(1+1/n)^n}の極限値として定義される。数列数列{(1+1/n)^n}が収束することを示すには、①この数列が単調増加であること、②有界であることを示す必要がある。本文は、この2点を示している。それに先だって、数列の基本的定理上に有界な単調増加数列は上限に収束すること下に有界な単調減少数列は下限に収束することを、ε－方式（ε－δ方式）での証明を示した。ε－方式（ε－δ方式）は慣れないと難しく感じるかもしれないが、微分・積分学を含めた解析学を学ぶ上で避けて通れない技法である。なお、このように定義されたネピア数が無理数であることは、別に証明する。ちょっと休息（1）4月30日（火）のFacebook投稿より岐阜学習センターから今学年前期に受講する面接授業の案内文が...ネピア数eを定義する数列の収束の証明～有界な単調増加数列であること

三角形に関する算数のある問題

2024年4月29日（月）久しぶりに算数の問題を解いてみよう。三角形の面積の問題である。基本的な事項は、次の通りである。（ⅰ）高さが等しい2つの三角形の面積の比は、底辺の比に等しい。（ⅱ）底辺を共有する2つの三角形の面積の比は、高さの比に等しい。上の（ⅰ）（ⅱ）のいずれかを用いて、2つの三角形の面積の比を求めるのが、このブログで取りあげた問題である。難しくないので童心に返って解いてほしい。三角形に関する算数のある問題

πが無理数であることの証明

2024年4月27日（土）πが無理数であることの初等的な証明を紹介したい。本文にあるように、小平邦彦編『数学の学び』」(1987.10.8岩波普店)収録の「数学に王道なし」で紹介されていたI.Nevenによるに証明である。じっくり読んで、理解していただきたい。ネピア数eが無理数であることの証明をこのブログのどこかで書いたような気がして探してみたが、なかった。πが無理数であることの証明より遙かに簡単なので、何れこのブログで紹介したい。ところで、「eやπが無理数である」ことの初等的でない証明は、超越数に関するリンデマンの定理の系を利用する方法である。後に示すように、簡単に証明できる。リンデマンの定理の系とは、0でない代数的数αに対してeαは超越数であるとの命題である。超越数とは、どの有理（数）係数の代数方程式...πが無理数であることの証明

y＝mxに対して、点Aと対称な点を求める

2024年4月25日（木）高校数学を学ぶ者が一度は解いておきたいと思う問題が、y＝mxに対して、点A(a,b)と対称な点B(u,v)を求めよという問題である。この問題に対して、オーソドックスな解法は、次の手順に従う方法である。（ⅰ）中点をMとしたとき、M((a+u)/2,(b+v)/2)は、y＝mx上にあるから(b+v)/2＝m・(a+u)/2が成立する。（ⅱ）AM⊥y＝mxの方向ベクトル(1,m)であるから、ベクトルAM・y＝mxの方向ベクトル＝0となる。すなわち、(u－a,v－b)・(1,m)＝0u－a＋m(v－b)=0が成り立つ。※この部分は、直線AMの傾きとy＝mxの傾きmの積はー1になる。このことを使ってもいい。すなわち、（v－b)/(u－a)・m＝－1u－a＋m(v－b)=0が成り立つ。（ⅲ）...y＝mxに対して、点Aと対称な点を求める

ラプラス変換2

2024年4月23日（火）前回のブログ；ラプラス変換1（2024年4月19日）では、主としてラプラス変換の定義やその関連定理の紹介等数学的な内容であった。今回は、直観的に主だった関数のラプラス変換を施して得られる関数を表にして、その表を基にしていろいろな関数をラプラス変換をしてみよう。ラプラス変換は、線型常微分方程式を解くなど物理学等ではよく利用される。与えられた線形常微分方程式は、本文の定理4と初期値を用いてラプラス変換をするとL(y)がsの代数方程式になる。その代数方程式を解いて、L(y)をsの関数で表す。次に、そのsの関数をラプラス逆変換をすると、もとの線形常微分方程式の一般解がわかるわけである。この線形常微分方程式をラプラス変換を用いて解く方法は、何れブログで取りあげてみたいと思う。ちょっと休息（...ラプラス変換2

θ→±0 ⇒ sin θ/θ→1 を使う極限値を求める問題

2024年4月21日（日）高校の数学Ⅲで一番よく使われる定理θ→0のときsinθ/θ→1を適応した極限値の問題を1問とりあげてみた。本文でも述べたように、インターネット上に載せられていた問題である。この定理の証明は、省略する。見方を変えると、θが0に近いところではsinθ≒θと近似できることを、この式は示している。単振り子の周期Tを求めるガリレオの公式T=2π√（L/g)L・・・ひもの長さ，g・・・重力加速度は、このことを使って導くことができる。私のブログ単振り子の周期～近似式としてのガリレオの公式の導出（2023年10月2日）を参照にしていただきたい。さて、問題についてポイントは、極限値を求める関数の分母をe^(x^2)－cosx＝｛e^(x^2)－1｝＋(1+cosx)と変形することに気づくかどうかで...θ→±0⇒sinθ/θ→1を使う極限値を求める問題

ラプラス変換1

2024年4月19日（金）ラプラス変換は、ある積分（本文参照）を介して関数空間を関数空間に変換することを言う。関数f(x)がラプラス変換によって、F(s)に変換されるとする。それをF(s)=L[f(x)]と表すことにする。Lは、線型写像である。すなわち、L[af(x)+bg(x)]=aL[f(x)]+bL[g(x)]＝aF(s)+bG(s)a,b∈R，Cが成立する。また、逆ラプラス変換L^(－1)[aF(s)+bG(s)]＝aL^(－1)[F(s)]＋bL^(－1)[G(s)]＝af(x)+bg(x)a,b∈R，Cも線型写像である。物理学でよく使われるラプラス変換、逆ラプラス変換であるが、主な関数については次回で表で表す。定義からの計算でなく、表を活用して自由にラプラス変換、逆ラプラス変換ができるようにす...ラプラス変換1

空間ベクトルの応用問題 ～2024年度前期日程の広島大学理系入試より

2024年4月17日（水）空間ベクトルの空間図形への応用問題である。平面ベクトルの平面図形の応用と同じように考えていけばいい。空間ベクトルとは、標準ベクトルと言われるベクトルi=(1,0,0)ベクトルj=(0,1,0)ベクトルk=(0,0,1)を基底として任意のベクトルv＝a(ベクトルi)＋b(ベクトルj)＋c(ベクトルk)と表すことができるベクトルのことをいう。2つの空間ベクトルuとvに対しては、平面ベクトルと同じように、内積を考えることができる。また、平面ベクトルにはない外積を定義することができる。本ブログで取りあげた広島大学の理系の入試問題は、空間ベクトルの空間図形への応用問題であるが、比較的（解法）の方針の立てやすい問題である。なお、小問（4）の三角形の面積を求める問題は、①三角形の底辺と高さの長...空間ベクトルの応用問題～2024年度前期日程の広島大学理系入試より

加群について

2024年4月15日（月）加群とは、加法群のことで和という演算に対して、結合法則と交換法則や零元・逆元が存在する群のことを言う。この加群に、いわゆる乗法と言われる演算を付加して、Rｰ加群や分配環、そしてリー環などを考えることができる。Rｰ加群は加群にスカラー倍を定義したものである。Rとして体を考えたときがベクトル空間である。Rｰ加群は、ベクトル空間の一般化になっているわけである。本文でも述べてように、ベクトル空間には必ず基底が存在するが、Rｰ加群には基底が存在するとは限らない。両者に、その違いがある。以下、簡単にRｰ加群や分配環、そしてリー環について見ておこう。（訂正）1枚目「R－加群」の項14行目（誤）基底の存在賀ある⇒（正）基底の存在があるちょっと休息（1）4月13日（土）のFacebook投稿より今...加群について

正五角形 ～初等幾何学の話題から

2024年4月13日（土）正五角形の①1辺と対角線の長さとの比、②もとの正五角形とすべての対角線で囲まれた正五角形との面積の比について、考えて見よう。何れも初等幾何学の有名な問題である。まず、三角関数を使って問題を解決する方法を紹介しよう。使う三角関数の命題は、倍角の公式と三角形についての正弦定理ぐらいであろう。しかし、三角関数を用いるこのような方法を初等幾何的な解法と思わない人も多いであろう。私自身は、三角関数を駆使した解法も初等幾何学の解法だと思う。平面図形にベクトルを使って解く方法と同様に、解法に使う道具が初等的であるという意味で初等幾何学的な方法だと思う。ここでは、➁を先に求めてから①を求めている。三角関数を使わない方法を紹介しておこう。2018年度の広島県立大学の入試問題を解くなかで、前述の①お...正五角形～初等幾何学の話題から

昨年度より大きく前進した北方町立北学園のPTA入会書

2024年4月11日（木）岐阜県の多くの小・中学校および義務教育学校は、4月8日に着任式・始業式そして入学式が行われた。この日、学校や学校を通して配布される文書も多い。その中に、PTA関係の文書もあるだろう。下の文書は、岐阜県北方町立北学園のPTA入会書の文書である。保護者から提供していただいた文書である。私は、この文書を見たとき正直驚いた。昨年度のPTA入会書（登録書）を知っている者にとって、大きく前進しているからである。まず、読んでいただきたい。今年の北学園のPTA入会書が評価できる点は、いくつかある。いい点、若干疑問に思う点を述べておこう。まず、『北学園PTA入会届および個人情報取扱同意書について』の文書について、述べよう。この文書がいい点は、①文書発行者名が「PTA会長」名で、「校長名」がないこと...昨年度より大きく前進した北方町立北学園のPTA入会書

行列式の定義3 ～4次行列式の計算

2024年4月9日（火）少し間が空いたが、4次行列式には次のようなブログで書いてきた。行列式の定義1～その準備（置換）（2024年3月28日）行列式の定義2～4次行列式の定義（2024年4月1日）これらのブログは、主として行列式の理論面が中心であった。今回は、行列式の計算をとりあげてみよう。と言っても行列式の計算のパターンは大変多く、本ブログは群盲象をなぜる岳になってしまった。特別な行列式については、今後も別にとりあげていきたいと思います。行列式の計算は、行基本変形や列基本変形をおこないながら、成分にできるだけ多くの0を作ることが重要になる。また、行列式を1行または1列にしたがって小行列式に展開して行列式の次数を小さくすることも重要である。特に4次行列式は定義にしたがって計算することはめんどうであるからの...行列式の定義3～4次行列式の計算

大垣市の教育での最大の失敗 ～土曜日授業＝ふるさと大垣科

2024年4月7日（日）下の文章は、大垣市文教協会の最近の広報誌からとったものです。この一文を読んで、私が2020年度頃から大垣市の教職員や保護者、そして市議会議員の協力を得て真剣に取り組んだ土曜日授業＝ふるさと大垣科をやめさせる運動をしていた頃を思い出した。この文書の筆者である清水昭治氏は、平成26年（2014年）度当時の大垣市教育委員会の学校教育課長で、当時の教育長山本譲氏の意向を受けて土曜日授業＝ふるさと大垣科の積極的に推進した人だった（注）。だから、土曜日授業＝ふるさと大垣科を積極的に評価しているのが目立つ。しかし、土曜日授業＝ふるさと大垣科は、山本譲前教育長の自己満足的な実践であった。土曜日授業の実施にこだわったのは、前小川淳市長だという人も多いが、山本前教育長が推進に積極的だったことは事実であ...大垣市の教育での最大の失敗～土曜日授業＝ふるさと大垣科

3次方程式と連立方程式を解く問題 ～2024年度前期日程の名古屋大学文系学部の入試より

2024年4月5日（金）名古屋大学の3次方程式と連立方程式を解く非常にやさしい問題をとりあげた。3次方程式を解く場合、高校数学では因数定理を用いて因数分解される場合に限られる。一般の3次方程式の場合、解の公式が存在するのでそこに代入すれば必ず解くことができる。大学で習う数学でも、3次方程式の解の公式を用いて3次方程式を解くことはほとんどないと思う。名古屋大学で出題された3次方程式は、簡単に解ける問題である。具体的に、x³－3x²－50＝0である。左辺をf(x)とおくと、f(5)=0である。因数定理から、f(x)はx－5という因数を持つ。したがって、x³－3x²－50＝(x－5)(x²＋2x＋10）となるから、f(x)=0の解が求まるのである。小問（2）以下は、置き換え等の指示にしたがって解いていけばいい。...3次方程式と連立方程式を解く問題～2024年度前期日程の名古屋大学文系学部の入試より

科目群履修認証状（環境科学の基礎）等が郵送されてきた ～放送大学エクスパート

2024年4月2日（火）はじめに～科目群履修認証制度放送大学の科目群履修認証状（環境科学の基礎）等が3月31日（日）に書留にて郵送されてきた。私は、今までも今回も単位認定試験の成績発表がなされる3月20日前後に申請してきた。認証状が送られてくるのは、6月初旬か中旬であった。今回は3月下旬であるから、すごく早く郵送されてきたことになる。31日曜日に郵便配達の人から手渡しされた書留になっていた封筒を見て、見当がつかなかった。封筒を開けてみて、ようやくわかった。郵送されてきた主な物は①科目群履修認証状（環境科学の基礎）②科目群履修証明書（環境科学の基礎）③科目群履修認証カード（環境科学の基礎）であった。私は今回で、科目群履修認証（放送大学エクスパート）を受けたのは、6回目になる。宇宙・地球科学プラン（宇宙・地球...科目群履修認証状（環境科学の基礎）等が郵送されてきた～放送大学エクスパート

行列式の定義2 ～4次行列式の定義

2024年4月1日（月）新しい学年を迎えた。私も放送大学の方は、選科履修生（他大学の1年間の科目履修生）として籍を置くこととなった。今までとあまり変わることはないが、全科履修生と違って卒業を意識することはなくなる。気楽に、学びを楽しみたい。前回にブログ、行列式の定義1～その準備（置換）（2024年3月24日）の4次対象群の元の符号の符号を定めて4次行列式を定義しよう。なお、符号は転置総数を調べて＋（値sgnは1）－（値sgnは－1）を定めることにする。また、4次元対象群の元の置換は、4！通りあるから、4次行列式の項は全部で24となることに注意してみよう。それでは、早速4次行列式の定義を述べよう。ちょっと休息（1）3月30日（土）のFacebook投稿より～奈良教育大学の附属小学校の対応に危惧教員養成系大学...行列式の定義2～4次行列式の定義

2024年度岐阜県の定例教職員異動が発表される

2024年3月30日（土）岐阜県教育委員会は、2024年度の定例教職員異動を発表した。3月19日の県教育委員会の会議にて教職員人事を最終決定して、その後に異動対象者本人に内示した。そして、3月27日（水）に一斉に新聞発表されたのである。本ブログでは，①今回の人事の特徴を岐阜新聞の3月27日朝刊から引用記事について簡単に述べる。続いて、➁私自身人事が知っている教員のについて触れる。そして最後に、③毎年掲載してきた2024年4月1日付けで採用される新規採用教員の名簿を岐阜新聞の3月27日朝刊から引用して掲載する。人事の特徴2024年度の人事の特養は、下の岐阜新聞の記事に記載されている。一番大きな特徴は、60歳定年が延長されたことにより定年退職者がいなくなり、人事異動の総数が大幅に減ったことである。60歳を迎え...2024年度岐阜県の定例教職員異動が発表される