ある数学愛好者のひとり言

最小多項式とジョルダン標準形

2024年6月11日（火）最小多項式とジョルダン標準形

2024/05/31 14:08

複素関数の正則性等 ～東北大学大学院入試問題より

2024年5月30日（木）私は、複素解析学が好きである。1988年度に岐阜聖徳学園大学の科目履修生として、複素解析学が講義内容であった『解析学Ⅲ』を学んだことがこの数学の領域に触れた最初だった。それ以来、複素解析学の本をよく読んだ。その後、2017年度に放送大学で『解析入門'14』を再履修した。そうした事情もあって、このブログでも複素解析学の話題を取りあげてきた。ざっと調べてみると、以下をあげることができる。グリーンの定理からコーシーの積分定理へ（2024年1月23日）フレネル積分（2024年2月13日）代数学の基本定理の証明～複素解析学による方法（2024年2月21日）本ブログの内容は、小問（1）がある複素関数の正則性を証明する問題で、小問（2）が留数定理を用いて複素積分を計算する問題である。いずれも気...複素関数の正則性等～東北大学大学院入試問題より

2024/05/30 00:00

三角関数の置換積分の問題 ～2024年度前期日程の東京医科歯科大学医学部医学科の入試より

2024年5月27日（月）三角関数を含む関数の置換積分に関する問題である。小問（1）（2）の一般的な定理を証明させて、小問（3）の積分∫_[0,π]sinx/(1+√（1+x²)dxの計算に導く問題である。小問（1）（2）の証明は難しくないが、小問（3）の計算には、工夫が必要である。ちょっと休息（1）5月25日のFacebook投稿より昨日は、サークル「おもしろ物理」が14時からある日でした。朝から出かけました。8時45分に岐阜学習センターに到着。9時まで学生控え室で休息を取った後、9時に視聴覚スペースに入室しました。そこで、島内裕子先生の『枕草子の世界'24』の第3講「枕草子の列挙章段』を聴講しました。列挙章段のうち、「凄まじき物」「弛まるる物」「人に侮らるる物」「憎き物』の連続する四章段が扱われていま...三角関数の置換積分の問題～2024年度前期日程の東京医科歯科大学医学部医学科の入試より

2024/05/27 00:00

テンソル代数3 ～2次元および3次元ベクトルと2階テンソルとの積

2024年5月25日（土）前回までに、テンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分（2024年5月17日）テンソル代数2～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い（2024年5月21日）について、整理してきた。今回は、ベクトルとテンソルとの積について考えてみたい。考える場は、3次元ユーグリッド空間である。詳しい計算の決まりは、本文を読んでいただきたい。本ブログは物理学での利用を想定していて、「道具としての数学」に徹していきたい。ちょっと休息（1）5月23日のFacebook投稿より今日は他に用事がありましたので、岐阜学習センターに朝から出かけました。8時45分頃に学習センターの学生控え室で、視聴覚スペースが開く9時まで休息していました。いつもの学友と、会話を交わしていました。9時過ぎに視聴覚スペ...テンソル代数3～2次元および3次元ベクトルと2階テンソルとの積

2024/05/25 00:00

面接授業『精神医学の基礎編』を受講する

2024年5月23日（木）5月18日（土）・19日（日）は、岐阜学習センターで面接授業『精神医学の基礎編』を受講した。昨年度は愛知学習センターでの面接授業を受講していたので、久しぶりの岐阜学習センターでの受講となる。シラバスにあるように、講師は放送大学の「生活と福祉」コース所属の石丸政彦教授である。「生活と福祉」コースの科目を私自身が履修することは少ないが、精神疾患について知っておくのも必要だと判断して受講を決めた。現在は、定員40人満席となっている。講義内容から判断して、卒業と正看護師の取得をめざす准看護師も多く受講していることだろうと予想していた。。5月18日（土）は、面接授業1日目。朝、8時50分頃に岐阜学習センター事務室前で受付をした。学生控え室に入り、コーヒーを飲んだりしてしばらく休憩した。授業...面接授業『精神医学の基礎編』を受講する

2024/05/23 00:00

テンソル代数2 ～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い

2024年5月21日（火）前回のテンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分（2024年5月17日）に続いて、今回はテンソル代数の代数構造を中心に整理して見た。とくに、多項式代数との比較をしながら、述べてみた。本文にあるように、テンソル代数と多項式代数はともにベクトル空間であるが、多元環でもある。テンソル代数と多項式代数の大きな違いは、乗法について前者が非可換であるのに対して後者は可換であることである。このことが、両者の代数に大きな違いを与えている。そのようなことを、本文では触れてみた。テンソル代数2～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い

2024/05/21 00:00

5乗根 ～数学Cからの話題

2024年5月19日（日）高校の新課程での数学Cの話題である。ちなみに数学Cの内容は、数研出版の『数学C』の教科書のよると、平面上のベクトル空間のベクトル複素数平面式と曲線数学的な表現の工夫から構成されている。本ブログは、「複素数平面」の単元からの話題である。ちなみに「数学的な表現の工夫」の単元には、復活した行列の学習も含まれている。全単元必須でなく、高校によっての選択である。大部分の高校が「平面上のベクトル」「空間のベクトル」と「複素数平面」を選択していることであろろ。本ブログは、n乗根にうちのn=5の場合、すなわち5乗根についてある。n乗根は、z^n=1のことで、その解は極形式でz＝cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)（k=0,1,2,・・・,k－1）で与えられる。ド・モアブルの定理を使う。最...5乗根～数学Cからの話題

2024/05/19 00:00

テンソル代数1 ～テンソルの定義とテンソルの基底・成分

2024年5月17日（金）今回から次のように3回にわたって、テンソル代数の整理をしたい。テンソル代数は数学のみならず、物理学でも重要である。物理学では、道具として使うことに重点が置かれている。テンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分（2024年5月17日）テンソル代数2～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い（2024年5月21日）テンソル代数3～2次元および3次元ベクトルと2階テンソルとの積（2024年5月25日）私自身の学習のためにも、テンソル代数について整理してみた。ちょっと休息（1）5月15日のFacebook投稿より中央教育審議会の特別部会による「教職調整額を現行の給料月額4％から10％以上に引き上げる」という提言に、日教組・全教など様々な教職員組合や教育団体からの批判が巻き起こ...テンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分

2024/05/17 00:00

関数の接線に関する問題 ～2024年前期日程の新潟大学理学部・医学部・歯学部・工学部入試より

2024年5月15日（水）関数y=f(x)上の点A(a,f(a))から引いた接線が再びy=f(x)と交わるとき、y=f(x)とその接線とで囲まれた面積を求める問題は、よく大学入試問題で出題される。本ブログに取りあげた新潟大学理系の問題は、関数y=f(x)と接線とで囲まれた面積を求める問題でないけれども、接線が関わっている。よく知られたように、微分可能な関数y=f(x)上の点A(a,f(a))から引いた接線の方程式は、y－f(a)＝f’(a)(x－a)で与えられる。このことを使う問題を取りあげて見た。本問のメインである小問（4）を解くために、それ以前の小問が誘導になっているので、小問の順に問題を解いていけばいい。ちょっと休息（1）5月14日のFacebook投稿より昨日、自動車税の納入通知がきました。私の場...関数の接線に関する問題～2024年前期日程の新潟大学理学部・医学部・歯学部・工学部入試より

2024/05/15 00:00

学校とPTAとのあり方の管理職研修について、岐阜県教委教育研修課と岐阜市教育委員会学校指導課からの回答

2024年5月13日（月）はじめに5月6日に岐阜県教育委員会教育研修課（総合教育センター内）に、学校とPTAとのあり方の管理職研修についてメールにて質問をした。翌日には岐阜市教育委員会に質問した。岐阜市への質問は、400字以内でまとめて資料の添付ができないので、あらためて文面を考えた。一般的のことを岐阜市教育委員会という特定な教育委員会に質問をすることに意外に思われる人もいるかもしれない。この理由は、岐阜市が中核市であって県教委と同等な市内教職員の研修権があるからである。例えば初任者研修の場合、岐阜市内の初任教職員は県の研修に参加しないで、岐阜市教育委員会が独自におこなう研修に参加することになる。このような事情からである。私が2つの教職員の研修期間に」質問をしたのは、質問のメールに理由が書いてある。県内の...学校とPTAとのあり方の管理職研修について、岐阜県教委教育研修課と岐阜市教育委員会学校指導課からの回答

2024/05/13 00:00

定積分で定義された関数列 ～横浜国立大学大学院の入試問題より

2024年5月11日（土）本ブログで大学院の入試問題をとりあげるのは、入試問題を解くことで大学の学部課程で学ぶ数学をきちんと復習したいからである。したがって、どこの大学院のどの専攻で出題されたかとか、出題年度がいつだとかは気にしていない。ほとんどは、本になって出版されているものである。今回は、姫野俊一・陳啓浩共著『演習大学院入試問題[数学]Ⅰ＜第2版＞』（サイエンス社、2006.0610）に掲載されていた問題を取りあげて見た。高校数学では普通、関数列は扱わないのが原則である。しかし、大学の入試問題ではかなりの大学で出題されている。また、定積分を用いて関数または関数列を定義する問題は、よく出題されている。例えば、私のブログ；定積分で定義された関数の問題～2024年度前期日程の広島大学文系の入試より（2024...定積分で定義された関数列～横浜国立大学大学院の入試問題より

2024/05/11 00:00

定積分で定義された関数の問題 ～2024年度前期日程の広島大学文系の入試より

2024年5月9日（木）定積分で定義された関数に関する入試問題は、多くの大学で出題されている。今回とりあげた広島大学文系の入試問題も、そのうちのひとつである。文系に入試問題であるから、積分は数学Ⅱの多項式関数の積分となる。難しい問題でないが、本文にも書いたように解法の方針は立てやすい問題であるが、結構計算が大変である。ちょっと休息（1）5月7日のFacebook投稿より・・・岐阜県教委教育研修課に質問昨日、岐阜教育委員会教育研修課（県総合教育センター内）にメールにて質問をしました。学校とPTAとのあり方の研修につて、①校長・教頭等の管理職に対して、学校とPTAとの関わり方の研修は実施されているのですか？実施されているとしたら、毎年何回、何時間程度行われているのですか？➁今後管理職に対して、学校とPTAとの...定積分で定義された関数の問題～2024年度前期日程の広島大学文系の入試より

2024/05/09 00:00

ネピア数eが無理数であることの証明

2024年5月7日（火）ネピア数eが無理数であることの証明を紹介したい。こちらは円周率πが無理数であることの証明よりも遙かにやさしい。今一度、πが無理数であることの証明を振りかえってみてほしい。πが無理数であることの証明（2024年4月27日）eが無理数であることの証明の基本は、eのマクロリーン展開を使うことである。そして、eが有理数と仮定して矛盾を導くことである。ちょっと休息（1）5月5日のFacebook投稿より10年ぐらい前に大野町のバラ祭りに出かけたときに、ワンコインで1年苗を2鉢かってしばらく経て庭に植えたバラ。今は、庭のバラの中心的存在になっています。今年も花を付けました。写真は、パパメイアとモダンタイムズの2品種だったと記憶しています。ネピア数eが無理数であることの証明

2024/05/07 00:00

円とおうぎ形に関する問題 ～面積に関する中学数学の難問

2024年5月5日（日）今回の問題は、以前のブログ『身勝手な主張』でとりあげた内容の再掲載です。面積に関する中学数学の難問のひとつである。私も中学生・高校生のときの遙か昔に、ここにあげた問題を解いてみたいと思っていた。しかし、いろいろ考えたけれど解くことができなかった。今度、私も参加している岐阜学習センターのサークル「おもしろ物理」で他の問題とともに問題提起する予定なので、このブログで改めて取りあげてみた。さて、問題についてひと言。本文の（解法）の図において、図形BAEが囲む面積を求めることが重要である。正方形からお互に重ならない図形BAEと自身も含めた4つの合同な図形の面積を引けば、求める図形の面積が求まることがポイントである。早速、解いてみよう。なお、ひと言。問題の図は境界が太線で書いてあるが、無視し...円とおうぎ形に関する問題～面積に関する中学数学の難問

2024/05/05 00:00

関数の一様収束について ～定義および基礎的な問題を解く

2024年5月3日（金）一様収束については、大学院の入試問題関数の一様収束～京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻入試より（2023年11月11日）でも取りあげた。上のブログは一様収束の応用的なやや難しい問題であった。今回は基礎的な問題を解くことで、一様収束の概念を習得したい。一様収束の概念は、微分積分学の中でも特にわかりにくい概念で、問題の解法にはε－δ方式の証明が必須である。(注意）本ブログはかっての私のブログ『身勝手な主張』からの再掲載である。このことから、各点収束と一様収束の定義の区別がわかりにくい。ブログ関数の一様収束～京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻入試より（2023年11月11日）に記載されている定義の方がわかりやすい。そちらを参考にされたい。ちょっと休息（1）5月2日のFac...関数の一様収束について～定義および基礎的な問題を解く

2024/05/03 00:00

ネピア数eを定義する数列の収束の証明 ～有界な単調増加数列であること

2024年5月1日（水）ネピア数eは、数列{(1+1/n)^n}の極限値として定義される。数列数列{(1+1/n)^n}が収束することを示すには、①この数列が単調増加であること、②有界であることを示す必要がある。本文は、この2点を示している。それに先だって、数列の基本的定理上に有界な単調増加数列は上限に収束すること下に有界な単調減少数列は下限に収束することを、ε－方式（ε－δ方式）での証明を示した。ε－方式（ε－δ方式）は慣れないと難しく感じるかもしれないが、微分・積分学を含めた解析学を学ぶ上で避けて通れない技法である。なお、このように定義されたネピア数が無理数であることは、別に証明する。ちょっと休息（1）4月30日（火）のFacebook投稿より岐阜学習センターから今学年前期に受講する面接授業の案内文が...ネピア数eを定義する数列の収束の証明～有界な単調増加数列であること

2024/05/01 00:00

三角形に関する算数のある問題

2024年4月29日（月）久しぶりに算数の問題を解いてみよう。三角形の面積の問題である。基本的な事項は、次の通りである。（ⅰ）高さが等しい2つの三角形の面積の比は、底辺の比に等しい。（ⅱ）底辺を共有する2つの三角形の面積の比は、高さの比に等しい。上の（ⅰ）（ⅱ）のいずれかを用いて、2つの三角形の面積の比を求めるのが、このブログで取りあげた問題である。難しくないので童心に返って解いてほしい。三角形に関する算数のある問題

2024/04/29 00:00

πが無理数であることの証明

2024年4月27日（土）πが無理数であることの初等的な証明を紹介したい。本文にあるように、小平邦彦編『数学の学び』」(1987.10.8岩波普店)収録の「数学に王道なし」で紹介されていたI.Nevenによるに証明である。じっくり読んで、理解していただきたい。ネピア数eが無理数であることの証明をこのブログのどこかで書いたような気がして探してみたが、なかった。πが無理数であることの証明より遙かに簡単なので、何れこのブログで紹介したい。ところで、「eやπが無理数である」ことの初等的でない証明は、超越数に関するリンデマンの定理の系を利用する方法である。後に示すように、簡単に証明できる。リンデマンの定理の系とは、0でない代数的数αに対してeαは超越数であるとの命題である。超越数とは、どの有理（数）係数の代数方程式...πが無理数であることの証明

2024/04/27 00:00

y＝mxに対して、点Aと対称な点を求める

2024年4月25日（木）高校数学を学ぶ者が一度は解いておきたいと思う問題が、y＝mxに対して、点A(a,b)と対称な点B(u,v)を求めよという問題である。この問題に対して、オーソドックスな解法は、次の手順に従う方法である。（ⅰ）中点をMとしたとき、M((a+u)/2,(b+v)/2)は、y＝mx上にあるから(b+v)/2＝m・(a+u)/2が成立する。（ⅱ）AM⊥y＝mxの方向ベクトル(1,m)であるから、ベクトルAM・y＝mxの方向ベクトル＝0となる。すなわち、(u－a,v－b)・(1,m)＝0u－a＋m(v－b)=0が成り立つ。※この部分は、直線AMの傾きとy＝mxの傾きmの積はー1になる。このことを使ってもいい。すなわち、（v－b)/(u－a)・m＝－1u－a＋m(v－b)=0が成り立つ。（ⅲ）...y＝mxに対して、点Aと対称な点を求める

2024/04/25 00:00

ラプラス変換2

2024年4月23日（火）前回のブログ；ラプラス変換1（2024年4月19日）では、主としてラプラス変換の定義やその関連定理の紹介等数学的な内容であった。今回は、直観的に主だった関数のラプラス変換を施して得られる関数を表にして、その表を基にしていろいろな関数をラプラス変換をしてみよう。ラプラス変換は、線型常微分方程式を解くなど物理学等ではよく利用される。与えられた線形常微分方程式は、本文の定理4と初期値を用いてラプラス変換をするとL(y)がsの代数方程式になる。その代数方程式を解いて、L(y)をsの関数で表す。次に、そのsの関数をラプラス逆変換をすると、もとの線形常微分方程式の一般解がわかるわけである。この線形常微分方程式をラプラス変換を用いて解く方法は、何れブログで取りあげてみたいと思う。ちょっと休息（...ラプラス変換2

2024/04/23 00:00