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階乗（数式の「！」記号）の意味と使われ方

数学では、数式中にいわゆるびっくりマーク（感嘆符）の「！」が使われる事があります。これは階乗（factorial）を表す記号です。意味としてはすごく簡単なのですが、この記事では「具体的にどのような時に階乗を使うのか」という例も多く挙げる事で詳しく解説をします。 階乗の定義と計算方法数学の諸理論と応用における階乗の使われ方（6例） ※プログラミングでは感嘆符「！」の記号が「否定」の意味で使われる場合

2023/03/28 03:54

数学的帰納法とは？証明が簡単になる場合

数学的帰納法（「すうがくてききのうほう」）は数学の命題や定理の証明を行う手段の1つで、整数や数列的な内容が含まれる命題や定理を証明する時に使える場合があります。 「帰納」とはどのような意味？数学的帰納法による証明の手順数学的帰納法を使ったほうがよい場合とは？ 「帰納」とはどのような意味？ 数学的「帰納」法と言いますが、実は帰納という言葉自体は元々数学用語ではなくもっと一般的な語です。 「帰納」は「

2023/03/27 04:23

静磁場のベクトルポテンシャル

静磁場は回転が0でない（渦を作る）事から、電場の場合のようにスカラーポテンシャルを考えても統一的な物理的意味を与える事が難しくなります。（特に静磁場が電流により作られる場合。） しかしその代わりに静磁場は発散が0になります（磁場に関するガウスの法則）。そのため、任意の「ベクトル場の回転」の発散は0になるという公式と合わせて「回転が静磁場になるようなベクトル場」を考える事ができます。一般にそれをベク

2023/03/25 13:11

静電場の渦無しの法則【数式的導出】

静止した電荷あるいは電荷の分布が作る静電場（時間による値の変動がない電場）についてはクーロンの法則と、その一般的な形であるガウスの法則が成立します。そしてもう一つ、「渦無しの法則」というものも成立します。 渦無しの法則とは渦無しの法則における回転と循環の関係静電場の回転の直接計算による導出勾配と回転の関係からの導出電磁場で「渦」がある場合とは？ 【※この記事では、ベクトルに対する「ゼロベクトル」（

2023/03/18 05:42

ナブラ記号の使い方

ベクトル解析などで使う grad, div, rot (または curl) の代わりに∇（「ナブラ」）という記号を演算子として使って表記する方法があります。 この記事ではそれらの書き換えの方法と、ナブラ記号を使って作られる別の2つの演算子について詳しく説明します。 ナブラを使う利点は何か？勾配(grad)の書き換え（ハミルトン演算子）発散（div）の書き換え回転（rot, curl）の書き換え2階

2023/03/16 17:47

ストークスの定理【内容と証明】

電磁気学や流体力学、数学のベクトル解析の分野で、ガウスの発散定理と並んで重要な定理とも言えるストークスの定理について、その内容・使い方・証明を詳しく説明します。 ストークスの定理はベクトル場に対する数学上の定理です。スートクスの公式と呼ばれる事もあります。 ストークスの定理とは？内容とイメージ証明その1：積分と偏微分の計算を直接進める方法証明その2：微小長方形領域で回転を計算する方法 ストークスの

2023/03/14 14:11