searchカテゴリー選択
chevron_left

カテゴリーを選択しなおす

cancel
プロフィール
PROFILE

吉田信夫さんのプロフィール

住所
未設定
出身
未設定

自由文未設定

ブログタイトル
yoshidanobuo’s diary
ブログURL
https://yoshidanobuo.hateblo.jp/
ブログ紹介文
「大学への数学」執筆者,吉田信夫の数学雑記ブログ
更新頻度(1年)

40回 / 43日(平均6.5回/週)

ブログ村参加:2020/08/08

本日のランキング(IN)
読者になる

新機能の「ブログリーダー」を活用して、吉田信夫さんの読者になりませんか?

ハンドル名
吉田信夫さん
ブログタイトル
yoshidanobuo’s diary
更新頻度
40回 / 43日(平均6.5回/週)
読者になる
yoshidanobuo’s diary

吉田信夫さんの新着記事

1件〜30件

  • 2 / 13 = 0. 1538461538461538 ‥‥から

    お世話になっている出版社「現代数学社」の雑誌「現代数学・2020年10月号」に載っていた問題を見て考えた(思い出した)ことがあるので,ちょっと書いてみます. 中学入試算数の元ネタになることもある,整数・分数・小数の性質です. (1) 0. 3846153846153846 ‥‥ は,2 / 13 の小数第3位以下の部分.とりあえず,0. 1538461538461538 ‥‥に何かを掛けたいのですが,何を掛けましょうか?小数点を2だけずらすので,100 を掛けてみましょう! 200 / 13 = 15. 3846153846153846 ‥‥ これから,ある数を引くと良いですね!引く数は? 0…

  • 灘中算数の問題に大人の武器を用いて挑んでみた

    中学入試算数って,○○算が幅を利かせる世界だと思っていませんか?実はそんなことはなくて,解法当てはめで解ける問題ばかりではありません.(中学の難易度によって違いますけど,灘中ではそんなほとんど問題は出ません) 思考と工夫で乗り切るパズル的な問題も多くて,解いていて本当に楽しいものです.道具が少ないというのが,解法の選択肢を狭くしてくれて,その範囲内で解けるというルールがあるのも魅力です. では,ルールを無視して,大人の道具を振りかざしたらどうなるか?この問題で実演してみます. さて,どうやって解きましょう? 角度を求めたいので,「三角比」でやってみましょう. 手書きで申し訳ないですが・・・ こ…

  • こんな問題を作ってみたんですけど,どうでしょう? ②

    2次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが,3次関数になっても解けるでしょうか? 前回も同じようなセリフを書いたような(笑)「漸近線に注目したら,d もすぐに分かる」という別解をいただき,悔しいので同じような問題でリベンジです.絶対に赤い線を利用させたい! ということで・・・ 正解は,【a>0,b<0,c<0,d>0】です. bが一番難しいと思っています.どう考えることを想定して作ったのか,解説してみようと思います. ※もっと良い解法があるかも知れません. 発見したら教えてください! a はグラフの向きに対応するので,a>0です.理由をしっかり説明するには, ・x→…

  • こんな問題を作ってみたんですけど,どうでしょう?

    2次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが,2次曲線になっても解けるでしょうか? 小難しい数学の理論を知っている子ではなくて,こういう問題にしっかり挑める子を育てたい,というのが私の思いです. 正解は,a<0,b<0,c>0,d<0です.どう考えることを想定して作ったのか,解説してみようと思います. ※もっと良い解法があるかも知れません. 発見したら教えてください! さて,まず,式に入っている文字の順番がむちゃくちゃですね.普通なら,前から順にa,b,c,dとするはずなのに.ここには出題者の意図があるはずです(出題者が言うのだから,間違いない!) そこで,aとそれ以…

  • z^3 の偏角が,z の偏角の3倍だと思っていませんか?

    ド・モアブルの定理で,特に n=3 のとき, (cosθ+i sinθ)^3=cos(3θ)+i sin(3θ) z=r(cosθ+i sinθ) (r>0)とおくと, z^3=r^3 {cos(3θ)+i sin(3θ)} だから, z^3 の偏角は 3θ ‥‥(*) ですね. と,思いきや・・・ (*)は本当に正しいですか?? 偏角の定義を思い出してください! z=r(cosθ+i sinθ) (r>0)と表されるとき,z の偏角は arg z=θ+2mπ (m は整数) であって,arg z=θではありません.偏角の1つがθです.偏角をθと置いているのではありません!! では,z^3 の…

  • ぽっこりカワイイ曲線の漸近線を求めるのは楽ではない ③

    『曲線 x^3+y^3-1-xy=0 の漸近線 3x+3y+1=0 を如何にして求めるか?』シリーズの最終回です. 図を見てください. ぽっこりカワイイ曲線は,45°回転すると,真横を向いたポッコリ曲線に変わりそうです.では,回転はどうとらえましょう? 点P(p,q)を原点のまわりに45°回転して得られる点をQ(X,Y)とおくと, X+Yi=(p+qi)×(1 / √2+i / √2) ‥‥(*) です.p,qが満たす関係式 p^3+q^3-1-pq=0 ‥‥(#) からX,Yが満たす関係式を作りたいので,(*)を p+qi=(X+Yi)×(1 / √2-i / √2) ‥‥(*) と変形して…

  • ベクトルって係数比較できるんでしたよね?

    ベクトルって,図形的センスがなくても計算で図形問題が解けるようになる,魔法の道具です. ※今回は,略記として,「ベクトルAB」を(AB)と表すことにします. 例えば三角形PQRの垂心H.外心Oを始点にすると, (OH)=(OP)+(OQ)+(OR) ‥‥(*) と表せるのでした.実際, |(OP)|=|(OQ)|=|(OR)| なので,(*)を満たすHは (PH)・(QR)={(OH)-(OP)}・(QR) ={(OQ)+(OR)}・{(OR)-(OQ)} =|(OR)|^2 - |(OQ)|^2 =0 を満たします.他も同じように考えて PH⊥QR,QH⊥RP,RH⊥PQ が分かるからです.…

  • このグラフが好きなんですよねぇ

    x=0 の周辺で,どこまでも周期を短くしながら振動.しかし,-x≦y≦x の外には出られない.この領域をほぼ埋め尽くすかのごとく,激しく振動します.とはいえ,各 x に対して1点ずつしかグラフ上の点は無いので,拡大すると実はスカスカ. x=0のときのy=0と定義しておくと,x=0で連続に.(x→0のとき,y→0だから) x を大きくしていくと,x→∞のとき,1/x→0だから,y→1.なぜなら,θ→0のとき sinθ/θ→1の公式に従うから.だから,x=0から十分に離れると,ほぼ横線のy=1で,これに漸近しています. x=0のときy=0と定めつつ,x=0周辺で無限振動させつつ,xの指数を色々変え…

  • 花子と花見,七五三 これを見て,三角形を連想する人は,マニアさん(笑)

    どうやって解きましょう?三角比を使って考えたりもできますし,同じ形をくっつけて真ん中に1辺が2の正三角形を描いてみたり,色々と考えられそうです. ここでは,60°と7から,「花子と花見」を連想したとします.ついでに,「七五三」も.「8・7・5」「8・7・3」「7・5・3」の長さの3辺をもつ三角形,実はけっこう有名なんです. 「4・8・4√3」の三角定規型に「1・4√3・7」の直角三角形を組み合わせたら分かりますね. 「8・7・5」「8・7・3」は,2番目の長さである7の向かいの角度が60°. 「7・5・3」は最大の長さである7の向かいが120°. いずれも,7の向かいが分かりやすい角度になるの…

  • 複素数平面の問題を作ってみましたが,どうでしょう?

    苦手な人が多い複素数平面.図形と代数の組合せという意味ではベクトルと近いですが,計算の意味をイメージするところがベクトルよりも難しいです.ベクトルも難しいのに,それよりも難しいなんて・・・という印象なのではないかと思います. 一番の特徴は,「極形式」と「積・商」だろうと思います.また,偏角が「一般角」であることも要注意.ベクトルのなす角は,「向きがない」「0~π」ですが,偏角は「向きがある」「すべての実数」です. また,共役複素数の図形的な意味も,けっこう大事です. ※本文では,zの共役複素数を「z共役」と表すことにします. さて,本問は,まず,実数であることを示すことになっています. zが実…

  • 大人の「収束の定義」 イプシロンεを使うヤツ ②

    【大人の「収束の定義」 イプシロンεを使うヤツ】では,「αに収束」の定義を,「“αに収束”でない」から論理を使って構築しました.写真の中央部です.これを日本語だけで書くと,一番下のようになります.イメージ湧きにくいかも知れません・・・本当は図を使うなどして視覚化して説明すべきなのですが,お許しを.また後日,この大学の定義を使って,高校数学では示せない,ある数列の収束を証明しようと思っています.さて,最初の問い.こちらの解説を以前はほとんど書きませんでしたが,必要性を感じたので,少し書いておこうと思います.教科書の定義をしっかり読み取ると・・・ lima_nは「数列{a_n}の極限」を表していま…

  • 2000年前のサイコロとは?

    いつもがっつり数学ですが,今回は,ちょっと数学に絡むけれど,ほぼ雑談のような内容です.唐突ですが,いまから2000年ほど前,古代ローマ・ギリシャの時代には,6面体サイコロが存在していたのをご存じですか? 動物の骨・角だったり,ガラスだったり,青銅だったり,色んな素材で作られています(その写真は記事の最後に). 6面体のサイコロとは別に,アストラガルス(複数形はアストラガロイ・トーラス,トーライの関係に似ていますね,ラテン語だからかな?)というものがあります.これを知っていたら,かなりのマニアさんです.もとは「動物のくるぶしの骨」という意味の言葉らしいです. 羊などのくるぶしの骨が四角柱のような…

  • 大人の「収束の定義」 イプシロンεを使うヤツ

    1つ目の問いの答えは②です.この書き方は,教科書的には認められないものです.(習慣的に書いている人も多いでしょうし,入試答案で減点されるとまでは言えないと思います.教科書には書かれることはない,ということは確かです) さて,「αに収束する」の否定を厳密に述べたものが分かりました.これを否定したら,「αに収束する」の定義になります. 否定の基本: ①すべてのAで,Pが成り立つ (否定)↓↑(否定) Pが成り立たないようなAが存在する (あるAで,Pが成り立たないものが存在する) ②P→Qが真である (否定)↓↑(否定) 反例(Pを満たすがQを満たさないもの)が存在する ●「αに収束する」の否定●…

  • 高校数学教育者には,ぜひ,知っておいてもらいたい!「多項式」と「多項式関数」の区別 ②

    この内容は,「教科書」から読み取った内容で,私の考えというわけではありません.「ホント?」と思われるところがあると思いますが,私の書いたことを踏まえて教科書をぜひ見返してください!おそらく分かっていただけると思います(教科書の言いたいことが). では,コピペから始まります(笑) 「2次式」と「2次関数」.実は違うのですけど・・・違いは説明できるでしょうか? 「2次式」は,x^2,x,1 に係数を付けて足した形の「式」 ax^2+bx+c のことです.2次ですから,a≠0 としておくのが良いですね. 「関数」は,x を代入して y を得るルールのこと.x に代入できる数全体の集合のことを,「定義…

  • ぽっこりカワイイ曲線の漸近線を求めるのは楽ではない ②

    唐突ながら, “極限”+“不等式”=“ハサミウチ” ですね! さて,もともと,「式だけで漸近線を求める」という課題でしたから, 「図より,漸近線は 3x+3y+1=0 である」 というのは,今回は避けることにします. ちなみに,k の範囲は 1)曲線の式に,x+y=kを代入して,xy を k の式で 2)その際,k≠-1 / 3 が確定 3)x,y を解にもつ2次方程式が実数解をもつ条件(判別式≧0) として求めることができますね. さて,そうして得られた -1 / 3 < k ≦ 2 の意味を考えることにしましょう. k=2のときの直線 x+y=2 は,ひょっこりの頂点(1,1)を通るもので…

  • 高校数学教育者には,ぜひ,知っておいてもらいたい!「多項式」と「多項式関数」の区別

    「2次式」と「2次関数」.実は違うのですけど・・・違いは説明できるでしょうか? まず,「関数」とは? x を代入して y を得るルールのことx に代入できる数全体の集合のことを,「定義域」と呼んでいます.「数列」を関数と見るときは,定義域は「自然数全体の集合」 N={1,2,3,‥‥‥}a_n=f( n ) となる関数 f( n ) が一般項で,等差数列は, 「自然数全体の集合を定義域として1次関数で表される」というのが正確だろうと思います.では,「多項式」と「多項式関数」の違い.とくに2次の場合で話をしてみましょう.「2次式」は,x^2,x,1 に係数を付けて足した形の「式」 a x^2+b…

  • ぽっこりカワイイ曲線の漸近線を求めるのは楽ではない

    図を見ると漸近線は存在しそうですが,式だけで考えるとなるとなかなか大変です.任意にxを固定すると,yは必ず実数として(少なくとも)1つ存在することは分かります.y=f(x)という形で表された曲線で漸近線を考えることはありますが,F(x,y)=0 表示で漸近線を考えたことは,ありますか?ちょっとハードですが,チャレンジしてみましょう!対称性があるから,x→+∞の方だけ考えましょう(x→-∞の方も同じ直線に漸近します).さて,いきなり躓きます.そもそも, ①x→+∞のときにy→-∞になるのか? ということを確認するのも,難しいからです.さらに, ②x→+∞のときに y / x が収束するのか? を…

  • 高校入試を大人の力で瞬殺(笑)

    さて,何をやったでしょう?黄金比とその共役のセットなので,イヤでも「アレ」を連想させます. とりあえず,思わせぶりな文字fを用いて, f_n=(x^n-y^n) / (x-y)により数列{f_n}を定めます.求めたいのは f_4×f_5です.知識としては f_1=f_2=1, f_(n+2)=f_(n+1)+f_n (n=1,2,3,‥‥‥)だから, f_3=2,f_4=3,f_5=5で,答えは15. さて,知識ではずるいので,いちおう解説. x+y=1,xy=-1だから,2次方程式 X^2-X-1=0は,X=x,yを解に持つ. x^2=x+1 ∴ x^(n+2)=x^(n+1)+x^n同様に…

  • 式の呼び名について

    今回は「式の呼び名」というニッチなところにフォーカスしてみたいと思います. ①2x+3は,「1次式」「1次の整式」 ②y=2x+3は,「1次関数」(直線の方程式) ③2x+3=1は,「1次方程式」 ④2x+3>1は,「1次不等式」 と呼ばれます.それぞれにおいてxは ①不定元 ②変数 ③④未知数 と呼ぶのではないかと思います. 考える対象としては, ①では「式そのものの性質」 ②では「xとyの関係」 ③④では「関係式を成り立たせるxの条件」 となると思います. そこで気になったこと・・・ この問いの答えは模索中です.結論が書かれていると思った方,スミマセン. 先生が用語を濫用するせいで,教わる…

  • 重心とベクトル 「重りをどう分割するか?」で色んな見方

    空間ベクトルによる点の表現の理解を少しでも深めてもらえたらと思います.重心を使ったアプローチです.「係数の和=1」の意味も合わせて確認していただければと思います. 左上の図のように,四面体の4頂点にそれぞれ13,4,4,4の重りを置きます.合わせて25の重さです. これが1か所に集まって25の重り1個にするなら,どこに置くべきか? その場所を重心と言います.その点Xはベクトルを用いて,図のように表すことができます.このXの面白いところは,「いくつかの重りの重心を先に考えておいて,あとで合体しても同じ重心になる」ということ. 線分の両端に重りをおくと,重心は内分点.三角形の頂点に“同じ重さ”の重…

  • 統計なんて数学じゃない,と思っている方へ

    これからの高校数学関係者,統計のできる人がこれから生き残れる人になるはず!純粋に「統計」ができるというだけではなく,「他分野との融合」もできる人です.融合の最も基本的なものは,数列の和の計算でしょう.何らか確率変数の期待値や分散と「解釈」できる和は,統計量として「別公式」で計算できることもあるのです. その際によく使うのがベルヌーイ分布(0と1の値をとる確率変数). 上記のあることとは・・・ k=1,2,3,‥‥‥,n-1について X_k=1(k回目までずっと表が出たとき) X_k=0(上以外のとき) と定めると,Xとどんな関係があるでしょう? 例えば, 表,表,表,表,裏,‥‥‥ となるとき…

  • 「和と一般項の関係」を誤認してみたら

    以下の記述,どう思われますか?明らかに間違っているのですが,どこがおかしいのでしょう? 和を考えるとき,ある決まった1つの数列 { a_n } : a_1,a_2,a_3,a_4,‥‥‥ で前から順に足していった和は数列で { S_n } : a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,a_1+a_2+a_3+a_4,‥‥‥ という数列になります. S_1=a_1,S_2=a_1+a_2,S_3=a_1+a_2+a_3, S_4=a_1+a_2+a_3+a_4,‥‥‥ です.一方,冒頭の和は,足されるものの中に個数の n が含まれています.だから,「1つの決まった数列で前から順に足している…

  • 僕の好きなグラフの仲間が,高校数学の根幹を揺るがす?

    赤いグラフを表す関数は,高校数学の根幹を揺るがすような危険なグラフです.ちょっと説明してみます.その前に,右下にある青い方のグラフ.僕の好きなもので,関数 f ( x )=x sin ( 1/x ) ( x ≠ 0 ) , f ( 0 )=0 のグラフです.x=0 の周辺で無限に激しく振動するのが,たまらないですね.さて,x → ∞ のときの y の極限はいくらでしょう? lim(θ→0) sinθ / θ=1を使える形で,y → 1 です.このグラフ,大好きなのです.0 周辺の無限振動と,遠く離れても 1 を超えることができない.なんかカワイイです.x=0 周辺では,増加と減少が激しく変化し…

  • こんな和の公式,覚えられるわけがない!

    何とコレ,予想通り等差数列の和の公式なのですね.より詳しく言うと,等差数列の和も計算できる公式. 意味を説明していきます. ※「aとdの定義を書いていないから,問いとして不成立」というご指摘はナシでお願いします. それにしても,意味不明ですよね(笑) 公式の意味を探るのに,シグマを消去してみましょうか.和の数列{S_n}と数列{a_n}の関係 a_1=S_1 a_n=S_n-S_(n-1) (n≧2)を使ってみてください. 計算は端折りますが,n=1のときとn≧2のときのそれぞれから, (a_(n+1))^2=(a_n+d)^2 (n≧1) ‥‥① が得られます!何と,等差数列の漸化式の両辺を…

  • y=sin x を2方向に回してみた

    波の形 y=sin x を回転させてみましょう! 「x 軸」のまわりに回転させたら,「お団子が無限に連なる」ような形に. 「y 軸」のまわりに回転させたら,「同心のドーナツが大きくなりながら無限に連なる」ような形に. どっちも美味しそうですね(笑)「せっかくなので式で表そう」というのが,今回の企画です. 前記事で,この理論を,軌跡でガチガチに説明しました. 改めて,少しゆるく説明してみます. グラフ上の点(k,f(k),0)を x 軸のまわりに1回転すると,次の円が得られます. y^2 + z^2 = { f(k) }^2 かつ x = k このような円をあらゆる k について集めたものが回転…

  • 回転体の方程式を求めたい!

    y=f(x)のグラフを,x 軸の周りに1回転して得られる曲面Sの方程式は? 半回転すると,曲線 y=-f(x) で,2つを合わせたら 曲線C:y^2={f(x)}^2になる. ここから「軌跡」の考え方です. 曲面S上に点 (x,y,z) がある ⇔ C上の点 (x,p,0) で,p^2=y^2+z^2となるものが存在する という言い換えができるのがポイントです. (x,0,0) の周りに (x,p,0) を(適当に)回転させて, 点 (x,y,z) が得られる と考えています. x 軸の周りに回転させて (x,y,z) になるような C上の点 (x,p,0) が存在する と言っても同じです. …

  • n進法と組立除法

    不勉強のため,メジャーな方法なのかどうか分かりません・・・たまたま見かけた解法の紹介です. 5進法の 4321 は,10進法で 4×(5の3乗)+3×(5の2乗)+2×5+1これを計算するのに,4次式 f(x)=4x^3+3x^2+2x+1を考えると,求める値は f(5) になっている!f(x) を x-5 で割ると f(x)=(x-5)×(商)+(余り)で, f(5) は f(x) を x-5 で割った「余り」になる. 余りは,組立除法で求めることができる!これが上の方法です.それなら,5進小数も,組み立て除法で10進法表示に変換できるのではないか? ちょっと注意点がありますが,何とかできま…

  • 極値の定義,ご存じですか? =大学・高校の違い&高校教科書間の違い=

    図の2つは「x=0で極小値-1」と言ってよいのでしょうか? 判断に困ったら定義を参照します! あるx=aでの値f(a)が極小値であるとは・・・ ①aを内部に含むある区間において「f(a)<f(x)」が成り立つことをいう. ②f(x)がx=aの前後で,「減少から増加に転じる」ことをいう. ③aを内部に含むある区間において「f(a)が最小値」であることをいう. 色んな定義があるじゃないか!? と突っ込みたくなるというのが,今回のテーマです. ①が狭義の極値.広義になると,③のように「最小値」で定義します.大学では,②のように増減で定義することはないようです. 高校数学では・・・何と!「連続関数」と…

  • 漸化式でやれることは微分方程式でもやれる?

    微分方程式は,好きですか? 導関数と元の関数が満たす関係式を見て,どんな関数なのかを考えるのですね. 導関数は lim(f(x+h)-f(x))/h ですから,差をとっているのですね. 階差数列みたいなものなのですよね. 関数での微分が,数列での階差 数列での和は,関数では・・・そう,積分ですね! 昨日,漸化式のちょっと変わった解法を紹介しました. ①漸化式で, ②特性解を求めず, ③階差をとり, ④階差数列が分かっても ⑤Σを計算せず, ⑥連立で ⑦一般項を求める. これを関数化すると,どう翻訳されるでしょう? ①微分方程式で, ②特殊解を求めず, ③微分し, ④導関数が分かっても ⑤積分を…

  • 漸化式から一般項を求めることに関して

    ☝ 【 レ ア 解 法 ? 】 階差数列の一般項を求めたのに,Σしないとか,カッコよくないですか? 1つの数列を決める漸化式は1つではなく,漸化式2つがあれば,連立して一般項を求めることができる. この視点は,けっこう優れていますよね. さて,漸化式の指導について. 「こうやったら上手くいくねん」とか「こういう背景があってな・・・」とか教える先生によって,内容がなかり違うのではないかと思います. 私は拘りがないので,算数的なことを多くやっている気がします. しかし,いくつか並べた状態で法則を見抜いて一般項を求めても「君が見つけたという法則は,本当にずっと続くの?」と聞かれたら「・・・」と言葉に…

カテゴリー一覧
商用