searchカテゴリー選択
chevron_left

メインカテゴリーを選択しなおす

カテゴリーのご意見・ご要望はこちら
cancel
プロフィール
PROFILE

吉田信夫さんのプロフィール

住所
未設定
出身
未設定

自由文未設定

ブログタイトル
yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー
ブログURL
https://yoshidanobuo.hateblo.jp/
ブログ紹介文
「大学への数学」執筆者・吉田信夫の数学探求ブログ(共通テスト系問題の研究報告)
更新頻度(1年)

117回 / 365日(平均2.2回/週)

ブログ村参加:2020/08/08

本日のランキング(IN)
フォロー

ブログリーダー」を活用して、吉田信夫さんをフォローしませんか?

ハンドル名
吉田信夫さん
ブログタイトル
yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー
更新頻度
117回 / 365日(平均2.2回/週)
フォロー
yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー

吉田信夫さんの新着記事

1件〜30件

  • 【確率に関する妄想】 サイコロの7の目が・・・の確率

    「だって,7の目は無いじゃん」を認めたら楽になりますよ,という話です.(真面目な補足も最後に追記しておきます) 『1~6までの目が等確率で出るサイコロを振るとき,7の目が出る確率は? ① 0 ② 定義されないどっち派ですか?』 数学の先生の多くの方は,①派でした.(私は②なんですけど・・・) 私は,「出目が7である確率」なら,0と迷わず答えます.存在する「出目」というものが,7という数に「ならない」,だから何も問題ない. でも・・・ 存在しない「7の目」が主語になると??「目」に対してあり得そうな動詞「出る」「出ない」が付くと,「7の目が出ない」が必ず「起こる」気がして,余事象を考えても,何も…

  • 正三角形くらい1つの式で表せてこそ,大人です(笑)

    ※修正版です. もっとシンプルにしたいのですけど,なかなか・・・ これを考えていて,今日のある予定に遅刻した(笑) まず分母は,単位円の外(x^2+y^2>1)に図が来ないようにするためのものです.外では 0<1/(x^2+y^2)<1 ∴ [1/(x^2+y^2)]=0 です.これを分母に書けば,x^2+y^2>1で分母が0になって,そこではこの式が定義されません. ということで,正解は①か③です. ①と③の違いは,x-1なのか-(x-1)なのかです. 分子は,積が0であるとはどういうことかを考えると分かります. A×B=0 は A=0またはB=0 で,図形としては,A=0とB=0の和集合で…

  • 1+2=3が分かっていない高校生

    こう書くと,勉強ができない高校生を上から目線で論じていくのかな,と思われるかも知れません.そういうのではなく,とってもよくできる高校生でも,1+2=3が含む色んな解釈を考えたことが無い,という話です. 高校生に話したこと. 「1+2と3は等しい」という文章を式で書いたものですが,「1足す2は3」と読んでしまうから,視野が狭くなってしまうのかも知れません. ① ● ●● を集めると ●●●② ●●● を分けると ● ●● これらは,1も2も3も単なる数字と見て計算結果を述べているものです.このイメージだけで止まっていたら,数学の意味が分からなくなってしまうのだと思います.何となくで問題は解けても…

  • 「または」も色々

    ※ [ ]はガウス記号(中に書かれた実数の整数部分) (1)nが偶数のとき,n-2[n/2]=0だから,x+y=1nが奇数のとき,n-2[n/2]=1だから,x^2+y^2=1 表し得る図形は,円x^2+y^2=1と直線x+y=1です.場合により,「直線または円」です.文字定数nの偶奇により,「場合分け」されます. (2)積が0になるのがどういうときかを考えます.(x+y-1)(x^2+y^2-1)=0は,条件としては x+y=1またはx^2+y^2=1です.図形としては・・・「円または直線」でしょうか? 点(x,y)が,直線上にある,または,円周上にある ですが,図形が「直線または円」ではな…

  • 久しぶりにこんな美しい関係を発見できた❤

    多項式の割り算と,接線の方程式と,数列の和が複雑に絡み合った,面白い関係です. マニア向け(笑) なんと!! y=x^nの接線の方程式を利用して,等差×等比の和が求まるとは

  • 有理数と無理数の配置イメージ

    「有理数」と「有理数」の和は,必ず「有理数」「有理数」と“無理数”の和は,必ず“無理数” しかし, “無理数”と“無理数”の和は,「有理数」であることも“無理数”であることも. 数直線上にある「有理数」と“無理数”.いずれも無数に存在するけれど,「有理数」は「順に数えることが可能な無限個」しかなく,“無理数”は“どうやっても順に数えられないくらい濃い無限個”もある.「有理数」を「黒」,“無理数”を“赤”で描くと,数直線は真っ赤になるけれど,実は,無数の黒が点在している.濃度の比は0:∞. 詳細は,「集合の濃度」というもの.次の拙著でも扱っているので,もしご存じでなく,興味があれば,どうぞ. そ…

  • 似て非なる問題,真の姿は?

    置き換えたら2次式になるタイプだ.範囲をしっかり考えよ!置き換えたものが2次方程式でも2次関数でも,ほとんど同じだ! ってやってしまうのですけど・・・ むっちゃ細かく見たら,ぜんぜん違う問題なのではないか?※こうやって解くべきだ,と言いたいのではないです! ➤字が小さくてスミマセン.写真の画質も・・・ 方程式(つまり条件の処理)では,全体集合の置き換えとしてtの範囲を考えている. (未知数tに関する「数値としての大小関係」とも見れますが,それなら「範囲」という言葉を使わない方が良いです)tを求めた後に,元の未知数を求める必要あり.関数では,定義域の置き換えとしてtの範囲を考えている.tの関数と…

  • 新時代の数学の解法

    統計が必須になる時代. 数表と仲良くなっておくことは大事ではないかと思います. また,GIGAスクール構想で1人1台端末. 問題解決にしっかり使えるように,思考してもらいたいなと思います. そんな時代になっても, 「両辺を2乗すると・・・」 という解法だけで良いのでしょうか? ということで, 【解】 まず,アイ/ウにおいて分母の方が大きくなることはないから,アは「-」である. 鋭角の三角比では,和を0.5にできない.θは鈍角である. そこで,表で,sinθ-cosθ≒0.5となる角度を探すと sinθ cosθ 65° 0.9063 0.4226 66° 0.9135 0.4067 ➤180か…

  • 4次元って見えますか? -クラインの壺を描く-

    クラインの壺ってご存じでしょうか? 時間を自由に行き来できる「輪っか」を,あなたは持っているとします.その輪っか(円)を過去に向かって投げてみます.その円はブーメランのように旋回して,過去から現在に戻ってきます.投げ出したところで円をキャッチします.(円は時々で適当に大きさが変化していると考えてください)ただし,戻ってくるとき,円は,“投げ出し”たときの円の内側から返ってきたことにしましょう. その間に,円が通ったところを全部集めて図にしたものが,「クラインの壺」です! クラインの壷は、“中”に戻ってきたのを,スタートの円とくっ付けたもの.(もし円が“外”から戻ってきたとしたら,単なるトーラス…

  • こういう問題,苦手ーー

    甲陽学院中学の算数の入試問題です.(イラストはイメージです.「いらすとや」さんのイラストがかわいい(笑)) 文字をたくさん使って強引にやれば良い!と思っても,そう簡単にはいかない! 条件の1つが不等式というのが厄介です. つまり,文字で置いても,値を特定することはできない! 設定の特殊性に注目して,「求めよ」と言われているものを「求める」ことに集中しないといけないのです. 中学や高校の数学の先生は,けっこう苦手なのではないかな,と思って紹介してみました. 【文字で置きまくって解く】A,B,Cの今の1日の仕事量をそれぞれA,B,Cと表すことにする.全体の仕事量をXとおく.条件より 20(A+0.…

  • 「一般項」って,なんやねん!?

    教科書の漸化式に関する部分に,次のような記述があります. 【漸化式がa_(n+1)=a_n+(nの式)の形のとき,階差数列を利用する方法で,一般項が求められることがある.】 何とも意味深な書き方です. 求められることがある. では,求められないこともあるのか?ここだけを読んで考えてもよく分かりません.関連する部分を調べてみましょう. 一般項の説明は,次のようになっています. ●一般項の定義●a_n=2n-1のように数列{a_n}の第n項a_nがnの式で表されるとき,これを数列{a_n}の一般項という.一般項が与えらられると,nに1,2,3,……を代入することにより,その数列の各項を求めることが…

  • 「 ,」の乱用が,数学学習者の敵!?

    数学の教科書には様々なカンマが登場します. 同じように見えて,異なる意味で使われています.もしかしたら,これが,数学を分かりにくくする原因の1つになっているのかも知れません.数学の先生は,過去の経験をもとに当たり前のようにカンマを使い分けます.授業中には,話の流れがあるから,あまり気にならないでしょうが,復習でノートを見るとき,教科書を見返すとき,・・・カンマの乱用で意味が分からなくなってしまう可能性があると思います.このような経験の積み重ねが,生徒の「よく分かんないから,そういうものだと受け入れようかな」を生み出しているのではないでしょうか? 数学Iの教科書を調べてみました(一部,例外アリ)…

  • 「そして」は,「かつ」なのか?「または」なのか?

    実数xについて [1]x^2=1を解くと,x=1とx=-1 [2]x≧-1とx≦1を満たす条件は-1≦x≦1 [1]は,解の集合{-1,1}において,「要素は1と-1である」と言っています.解xについて x=-1 または x=-1が成り立つということです. [2]は,「x≧-1の範囲」と「x≦1の範囲」の両方に含まれるxを考えています. x≧-1 かつ x≦1です. x≧-1 または x≦1 は,「xは実数」という条件になりますね. 「と」つまり「そして」は,付加を表すのですが,[1]は集合に要素を付加している感じ,[2]は条件を付加していっている感じです. x=1とx=2とx=3と・・・ ☞…

  • 空集合 ∅ に関する考察

    ※本稿は,高校数学における空集合の扱いについて考察するものです. 公理的集合論については,考えません! n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)が常に意味をなすためには,要素の個数が0である集合が必要になる.そうして定義された空集合は,あらゆる集合の部分集合である.一般にA∩B⊂Aであるから,A∩B=∅ であるようなBを考えることで ∅ ⊂Aとなるのである. では,Aに含まれる空集合と,Bに含まれる空集合は,同じなのだろうか?空集合は1つしかないのだろうか? 結論は 「同じと言えば同じ,違うと言えば違う」 「1つと言えば1つ,色々と言えば色々」 である.少し長くなるが,お付き合い願いたい…

  • 統計講演会のお知らせ!

    日本数学検定協会さまからお声かけいただき,7/11(日)のオンライン講演会で話者をさせてもらうことになりました. www.su-gaku.net さて,素人なのに思い切って書いた「統計」の本. この本の存在も,今回のキッカケになりました. 僕のような「数学好きの統計キライ」の方に向けて書いたものですが,この講演はまさにその延長線上. 1時間与えられたので,何を話そうか思案中です. 思い切って「定性的」なネタをたくさん入れようかな,などなど. 高校数学の一部としての統計をどう解釈することが可能であるか,自分なりにしっかり考えてお話しようと思います!

  • 変なグラフ 小数部分 x-[x] によって

    なかなか素敵なグラフが描けました. 1つの式なのに2つに分岐して,それぞれが反比例のグラフ上にあります. 詳細は後ほど. その前に簡単に基本の確認から. まず,ガウス記号[ ] 実数xに対して, [x]=(x以下の最大の整数) と定め,xの整数部分と呼びます. [3]=3 整数の整数部分は,その整数そのもの [π]=3 3.14……の整数部分は3 [-1.3]=? [-1.3]を-1と思ってしまうかも知れませんが,x以下の最大の整数なので [-1.3]=-2 です. -1.3=-2+0.7 と考えるのです. y=[x]のグラフが,青い階段. では,赤いグラフは? これが小数部分を表しています.…

  • 「漸近線」の限界に漸近してみる

    漸近線とは? Wikipediaには 解析幾何学において、平面曲線の漸近線(ぜんきんせん、英: asymptote)とは、十分遠くで曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と接しない直線のことである。通常の定義では、漸近線は曲線と無限回交わってもよい。 漸近線は存在するとは限らず、また複数存在する場合もある。漸近線を見出すことは、曲線の概形をつかむ一助となる。 特に、座標平面における関数に対しては、そのグラフの漸近線の方程式は(存在の可否も含めて)求め方が確立されている。関数のグラフの接線の極限が存在するならばそれは漸近線に等しい。 代数幾何学などでは、漸近線は無限遠点のみで曲線と接する直線と定…

  • 2次方程式の解の公式を,3次方程式で使ったら・・・?

    色んな発想する人が居ますよね.例えば・・・ 3次方程式 x^3-7x+6=0 の解は (x-1)(x-2)(x+3)=0 と因数分解することで x=1,2,-3 と求まるのですが・・・ x*x^2-7x+6=0 と見て,2次方程式の解の公式を使ったらどうなりますか? という質問をされました(最初は何を言っているのか,わからなったです). 解の公式らしきものを使ってみると, x=(7±√(49-24x))/2x です. 実際には,平方完成して式変形しているだけなので,ものと方程式の言い換えとして,間違いのないものではあります. 「解の公式」としての使い方であるかと言われたら,「違う・・・」となり…

  • 同一直線上にある条件が,AP=tABですか???

    【やはり,⇔は嫌いだ!】 条件と条件を,軽々しく「⇒」や「⇔」でつなぎたくなる人,居ませんか?お願いです. 使う前に,ぜひ,一歩踏みとどまってください. 写真にはあのように書きましたが,本当は,明記された全体集合を優先して,「Pの条件」として捉えます. だから,右側を 「AP=tAB」を満たす実数tが存在する に変更するのが正しいです. 「AP=tAB」という式だけでは無意味で,“を満たす実数tが存在する”を書かないと,「Pに関する条件」ではないですから!!!こういうところで手を抜いてしまうのは,誤った理解を招いたり,「何となくで受け入れよ」と強要することになったりで,細かいことをちゃんとやる…

  • p=a+td は,「ベクトル方程式」なのか?

    「方程式」と「媒介変数表示」と「ベクトル方程式」 図形を等式で表すとき,言葉がけっこう錯綜します. グラフとは…関数y=f(x)に対して定義されるもので,点集合{(p,q)|q=f(p)}のこと 図形の方程式とは…図形を点集合{(p,q)|p,qに関する条件…(*)}と表すとき,(*)を座標軸の文字x,yを用いた式に直したもの 2次関数y=x^2のグラフを,「放物線y=x^2」とも言い,y=x^2をこの放物線の方程式とも言う.もはやイミフメイ(笑)y=x^2という式には,少なくとも3つの側面があるようです. ちなみに,円の方程式:x^2+y^2=1は,1つの式でy=f(x)の形には書けません.…

  • 【増刷!】「ほぼ計算不要の思考力・判断力・表現力トレーニング 数学IA」

    【増刷!】 みなさまのおかげで、拙著「ほぼ計算不要の思考力・判断力・表現力トレーニング 数学IA」が増刷になります!ありがとうございます 三刷だと思います 授業のネタにしていただいているという先生の話を聞いたり、 正規の教材として学校採用していただいたと聞いたりしていると、 僕の手から離れて少しずつ数学教育に貢献してくれていると感じて、 嬉しくなります 《本シリーズの活用法》 ・先生方には、授業や問題作成のネタに。 ・トップレベル進学校には、長期休暇の課題に。 ・進学校には、基本をやった後の深め学習の教材に。 数学II編もヨロシクお願いします BとIIIも初稿はできました! 新課程との絡みで、…

  • 円周率は3.15よりも大きいのか?

    今回は小ネタです.数値に対する感覚は,今後の共通テストでも問われるでしょうし,世の中に出てからも役に立つ感覚になると思います.数字のマジックに騙されないようにしましょう! ところでご存じですか?三角比の表のsin 1゜の欄には,0. 0175とあります.これを利用して,円周率πについて考えることにします. 頂角が2゜の二等辺三角形の底辺と,中心角が2゜の扇形の弧を比較すると, 弧の方が長いから 2π×2/360>2sin 1゜ π>180sin 1゜ =180×0. 0175 =3. 15 ということが導けてしまいます!!画期的です(笑)さて,ネタばらし.三角比の表のsin 1゜の欄にある0.…

  • 問題文によっては,想定外の解答を認めざるを得なくなる件

    今回も重箱の隅をつついていきます(笑)もはやライフワークですね.さて,ほぼ同じ問題を4つ挙げています.いずれも,a=-1を答えるのがベストですが,a=1,-3という“誤答とされるもの”が正答と見なされ得るものがあります.良ければちょっと考えてみてください. とでは、1行目の「~とする」の部分が違います.これは,どういう意味なんでしょう?また,とでは、最後が「条件を求めよ」と「値を求めよ」の違いがあります.これは,どういう意味なんでしょう? 例えば,a=-1という式.値の表示と見るか,条件と見るかで,意味が変わります.値を表すものとしては,「aは-1だ」と主張していることになります.条件を表すも…

  • 数学Ⅲ・極限の論証について

    この答案,どのように思われますか? 満点をあげますか? それとも,どこかに良くないところがありますか?あるとしたら,①~⑦のうちのどこでしょうか?********実は,⑤がダメなんですが,理由は分かるでしょうか?また,どうすれば認められる答案になるでしょうか?例えば,数列{a_n}が a_(2m-1)=π,a_(2m)=0 (m=1,2,3,・・・)で定義されているとしましょう.すると, lim(n→∞)a_n は存在しないですが, sin(a_n)=0 (n=1,2,3,・・・) ∴ lim(n→∞)sin(a_n)=0です. ④は問題ないですが,ここから⑤,つまり, {a_n}は収束し,そ…

  • 【入試問題紹介】 出題者の意図は,いったい・・・

    【入試問題紹介】出題者の意図は,いったい・・・ 2021年の某大学の入試問題です. 問題文が分かりにくかった,と受験した生徒(合格!)に言われました.集合を使って書いたり,論理構造を問うようにすると,混乱してしまう人がかなり多くなると思います. この問題で問いたいのは,読解力?👉それなら,(2)はいらない! (1)はどういう方針を想定している?👉①「T∩(β,∞)に最小元があるから,それを用いてγを構成できる」を認めて良いか?➤それなら,(2)は「(1)と同様」でOKに・・・.②上記①での最小元の存在をキッチリ証明させたいのか?➤それはかなり難しい・・・③背理法(存在しないなら,矛盾)とやらせ…

  • 2021年 東大・理「4」(3)の“a-bが偶数”は不要

    こんな問題でしたね. ***** 以下の問いに答えよ。 (1) 正の奇数 K,L と正の整数 A,B が KA=LB を満たしているとする。 K を 4 で割った余りが L を 4 で割った余りと等しいならば、 A を 4 で割った余りは B を 4 で割った余りと等しいことを示せ。 (2) 正の整数 a,b が a>b を満たしているとする。このとき、 A=(4a+1)C(4b+1), B=aCb に対して KA=LB となるような正の奇 数 K,L が存在することを示せ。 (3) a,b は(2)の通りとし、さらに a−b が 2 で割り切れるとする。 (4a+1)C(4b+1) を 4 …

  • 場合分けって,色々ないですか?

    「場合分け」のこと,実はあんまり分かっていないかも知れません.2つの場合分け,区別できていますか? 問.aを実数の定数とする.2次関数 f(x)=x^2-2ax の 0≦x≦1 における最小値を求めよ. 解.f(x)=(x-a)^2-a^2 だから・0≦a≦1 のとき,最小値はf(a)で,-a^2・a<0 のとき,最小値はf(0)で,0・1≦a のとき,最小値はf(1)で,-2a+1 これで終わり. 文字定数 a の値によって最小値の 答えが変わるときに, 「分類」して答える というのが,ここでの場合分け.答えが何種類あるかを分類して,どういう a のときにどの答えになるか,整理するのです. …

  • 脱!解法主義 ~大学入学共通テストからのメッセージ~

    普通は,平方完成して最大値を求め,因数分解して2次方程式を解くのですけど・・・共通テストでは,数字が大きくなってしまうのが厄介なんですよね. 定石的で汎用性の高い解法は,いつでもどこでも使えるけれど,個別の問題において最適な解法とは限らないんです.困ったときは定石に頼ろう,というくらいのスタンスがちょうど良い. この問題だったら? 中学で習った2乗に比例する関数のグラフと合同なんだから,グラフはとってもわかりやすいものです. この性質を使わない手はない!**** y=x(560-x)-70000 だから,y=-70000となるのがx=0,560で,ちょうどその真ん中に軸があります.最大値をとる…

  • 置換積分の真の姿は,区分求積で見えてくる?

    置換積分って,合成関数の微分を利用して公式を作って,それ以降は機械的に計算するだけのものになっていませんか?そんな方には次の写真を送ります. 区分求積が定積分(面積)の定義だと思っていませんか?実はそうではないのです.本当は,リーマン和というものを使っています.面積を求めたいxの範囲を等間隔に区切らなくても,区間の幅の最大値が0に収束するような分け方をしておくと,どんなリーマン和も区分求積と同じ極限値に収束するということ(言葉の使い方が不正確だと思いますが,お許しを). 区分求積は,リーマン和の特殊な形の1つ,ということ.区間[0,1]を [0/n,1/n]∪[1/n,2/n]∪‥‥∪[(n-…

  • どう解く?共通テスト・第2日程 数学Ⅰ・A How to Solve IA

    1/31に行われた大学入学共通テスト・数学ⅠAです.中間発表での平均点が35点!驚きです.そんなに難しいのでしょうか?僕は47点くらいになると予想していて,第1日程の55.6点(中間発表)よりは低くなりそうと思っていましたが,ここまでとは.・確率の計算処理量・整数,図形の後半の難度のため,満点を取りにくいようには思いますが,普通にやっても50点をとることは難しくないです. 本稿では普通ではなく,定性的なアプローチで可能な限り計算せず,ズルく解く方法を書いてみようと思います.もっと楽な方法があると思うので,引き続き考えてみようと思います.みなさまも,ぜひ! では,できれば問題を解いてから,お手元…

カテゴリー一覧
商用