代数的閉体は無限集合

命題 $K$ が代数的閉体ならば、$K$ は無限集合です。 証明 命題の対偶の「$K$ が有限集合ならば $K$ は代数的閉体ではない」を証明します。 $K$ を有限集合とすると、$K$ の元の総数は、ある自然数 $n$ となるので、$K=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ と表すことができます。そこで、全ての $K$ の元を根にもつ1変数多項式 $$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$$ を考えると、$f(x)\in K[x]$ から $g(x)=f(x)+1\in K[x]$ ですが、$g(x)$ にどの $a_i\in K$ を代入しても $g(a…