代数的閉体は無限集合

命題 $K$ が代数的閉体ならば、$K$ は無限集合です。 証明 命題の対偶の「$K$ が有限集合ならば $K$ は代数的閉体ではない」を証明します。 $K$ を有限集合とすると、$K$ の元の総数は、ある自然数 $n$ となるので、$K=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ と表すことができます。そこで、全ての $K$ の元を根にもつ1変数多項式 $$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$$ を考えると、$f(x)\in K[x]$ から $g(x)=f(x)+1\in K[x]$ ですが、$g(x)$ にどの $a_i\in K$ を代入しても $g(a…

webページに数式を表示する方法（MathJax、KATEX）

MathJax 導入方法 利用方法 KATEX 導入方法 利用方法 MathJax MathJax は Webページ上に TeX による数式を出力するシステムの中で最も有名なものです。 導入方法 注：はてなブログでは MathJax が初めから導入されているため、この工程は不要です。 数式を出力したいページのヘッダーに、以下のコードを追加することで導入完了となります。 <script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/latest.js?config=TeX-MML-AM_CHTML' async></scrip…

ド・モルガンの法則

Augustus De Morgan（1806 - 1871） イギリス人、オーガスタス・ド・モルガン。ド・モルガンの法則を命題論理の法則として厳密な形で表した人物。数学的帰納法の定式化にも貢献した。 ド・モルガンの法則 命題論理のド・モルガンの法則 述語論理のド・モルガンの法則 集合論のド・モルガンの法則 ド・モルガンの法則 命題論理のド・モルガンの法則 定理（ド・モルガンの法則） を命題とするとき、次のことが成り立ちます。 （1） （2） 証明 次の真理値表によります。 （1） T F T F T F F T F F T T F F F T T F T F F F T F T F T T …

述語論理とは

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 - 1925) ドイツ人、フリードリヒ・ルートヴィヒ・ゴットロープ・フレーゲ。述語論理の発案者。まず変数の量化を発案し、その後公理的な述語論理の体系を完成させた。 この記事では、数学を理解するために最低限必要なレベルで述語論理について書いています。 述語論理を一言で言うと、「命題の中身に踏み込んだ論理学」ということができると思います。 述語論理とは 述語 命題論理と述語論理の違い 量化 全称量化（全ての～） 存在量化（ある～） 公理 述語論理のド・モルガンの法則 述語論理とは 述語 定義（命題関数（述語）、変数） （1）…

命題論理とは

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) ドイツ人、ゴットフリート・ウィルヘルム・ライプニッツ。「calculus ratiocinator」の研究において、おそらく初めて形式的な論理とその演算について考察した人物。このことから彼は、現在の命題論理の体系の父と目されている。 命題論理とは 命題 命題論理とは 準備 定理、証明 命題定数、命題変数 真理値表 論理演算 演算 否定 論理包含（ならば） 同値 論理和（または）・論理積（かつ） 重要な事実 ド・モルガンの法則 命題論理とは 命題 定義（命題） 真または偽のどちらか一方が成り立つ*1文章のことを命題と…

多くの記事の手直しをしています。

今までいくつかの記事を投稿しましたが、書き直しをしているうちにどうやら結構時間がかかりそうだということに気付きました。 なので、一時的にほとんどの記事を非公開にしています。今月上旬には再び投稿しなおす予定です。 今後しばらくの間は、練習も兼ねて数学関係の記事を書いていくつもりです。記事「数学的帰納法」のようなスタイルで書いていきたいと思っています。

数学的帰納法

Blaise Pascal (1623 - 1662) フランス人、ブレーズ・パスカル。「パスカルの三角形」の性質を証明する際、数学的帰納法を現代と同じ考え方で初めて用いた人物。このことは、彼の死後発行された「Traité du triangle arithmétique (算術三角形論, 1655) 」の12番目の系の証明から確認できるようだ。 この記事では、数学的帰納法と、それにまつわる ・数学的帰納法は名前に反して帰納ではないこと ・数学的帰納法の仮定だけでは数学的帰納法自体が成り立つとは言えないこと ・実は数学的帰納法は数学の公理の1つであること の3つのテーマについて書いています。 …

ド・モルガンの法則

Augustus De Morgan（1806 - 1871） イギリス人、オーガスタス・ド・モルガン。ド・モルガンの法則を命題論理の法則として厳密な形で表した人物。数学的帰納法の現代的な定式化にも貢献した。 数学的帰納法の定式化にも貢献した。 定理（ド・モルガンの法則） を命題とするとき、次のことが成り立ちます。 （1） （2） 証明 次の真理値表によります。 （1） T F T F T F F T F F T F T T F T T F F T T F T F T T F F （2） T F T F T F F T F F T T F F F T T F T F F F T F T F T…

集合論の初歩

Georg Cantor (1845 - 1918) ドイツ人、ゲオルク・カントール。集合論を数学の一大分野にし、その後も対角線論法の発見など集合論の発展に貢献した人物。無限にも「加算」と「非加算」という質の違いが存在することを厳密に示した論文「Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen (実代数的数を集めたものの性質, 1874) 」により、（素朴）集合論を数学の1つの分野として打ち立てた。 この記事では、集合論の初歩について書いています。 注：この記事における集合の定義は簡単ですが不完全な…

論理和、論理積

定義（論理和、論理積） を命題とします。次の真理値表で定義される命題 を論理和、 を論理積といいます。 T T T T T F T F F T T F F F F F なぜ、論理「和」、論理「積」と呼ばれるのかについては、次のように説明できます。 定義の真理値表における を （足し算の記号）、 を （掛け算の記号） 、Tを1、Fを0で置き換えると、真理値表が 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 と書き換えることができます。この通常の足し算、掛け算との関連性から、論理「和」、論理「積」という名称が与えられています。なお、 も もTであるときの論理和に対応する のみ、論…

はじめまして

初めてのブログ記事です。

命題論理の初歩

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) ドイツ人、ゴットフリート・ウィルヘルム・ライプニッツ。微分・積分の発見者の一人。「calculus ratiocinator」の研究において、おそらく初めて形式的な論理とその演算について考察した。このことから彼は、現在の命題論理の体系の父と目されている。 命題とは 論理包含（ならば） 同値 命題とは 定義（命題） 真または偽のどちらか一方が成り立つ*1文章のことを命題といいます。 「命題」は英語で Proposition です。なので、命題を記号で表すときは、その頭文字をとって とPから始まるアルファベットが用いら…