制御工学と電気電子回路　入門講座

9-1. 可制御性、可観測性（演習）

離散時間システムの可制御、可観測条件連続時間システムの状態方程式が、$$\frac{dx}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x$$のとき、これを離散時間システムにしたとき、可制御、可観測となるための条件を

2024/09/28 15:44

8-1. 離散時間システムの安定性（演習）

離散時間システムの安定性の基準離散時間システムの特性方程式のすべての根（固有値、伝達関数の極）が単位円の内側に存在する場合、そのシステムは安定である。特性方程式の形は次のように表される。$$\phi(z) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n=0 \;\;\;(a_0 \gt 0) \;\;\;\; \cdots(1)$$ここで、\(z\) は複素数で、特性方程式の係数\(a_i\)に基づいてシス

2024/09/13 17:18

7-1. 離散時間システムの定常特性（演習）

図1 離散時間制御系$$P(s) = \frac{1}{s+1}$$の1次系とする。＊図1において、0次ホールドを使用して離散化した\(P(s)\)を求める。$$P(z) = (1 - z^{-1})\mathcal{Z} \left\{\frac{1}{s(s+1)} \right\} = (1 - z^{-1})\mathcal{Z} \left\{ \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} \right\} \\ =\frac{z-1}{z} \

2024/09/11 16:00

5-1. 離散時間システムの応答（演習）

離散時間システムのインパルス応答離散時間伝達関数が、$$G(z) = \frac{z + 0.3}{z^2 - 0.7z +0.1}$$のシステムのインパルス応答を求める。解法1：$$G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{z + 0.3}{z^2 - 0.7z +0.1}$$なので、$$Y(z)(z^2 - 0.7z +0.1) = U(z)(z + 0.3) \\ Y(z) (1 - 0.7z^{-1} + 0.1 z^{-2} = U

2024/09/08 20:52

4-1. 連続時間システムの離散化（演習）

連続時間伝達関数の離散時間伝達関数への変換（1）\(G(s) = \frac{K}{s}\)を0次ホールドを含む離散化システムに変換する。$$G(z) = (1 - z^{-1})\mathcal{Z}\left\{\frac{K}{s^2}\right\} \\= (1 - z^{-1}) \frac{KTz}{(z - 1)^2} \\= \frac{KT}{z - 1}$$（2）\(G(s) =\frac{K}{1 + \tau s}\)を0次ホールドを含

2024/09/07 14:52

2-2. 留数定理によるZ変換

※以下、虚数単位に「\(j\)」を使用する。留数定理留数定理は、特異点の周りで関数を積分する際に、その点における関数の「留数」（Residue：何かが取り除かれた後に残っているもの、という意味）を利用するものである。ある閉じた経路 \(C\) に沿って解析関数 \(f(z)\) を積分する場合、経路 \(C\) の内部に存在する全ての孤立特異点における留数の和を用いて、積分を簡単に計算できる。留数定理は次のように表現される。$$\oint_C f(z)

2024/09/06 19:46

1-1. 離散時間制御系の構成（演習）

連続時間システムから離散時間システムへの変換連続時間システムが微分方程式$$\frac{dy}{dt} = \alpha y + \beta u \;\; \cdots (1)$$で与えられるとき、このシステムをディジタルシステムに変換する。式(1)の自由システムは、$$\frac{dy}{dt} = \alpha y$$で、変数分離形なので、$$\frac{dy}{y} = \alpha dt$$となり、両辺を積分すると、$$\ln y = \alpha

2024/09/01 13:58