備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でよろしくお願いいたします。
[1ページ目] 2024年6月8日マイグレーション完了の報告
未分類 について 微分方程式いろいろ よいこのための低学年向けすうがくひろば
[1ページ目] 光学的距離が最短な距離を通ることの証明としてフェルマーの原理があります。光が進行する時間の停留点の経路となりうるスネルの法則を導いていきます。
[1ページ目] エルミート関数（エルミート多項式）とは、常微分方程式を満たす、主に多項式のことを指します。これはスツルム-リウヴィル型微分方程式の一つであり、物理学及び数学において非常に重要な役割を果たしています。
[1ページ目] 関数が遇関数、または奇関数に分けられるときフーリエ解析における級数展開に違いが生じます。ここではフーリエ余弦、および正弦展開について解説していきます。
[1ページ目] 関数が遇関数、または奇関数に分けられるときフーリエ解析における級数展開に違いが生じます。ここではフーリエ余弦、および正弦展開について解説していきます。
[1ページ目] フーリエ変換とは、関数を異なる波数の波に分解して波数空間に変換する方法です。フーリエ変換をおこなう主な理由としては、簡単に言えば実際の現象を微分方程式などに置き換えた場合、その因果律を導き出すことは簡単なことではありません（むしろ解けないことのほうが多い）。そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があるからです。
[1ページ目] フーリエ変換とは、関数を異なる波数の波に分解して波数空間に変換する方法です。フーリエ変換をおこなう主な理由としては、簡単に言えば実際の現象を微分方程式などに置き換えた場合、その因果律を導き出すことは簡単なことではありません（むしろ解けないことのほうが多い）。そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があるからです。
[1ページ目] ヘルムホルツ方程式と呼ばれる式に対し、円柱座標を適用させて得られる方程式にベッセル関数とよばれる微分方程式があります。この微分方程式の解を導くためには普段通りのやり方だとうまくいかないので、ある級数を一つの解として仮定するやり方─“級数解法”という方法を使ってその解を求めていくことになります。
[1ページ目] ラプラス方程式とは、2階線型の楕円型偏微分方程式であり、考えるそれぞれの次元において付与される作用素の2階微分─ラプラス作用素を用いて表現されます。ラプラス方程式は、時間に当たる変数 (t) が含まれていないため、時間によって変化しない定常状態を表し、時間を反映した変数がないため、ラプラス方程式には初期条件はなく、境界条件だけが必要となります。
[1ページ目] ヘルムホルツ方程式と呼ばれる式に対し、円柱座標を適用させて得られる方程式にベッセル微分方程式というのがあります。ここでは級数展開というやり方によって解を導いていくやり方を考察していきます。
[1ページ目] ロープや糸などの紐の類をその両端を固定して吊り下げたものを懸垂線などといいます。これは物理的なポテンシャルが最小になるときのものであり、ここではそれを表す方程式をオイラーの式を使って求めるのですがいままでのやり方だとちょっとうまくいきません。そこで途中の式で全微分の公式を使います。こうしたやり方は物理現象を数式によってとく際にたまに使われる数学テクニックになります。
[1ページ目] 最速降下曲線問題とは、ある質点が曲線に沿って点(0,0)から点(x1,x2)まで移動したとき一番短い時間で到達するような曲線はどんなものかと考える問題です。カテゴリ名に“～問題”と付け足していることにたいして意味はないのですが、理由的にはヨハンベルヌーイというひとに関係しています。
[1ページ目] オイラーの方程式─ある関数の積分を考えます。それをF(x,y,dy/dx)dxとしてこの差異を考えてこの時の変異をδFをとするとこれが極致を持つ条件がどうなるかを考察していきます。
[1ページ目] 2重振り子の振動─先ほどと同じ2重振り子の振動の微小でない場合の振動をラグランジュ関数によって考察していった場合どのような解が求まるかを考察していきます。
[1ページ目] 3重バネの振動─壁側についているばねのばね定数をc、真ん中のバネのバネ定数をkとし、そのバネの境に重さmのおもりをつけた場合の連成振動の解をラグランジアンを使って考察していきます。
[1ページ目] 2重振り子の振動─2個の錘をつないだ微小振動をラグランジュ関数を使って考察していきます。
[1ページ目] 弦につながれた錘の振動について考えていきます。長さの3lの糸を張力Sで張っておき、長さlごとに質量mのおもりを結びつけ、そのおもりは直角方向のみに振動するとします。こういった場合のおもりの小振動をラグランジアンを使って求めてみましょう。
[1ページ目] ヘヴィサイド演算子とは、電気工学者オリヴァーヘヴィサイドによって発明考案された微分積分における作用素を代数的に執り行なうことによって線形常微分方程式を効率的に解くことを可能にした演算方法になります。ある関数を、例えばtで微分する場合は左側からd/dtのように演算子を“作用”させ、そしてそれらに働きかけて関数そのものを変化させます。こういったものを作用素といい、この場合は時間ですが、それ以外にもや（ナブラ）、さらにはダランベルジャンなどもその作用素（オペレーター）と呼ぶことができます。
[1ページ目] ある関数を、例えばtで微分する場合は左側からd/dtのように演算子を“作用”させ、そしてそれらに働きかけて関数そのものを変化させます。
[1ページ目] 波動に関する現象を、フーリエ解析における級数展開やフーリエ積分、さらに偏微分方程式を用いて考察していきます。
[1ページ目] フーリエ級数展開とは区間[-π、π]における積分可能な関数f(x)を三角関数を使って級数展開していく一連の数学関数を示します。
[1ページ目] フーリエ級数展開とは区間[-π、π]における積分可能な関数f(x)を三角関数を使って級数展開していく一連の数学関数を示します。
[1ページ目] 2つ以上の独立変数とその偏導関数含む微分方程式を偏微分方程式といいます。このセクションでは波動や熱伝導における境界値に関する問題を、フーリエ解析のチャプターにあったフーリエ積分やフーリエ級数を用い、それらを偏微分方程式によって考察していきます。
[1ページ目] オペレータ作用素が2階（2階微分）が入っている微分方程式を考えます。これを定型数2階非同次微分方程式と呼びます。
[1ページ目] フーリエ級数展開とは区間[-π、π]における積分可能な関数f(x)を三角関数を使って級数展開していく一連の数学関数を示します。
[1ページ目] 変分法とは、関数とその導関数との微小な変化をとらえ関数の最大値と最小値を見つけることを扱います。変分法におけるオイラー-ラグランジュ方程式においてある関数の最大値、最小値の関数を見つけたい場合にこの微分方程式を解きます。
[1ページ目] フーリエ解析 の記事 微分方程式いろいろ よいこの低学年向けすうがくひろば
[1ページ目] フーリエ解析という数学分野はフーリエという人が考え出した数学であり、もともとは熱の研究をしているときに熱伝導における数学的な記述を偏微分方程式により導き、その解を求めるためにこのフーリエ級数という理論的概念を構築したのが始まりだといわれています。そしてそのフーリエ自信は「任意の（すべての）周期関数は三角関数の和として表せる」と主張していたようですが実際にこの主張は大まかに正しいといわれております。現在にいたっては物理学を中心にしたさまざまな方面の利用、特に画像処理やデータ圧縮、CT、MRIなどの現代科学の基礎技術としてこの数学は大変役立っているようです。
[1ページ目] オペレータ作用素が一回微分のものを1階微分方程式といます。解き方としては、まず変数が2つあるので両辺にそれぞれを“分ける”ということをします。
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