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みんなの数学と科学
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https://kmina-math-sci.muragon.com/
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大学数学と、物理で扱う数学について基礎からお話します。図も用いて分かり易く説明したいと思っています。
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30回 / 34日(平均6.2回/週)

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京介さんの新着記事

1件〜30件

  • 実数変数の指数関数の厳密な定義

    変数に無理数を含む指数関数とは、どんな意味か? 指数関数は、変数が有理数の範囲であれば 「同じ数をn回掛け合わせる」 「マイナス乗の場合は割り算と解釈」 「n分の1乗であればn乗根」といった考え方ができます。 しかし、 無理数を変数とする時、「aのπ乗」とか「aのe乗」とか...

  • 自然対数の底eが無理数である事の証明

    証明の方針 自然対数の底(ネピア数、ネイピア数)e が無理数(有理数で表せない実数)である事の証明は、意外と単純で、難しくありません。証明で必要になる事は、次の3つです。 ① eがマクローリン展開で無限級数として表せる事 ② 背理法を使う事(eが有理数であるとすると矛盾が発...

  • 24のギリシャ文字一覧 数学と科学での使い方

    ギリシャ文字 全24個あるギリシャ文字と、数学や科学での使用例を紹介します。 これらは暗記するようなものではなく、アルファベットに関連付けて補助的に使用されるものと捉えるのがよいと思います。 1:アルファ α Α 英語のアルファベットa Aに相当する文字です。 何にでも使用...

  • 物理でのベクトルの内積の使い方【仕事とエネルギー】

    内積は物理でよく使う ベクトルの内積は、物理学においてはエネルギーと等価である「仕事」を計算する時に必要になる考え方です。接線線積分や、電磁気学などでの法線面積分を考える時などにも内積の考え方は必要です。 この記事では、力学においての仕事とエネルギーの関係において、 ベクト...

  • はさみうちの原理の証明 極限の4つの関係式の証明

    極限に関する基本的な関係式4つ この記事では、いわゆる「はさみうちの原理」と呼ばれる極限値の出し方を含め、極限についての基本的な4つの関係式の証明を述べます。それらについて数学的に真である事が確かめられれば、必ずしも極限値の定義に戻らなくても公式的に自由に使って極限値の計算...

  • 指数関数の導関数(微分)の導出

    自然対数の底の指数関数の微分 指数関数の微分は、自然対数を用いて表されます。 その中でも、自然対数の底の指数関数の微分は最も簡単な形になり、しかも元の関数に等しくなるという重要な特徴があります。 微分の公式の導出の流れ 導出の方法自体は比較的平易です。 自然対数の底 e の...

  • 自然対数の底e (ネピア数)の存在証明

    自然対数の底の定義 自然対数の底 e は(1 + 1/n)の n 乗について、n→∞とした時の極限値です。 (1+n) の1/n乗(つまりn乗根)についてn→0とした極限値も同じ値です。 このeは「ネピア数」(あるいはネイピア数)とも言い、口頭ではアルファベットをそのまま読...

  • 有界な単調数列は収束する事の証明(解析学基本定理)

    単調数列 単調増加数列と単調減少数列をまとめて単調数列と呼んでいます。 これらについて、 命題(定理): 「有界な単調数列は(必ず)収束する」(解析学基本定理)を証明します。 上に有界な単調増加数列のn→∞における極限値は最小の上界である「上限」であり、 下に有界な単調減少...

  • マクローリン展開を簡単に導出する方法

    テイラー展開とマクローリン展開の関係 マクローリン展開はn次多項式の無限級数(無限個の和)の形で関数を近似する方法で、理論的にも応用的にも重要です。(平均値の定理の拡張と見る事もできます。) まずx=x0におけるテイラー展開(あるいはテイラー公式)というものがあって、x0=...

  • 数列の極限値の厳密な定義

    数列の極限値の定義とは 数列{An}において、 任意の正の実数 ε (つまりε∈Rかつε>0)に対して、 「任意の n ≧ N0に対して|α-An|<εとなるような、 ある自然数(の番号)n= N0 と、ある実数 α が存在する」時、 数列{An}はn→∞(無限大)において...

  • 実数の集合に対する「有界」の考え方

    有界である事と、上界と下界 実数全体の集合をRとして、 集合A⊂Rについて「任意の a ∈Aに対し a ≦ r となる、ある r ∈Rが存在する」時、 Aは「上に有界」であると言います。(この r の事は「上界」(upper bound)と言ったりします。) 尚、これはAの...

  • 弧度法による角度の表し方

    弧度法とは? 弧度法とは、360°を2πとする角度の表記法です。 πは、円周率です。 円周率を用いているのは、 半径1の円の円周の長さ2π(≒ 3.14×2 ≒ 6.28)に360°を対応させているためです。 (「弧」とは円周上の2点を円周に沿って結んだ円の部分。) 360...

  • 実数の厳密な性質

    実数 π(円周率)、e(自然対数の底)、√2(2の2乗根)などの無理数は、じ自然数,整数、有理数(整数による分数で表される数)のどれにも当てはまらない数です。 しかし、例えば円周率には3.0 < π < 3.15 などの有理数との大小関係や、無理数同士の大小関係があります。...

  • ド・モアブルの定理とオイラーの公式

    複素数の極表示と偏角 複素数を極表示(極形式)で表した時、2つの複素数の乗算に対して、偏角同士は加算で計算できるという定理です。 虚数単位を i として、 a + i b =r(cosα+i sinα) u + i w =s(cosβ+i sinβ)としましょう。 すると、...

  • 三角関数の加法定理の証明

    三角関数の加法定理 この定理の証明には余弦定理を使いますが、余弦定理の証明は簡単ですので一緒にこの記事内に記します。 三角関数の加法定理(angle addition formulas)とは sin(α+β)=sinα cosβ + cosα sinβ sin(α-β)=s...

  • 三角比

    正弦、余弦、正接 直角三角形の辺の比を、角度の関数として表し、角度を0°<θ<90°に限った場合のものを、ここでは三角比と呼ぶことにします。俗に言うサイン、コサインの事です。 尚、変数を表す文字は何でもよいのですがギリシャ文字のθ(シータあるいはテータ)をよく使います。別に...

  • ベクトルの考え方と物理での使い方

    ベクトルは大きさと向きを持つ 平面や空間におけるベクトルとは向きと大きさを持った量の事です。 物理においては力、加速度、速度などがそれにあたります。 例えば下向きの1【N】の力と、上向きの1【N】の力の大きさは同じですが向きが異なるわけであって、区別すべきものです。 (※【...

  • 物理での三平方の定理の使用例

    直交座標で表した時の距離 物理学では、三平方の定理は主に「距離」や「力の大きさ」などを直交座標系において表す時に用います。その他の場合に使う事もありますが、基本的には空間上の位置関係を表すのに使います。 質量を持つ物体同士に働く万有引力や、荷電粒子同士に働くクーロン力の大き...

  • エウクレイデス(ユークリッド)による三平方の定理の証明

    エウクレイデスによる方法の特徴 ギリシャの人エウクレイデス(英語読みでユークリッド)による三平方の定理の証明方法は、一見補助線の引き方などが奇怪で、わざわざ難しく考えているようにも見えるかもしれませんが、前述の通り、三角形の相似関係を使わなくても示せるという特徴があります。...

  • 三平方の定理

    三平方の定理の内容 三平方の定理とは、直角三角形についての各辺の長さについての定理です。ピタゴラスの定理とも言いますがこのブログでは三平方の定理という名称を使う事にします。 直角三角形の直角に交わる2辺の長さをaとb、斜辺(三角形で一番長い辺)の長さをcとすると、 となり、...

  • 「任意」と「ある」の使い方

    任意 ある集合の要素について「任意の」と言ったら、その集合の「全ての1つ1つの要素について」という意味になります。「任意の」という言葉の代わりに、「全ての」と言ったりもしますが、「どの要素をとってきても必ず」という意味合いをこめる時は「任意の」という表現が多いと思います。 ...

  • 数学での論理と言葉の使い方 かつと、または

    「かつ」 と 「または」 ■「かつ」(英語では and) 数学専用というわけではなく、一般用語としても用いますが、 「PかつQ」などと言う時、「かつ」とは、「どちらも」とか「両方とも」の意味を表します。 例えば集合A={4,7,11}と集合B={3,7,12} がある時、共...

  • 部分集合

    部分集合とは 例えばA={1,2、3}でB={1,2,3,4}である場合、 共通集合A∩B={1,2,3} つまりA∩B=Aに他ならないようなときの「AはBの部分集合である」と言います。 要するに、ある集合の要素が丸ごと完全に、別の集合の一部となっている事を指します。 Aが...

  • 和集合

    和集合の考え方 和集合とは2つ以上の集合の要素を全て合わせ持つ集合で、 A={2,4,6} B={1,3,6} であれば{1,2,3,4,6}の事であり、 これをAとBの「和集合」と呼んで AUBと書き、 AUB={1,2,3,4,6}のように表します。 ここで、共通してい...

  • 共通集合(積集合)

    集合A={2,4,6}として、 また、別のてきとうな数「1」と「4」と「9」と「12」を取ってきて、 集合B={1,4,9, 12} を作ったとすると、 集合Aと集合Bは、共通の「要素」として「4」を持っています。 このとき、集合Aと集合Bの共通部分を新しい集合として考えた...

  • 「有限集合」と「無限集合」の分類

    「集合」と言いますが、要素が「1つしかなくても」数学的な集合とみなします。 例えば、ただ一つの要素「2」を持つB={2}などを考えても、これは数学的な集合と呼びます。 また、要素の個数が「無限個」である集合も、数学的な集合として扱います。 1、2,3・・・と延々と続く、いわ...

  • 数学的な「集合」と呼んでいいものと、そうでないもの

    数学的な「集合」の要素は必ずしも「数」である必要はなく、 例えば「全ての三角形の集まり」などは数学的な「集合」と言ってよい事になっています。 あるいは、特定の図形を「回転させる操作」なども集合の要素としてよく、 「中心周りに90°回転」をR1   「中心周りに180°回転」...

  • 集合と要素

    数学的な「集合」とは、 例えば1,2,3・・・の数の中からてきとうな「2」と「4」と「6」を取ってきて、 {2,4,6}のように集めてグループ分けしたもの。 この時、例えば{2,4,6}という「集合」にてきとうにAなどと名前をつけて、 集合A={2,4,6}などと書いたりし...

  • よろしくお願いします。

    京介と言います。どうぞよろしくお願いいたします。 数学教育の改善の必然性を強く感じております。 個人的には、数学と自然科学等のつながりを大事にした 数学教育が必要ではないかと思っています。 その一方で、数学の基礎理論についてもおろそかにしない教育が 必要であるとも思っていま...

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