クライン‐ゴルドン粒子のエネルギー・運動量テンソル

問題2.1b「次に、問題2.1bを解いてみます。問題2.1bは、クライン‐ゴルドン理論のためのエネルギー・運動量テンソルを構築しろとのことです。そこで、以前導いたエネルギー・運動量テンソルの式を見てみましょう」 (2.17) 「ここで、オイラー・ラグランジュ方程式を解いたときと同様に、場の代わりに要素を力学変数として扱うことにします」 「また、上式右辺第1項目の微分は、以前導いた結果を利用します」 「これを代入すると、エネルギー・運動量テンソルは次のようになります」

レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルとは

「次に、とした場合の上の運動方程式の具体的な形を見てみます」 「ここで、およびとすると、上の運動方程式は次のようになります」 「って何よ？」 「は、レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルと呼ばれ、次のように定義されます」 「がの順の組み合わせからなる場合は1、また、の順の組み合わせからなる場合は-1、それ以外の組み合わせからなる場合は0となります。このレヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルを用いると、ベクトルの外積は、次のように表されます」 ベクトルの外積 「これから、とおくと、となることがわかります」 「これはマクスウェル方程式のファラデーの法則そのものです」

オイラー・ラグランジュ方程式からガウスの法則の導出

「次に、とした場合の上の運動方程式の具体的な形を見てみましょう」 「から、であり、また、から、上の運動方程式は次のようになります」 「これは、電荷密度がないときのガウスの法則に他なりません」 電荷密度がないときのガウスの法則：