今回は固定体とガロア拡大の関係について解説していきます。 固定体の定義 まずは固定体の定義を確認しましょう （固定体の定義） $L$を体とする。$G$を$Aut(L)$の部分群とする。 このとき、$G$の元によって不変に保たれる$L$の元全

今回はアルティン流ガロア理論で重要な定理を解説します。 端的に言うと、体の拡大次数と自己同型の個数を結びつける定理です。 式だけ見てもいまいちすごみが分からないと思うので、 今回も具体例とともに解説をしていきたいと思います。 証明の発想部分

ガロア理論の縁の下の力持ちと言っていいデデキントの補題を解説します。 ガロア理論は5次以上の方程式が解けるための必要十分条件を記述するために開発されました。 ガロアが理論を打ち立てた当初は難解すぎて理解されませんでしたが、デデキントが彼の理

ガロア理論では、方程式が代数的に解けるための必要十分条件を導くことができます。 そのための道具として必要不可欠なのがガロア拡大と、ガロア群です。 本記事では、この2つの概念について、なぜそんな定義になっているのかといった 発想まで含めて具体

ガロア理論に古典的にアプローチしていくと、 体の拡大次数と剰余群の位数について神秘的な対応関係を発見することになります。 体と群。 この2つの概念を結びつける道具が、体の同型写像（自己同型写像）です。 今回の記事では、体の同型写像が解の置換

体の同型写像は、有理数を不変に保ちます。 今回は、そのことを証明していきたいと思います。 体の同型写像の定義と、補題の準備 まずは定義を確認しておきましょう。 （体の同型写像の定義） $F_1$と$F_2$を体とする。 写像$f: F_1$

今回は、体の同型写像が四則演算を保存することを証明していきます。 体の同型写像とは？ まず、体とは四則演算で閉じた集合でした。 例えば、自然数$\mathbb{N}$ は足し算で閉じてますが、引き算で閉じていないので体ではないです。 有理数

今回は体の拡大次数について具体例で学んでいきます。 簡単に言うと、拡大次数は体の世界がどのくらい広がっているのかを数値化したものです。 方程式論においてとても重要な役割を演じます。 頑張っていきましょう！ 体（たい）とは？ 体とは、簡単に言

今回は、線形空間の基底と次元を扱います。 めちゃくちゃ重要な概念です。 次元という概念を上手く数学で表現するために基底という概念を作り出した、 といった感じのイメージでいると少し親しみやすいかと思います。 今回も具体例で説明していこうと思い

線形空間の元には、線形結合（一次結合）線形独立（一次独立）なものと線形従属（一次従属）なものがあります。 特に、線形独立なものたちが果たす役割はとても大きいです。 そこで今回は、線形結合と線形独立と線形従属を確実に理解できるよう、 具体例に

今回は線形空間について扱っていきます。 線形空間は、またの名をベクトル空間とも言います。 大学1年生で線形代数を習うときの一つのターニングポイントですね。 でもこの線形空間、なんでこんな定義になってるの？と疑問に思うことも多いと思います。

今回は第三同型定理を扱います。 第三同型定理を端的に言い表すと、 分数の割り算と似たようなことが群でも成り立つ、という感じになります。 すごく美しいこの性質を証明していきます。 今回は具体例の計算をかなり重視しました。 なぜなら定理の内容を

群論のピークは準同型定理ですが、 これはまたの名を第一同型定理といいます。 第一があるということは、当然第二と第三もあります。 今回は、第二同型定理について証明を行っていきます！ 第2同型定理とは？ （第二同型定理） $G$を群とし、$H$

群論を学ぶ上で一つのピークとなるのが準同型定理です。 でもこれって、どんな定理で、何が便利なのでしょう？ 数式を見ているだけだと準同型定理の便利さやすごさは見えにくいものです。 そこで、今回の記事では具体例を通して準同型定理の意味と意義を確

群論や線形代数をやっていると、いずれ出会うのが「像」と「核」です。 今回は、群における「像」と「核」を考える意味を具体例とともに分かりやすく解説していきたいと思います。 我々は「像」と「核」を何のために学ぶのでしょう？ 端的に言えば、それは

群論を進めていくと、いずれは同型写像や準同型写像と出会います。 今回は、同型写像や準同型写像の条件がなぜあのような形になっているのか、 その意味と意義について考えていきたいと思います。 同型写像の本質は、ある群と別の群がどのくらい似ているか

ガロア理論の主役、群論の華と言っても過言ではない正規部分群。 初学だと、なんであんな定義になっているのか謎だと思います。 そこで今回は、剰余類に群構造を持たせるための条件という切り口から正規部分群の定義のなぜに答えていこうと思います。 正規

大学数学を習っていると、いつかはwell-definedという概念と出会います。 なんでこんなものを考えるのかよく分からんランキングでも上位に入る意味不明概念です（マスタノ調べ） 今回は、well-definedとは何か、なぜ必要なのかとい

群論を学んでいると、剰余類という概念が出てきます。 群論の脱落ポイントとして有名です（マスタの調べ） しかし実はこの剰余類、すでに小学校の体育の授業で学んでいます。 今回は具体例を交えながら剰余類について解説していきます。 体育の授業しよう

今回の記事では、部分群という概念について詳しく解説していきます。 新しい概念を理解するには、豊富な具体例が不可欠です。 部分群の定義の必然性を具体例を使って考察する点に重きを置きました。 部分群の定義 部分群について考える前に、まずは群（ぐ