固定体とガロア拡大の関係性を分かりやすく解説

今回は固定体とガロア拡大の関係について解説していきます。 固定体の定義 まずは固定体の定義を確認しましょう （固定体の定義） $L$を体とする。$G$を$Aut(L)$の部分群とする。 このとき、$G$の元によって不変に保たれる$L$の元全

アルティン流ガロア理論で重要な定理を証明

今回はアルティン流ガロア理論で重要な定理を解説します。 端的に言うと、体の拡大次数と自己同型の個数を結びつける定理です。 式だけ見てもいまいちすごみが分からないと思うので、 今回も具体例とともに解説をしていきたいと思います。 証明の発想部分

デデキントの補題の証明を具体例で分かりやすく解説

ガロア理論の縁の下の力持ちと言っていいデデキントの補題を解説します。 ガロア理論は5次以上の方程式が解けるための必要十分条件を記述するために開発されました。 ガロアが理論を打ち立てた当初は難解すぎて理解されませんでしたが、デデキントが彼の理

ガロア拡大とガロア群を具体例で分かりやすく

ガロア理論では、方程式が代数的に解けるための必要十分条件を導くことができます。 そのための道具として必要不可欠なのがガロア拡大と、ガロア群です。 本記事では、この2つの概念について、なぜそんな定義になっているのかといった 発想まで含めて具体

体の自己同型写像と方程式の解の置換

ガロア理論に古典的にアプローチしていくと、 体の拡大次数と剰余群の位数について神秘的な対応関係を発見することになります。 体と群。 この2つの概念を結びつける道具が、体の同型写像（自己同型写像）です。 今回の記事では、体の同型写像が解の置換

体の同型写像は有理数を不変に保つ

体の同型写像は、有理数を不変に保ちます。 今回は、そのことを証明していきたいと思います。 体の同型写像の定義と、補題の準備 まずは定義を確認しておきましょう。 （体の同型写像の定義） $F_1$と$F_2$を体とする。 写像$f: F_1$

体の同型写像と四則演算

今回は、体の同型写像が四則演算を保存することを証明していきます。 体の同型写像とは？ まず、体とは四則演算で閉じた集合でした。 例えば、自然数$\mathbb{N}$ は足し算で閉じてますが、引き算で閉じていないので体ではないです。 有理数

体の拡大次数を具体例で考える

今回は体の拡大次数について具体例で学んでいきます。 簡単に言うと、拡大次数は体の世界がどのくらい広がっているのかを数値化したものです。 方程式論においてとても重要な役割を演じます。 頑張っていきましょう！ 体（たい）とは？ 体とは、簡単に言

基底と次元を具体例で分かりやすく

今回は、線形空間の基底と次元を扱います。 めちゃくちゃ重要な概念です。 次元という概念を上手く数学で表現するために基底という概念を作り出した、 といった感じのイメージでいると少し親しみやすいかと思います。 今回も具体例で説明していこうと思い

線形結合と線形独立と線形従属を具体例で分かりやすく

線形空間の元には、線形結合（一次結合）線形独立（一次独立）なものと線形従属（一次従属）なものがあります。 特に、線形独立なものたちが果たす役割はとても大きいです。 そこで今回は、線形結合と線形独立と線形従属を確実に理解できるよう、 具体例に

線形空間の定義のなぜに「まっすぐ」の一般化で答える

今回は線形空間について扱っていきます。 線形空間は、またの名をベクトル空間とも言います。 大学1年生で線形代数を習うときの一つのターニングポイントですね。 でもこの線形空間、なんでこんな定義になってるの？と疑問に思うことも多いと思います。

第三同型定理とその証明を具体例で分かりやすく解説

今回は第三同型定理を扱います。 第三同型定理を端的に言い表すと、 分数の割り算と似たようなことが群でも成り立つ、という感じになります。 すごく美しいこの性質を証明していきます。 今回は具体例の計算をかなり重視しました。 なぜなら定理の内容を

第二同型定理を分かりやすく解説

群論のピークは準同型定理ですが、 これはまたの名を第一同型定理といいます。 第一があるということは、当然第二と第三もあります。 今回は、第二同型定理について証明を行っていきます！ 第2同型定理とは？ （第二同型定理） $G$を群とし、$H$

準同型定理を具体例で分かりやすく理解する

群論を学ぶ上で一つのピークとなるのが準同型定理です。 でもこれって、どんな定理で、何が便利なのでしょう？ 数式を見ているだけだと準同型定理の便利さやすごさは見えにくいものです。 そこで、今回の記事では具体例を通して準同型定理の意味と意義を確

群の準同型写像の像と核を分かりやすく解説

群論や線形代数をやっていると、いずれ出会うのが「像」と「核」です。 今回は、群における「像」と「核」を考える意味を具体例とともに分かりやすく解説していきたいと思います。 我々は「像」と「核」を何のために学ぶのでしょう？ 端的に言えば、それは

群の同型写像と準同型写像を具体例で分かりやすく

群論を進めていくと、いずれは同型写像や準同型写像と出会います。 今回は、同型写像や準同型写像の条件がなぜあのような形になっているのか、 その意味と意義について考えていきたいと思います。 同型写像の本質は、ある群と別の群がどのくらい似ているか

正規部分群の定義の必然性を考える

ガロア理論の主役、群論の華と言っても過言ではない正規部分群。 初学だと、なんであんな定義になっているのか謎だと思います。 そこで今回は、剰余類に群構造を持たせるための条件という切り口から正規部分群の定義のなぜに答えていこうと思います。 正規

well-definedを生徒議会で考える

大学数学を習っていると、いつかはwell-definedという概念と出会います。 なんでこんなものを考えるのかよく分からんランキングでも上位に入る意味不明概念です（マスタノ調べ） 今回は、well-definedとは何か、なぜ必要なのかとい

体育の授業で考える剰余類の定義

群論を学んでいると、剰余類という概念が出てきます。 群論の脱落ポイントとして有名です（マスタの調べ） しかし実はこの剰余類、すでに小学校の体育の授業で学んでいます。 今回は具体例を交えながら剰余類について解説していきます。 体育の授業しよう

部分群の定義と具体例を分かりやすく

今回の記事では、部分群という概念について詳しく解説していきます。 新しい概念を理解するには、豊富な具体例が不可欠です。 部分群の定義の必然性を具体例を使って考察する点に重きを置きました。 部分群の定義 部分群について考える前に、まずは群（ぐ

群の定義のなぜに答える試み

代数学を学んでいると、必ず「群」という概念と出会います。 天下り的に定義を覚えることから出発しがちですが、 なんであんな定義になっているのか、必然性を疑問に思う方も多いと思います。 そこで、今回の記事では、体（たい）との比較という視点で群の

ガロア理論のアイデアを分かりやすく解説

ガロア理論は、5次方程式が代数的に解けない（べき根で解けない）ことを証明する過程で発展しました。 キーワードは、対称性。 方程式が解ける仕組みを対称性に着目して観察し、 そこから見える規則性を見つけることができたとき、 栄光はすぐそこで我々

1のn乗根がべき根で解けることの証明を分かりやすく解説

今回の記事では、1のn乗根がべき根で解けることを証明します。 代数的に解けると言い換えてもよいです。 その際、またも対称性を高めていくことが重要で、ラグランジュ・リゾルベントが活躍します。 分かりやすさと丁寧さを大切にした結果、証明はかなり

4次方程式が解ける仕組みを対称性で理解する

今回は、4次方程式が解ける仕組みを対称性という視点から理解していきます。 その際、ラグランジュの分解式（ラグランジュ・リゾルベントともいう）が活躍します。 方程式の対称性を調べるとき、ラグランジュの分解式はとても強力な武器なのです。 二次方

三次方程式とラグランジュの分解式

三次方程式が解ける仕組みを、 ラグランジュの分解式（ラグランジュ・リゾルベントともいう）を用いて説明します。 方程式を対称性に着目して分析していく手法です。 この発想の中に、ガロア理論へ至る深遠なひらめきがいくつも隠されているのでご期待くだ

一般の円分多項式の既約性を分かりやすく証明

今回は円分多項式の既約性の証明の完全バージョンを紹介します。 今まで素数次の場合と素数のべき乗次の場合をやってきましたが、 ここにきてついに一般の場合です。 円分多項式の既約性は数論においてマジで超重要な結果です。 ですが、証明が超めんどく

既約多項式の性質一覧

代数を学んでいると何かと扱うことが多い既約多項式。 今回は、そんな既約多項式の性質をまとめてみました！ 既約多項式の性質を理解するうえで最も大切なことは、素数っぽさです。 「既約多項式は素数と似たような性質を持っている」 これを意識するだけ

改造版アイゼンシュタインの既約判定法と円分多項式

円分多項式の既約性の証明、第2弾。 今回は、素数のべき乗次の円分多項式の既約性を示します。 その際にアイゼンシュタインの既約判定法を改造して使いますので、 注目です。 おさらい まず、円分多項式とは何か？ （定義） $\zeta_n=\co

素数次の円分多項式の既約性を証明

円分多項式は整数係数で既約である。 この著しい性質を今回は証明します。 まずは素数次の場合から。 アイゼンシュタインの既約判定法が大活躍します。 円分多項式のおさらい 円分多項式とは、 $x^n-1$ の因数分解に現れる多項式でした。 定義

対称式の基本定理の証明を分かりやすく丁寧に

高校の数学Ⅱで対称式について習います。 そこで、経験的に「対称式は全て基本対称式で表すことができる」という事実を悟ると思うのですが、 それを証明できる人はほとんどいないと思います。 今回は、対称式の基本定理を具体例を交えながら丁寧に証明して

アイゼンシュタインの既約判定法を具体例で分かりやすく

ある多項式が与えられたときに、 それが因数分解できるのか（可約）、 それとも因数分解できないのか（既約）は、 ぱっと見た感じでは中々分かりません。 そんな問題を鮮やかに解決してくれるスーパーな道具が、 アイゼンシュタインの既約判定法です。

原始根の存在証明を分かりやすく丁寧に

初等整数論の章ボス的な存在として、 原始根定理というものが君臨しています。 この原始根定理、のちに登場する数多の超すごい定理たちを証明する際に大活躍しますが、 原始根定理自体の証明は、なんかサクッと終わらせられがちです。 そのため今回の記事

オイラー関数の和に関する性質

1からnまでの数のうち、nと互いに素なものの個数を数えたものを オイラー関数というのでした。 このオイラー関数の和について、 実はびっくり仰天の事実が成り立ちます。 オイラー関数の和を観察 オイラー関数とは、1からnまでの数のうち、nと互い

フェルマーの小定理を一般化してオイラーの定理へ

フェルマーの小定理は実は一般化できます。 この記事では、フェルマーの小定理を一般化するに至る思考プロセスを 具体例を基に丁寧に解説します。 丁寧に進めるぞ！という決意が記事の長さという形で出力されているので、 なんでそんな変形するの！？とい

フェルマーの小定理を等比数列で理解する

フェルマーの小定理は初等整数論の最強武器の一つです。 マジで最強です。 しかし、天下り的に定理と証明を与えられても、 いまいちその美しさが伝わりにくいものです。 そこで、今回の記事では具体例を観察しながらこの最強武器を再発見していこうと思い

パスカル三角形と二項定理の関係を分かりやすく解説

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ 言わずと知れた二乗の展開公式です。 中学3年生で出会い、入試でめっちゃ使ったことでしょう。 そすて、高校2年生になると、数学Ⅱで三乗の展開公式 $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y

なぜゼロの階乗を0！＝1と定めるのか、その2つの理由

高校数学の数学Aで突然現れるなぞの数式 0！＝1 は？ 0じゃないの？ なんで1になるの？ その疑問、ごもっとも。 僕もそう思ったうちの一人だからです。 0！＝1 なぜこう定義するのか。 その意味を解説します。 規則性に基づく説明 1，2，

オイラー関数を求める公式を乗法性を使って証明

今回はオイラー関数の値を求める公式を証明します。 前回証明したオイラー関数の乗法性が大活躍するので、必見です。 公式を得るための準備 オイラー関数とは、1からnまでの数のうち、nと互いに素なものの個数を数えるものです。 $\phi(5)$を

オイラー関数の乗法性を4つのステップで分かりやすく証明

合同式の世界の逆元の個数を調べたいというきっかけから導入された オイラー関数。 今回は、オイラー関数にまつわる重要な性質である乗法性の証明をします。 めっちゃ丁寧に解説をした結果、証明がクソ長くなったので、 証明の思考過程や発想法も含めてし

合同式の逆元からオイラー関数へ

大学で習う初頭整数論の便利屋さん、 オイラーの$\phi$関数 今回は、そんな便利屋さんについて学んでいきましょう！ 合同式の方程式について 合同式シリーズの前の記事では、合同式の方程式が解けるための条件を考えました。 $ax \equiv

椅子取りゲームで考える写像と全単射と一対一対応

全単射とは椅子取りゲームのことである。 椅子取りゲームしようぜ！ 椅子があります。音楽が鳴っていて、人々が椅子を狙っています。 座ります。 怒られます。 なぜ怒られたのでしょう？ 理由はシンプルです 一つの椅子に2人座っているから。 そこで

中国剰余定理を具体例とともに分かりやすく証明

中国剰余定理は 連立一次合同式のおさらい 前回の記事では、連立一次合同式を用いてライバルのテストの点を暴きました。 その概略は、次です。 まず、ライバルのテストの点を3，5，7で割った余りを聞き出します。 例えば、余りがそれぞれ1，2，6だ

ライバルのテストの点数を連立一次合同式で暴いてみた

数学のテスト。 ライバルの点が知りたい！ でも恥ずかしくて聞けない。 そんなことはありませんか？ 連立一次合同式の解法 学生時代、ライバルとテストの点を競い合った経験がある人も多いことでしょう。 しかし、面と向かって相手にテストの点を聞くの

一次合同式を解く2つの方法と、解けるための条件

前回、時計の文字盤と同じ考え方で、合同式の世界を理解した。 次に、合同式の世界における四則演算について確認した。 じゃ、次は？ 次に何をしらべよう？ →方程式を調べてみないか？？ $2x\equiv 1 (\mod 5)$解ける $2x \

時計の文字盤の考え方でゼロから学ぶ合同式

合同式のエッセンスは全て時計の文字盤にあるのだ 合同式とは？ 大学入試の整数問題でもたまに活躍する考え方。 合同式。 今回は合同式について学んでいきます。 合同式を一言で表現するなら、 割り算した時のあまりに着目した式 のことです。 余りが

円分多項式の性質と整数係数である事実

$x^n-1$の分解 整数係数多項式 あと$\mathbb{Q}$上の規約性 これらが円分多項式の著しい性質。 今回は、$x^n-1$の分解と、整数係数多項式であることを実験的に学び、 証明でフィナーレを飾りましょう！ 定義のおさらいから

和と差の積の因数分解の一般化から円分多項式へ

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ 中学3年生で因数分解を習って以来、入試問題で頻出の公式 和と差の積の因数分解。 数学Ⅱでは、これとよく似た公式 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ を習います。 ここまできたら、 $x^4-1

複素数平面と正多角形の関係をド・モアブルで解き明かす

ド・モアブルの定理がいかに美しい定理なのか。 その端的な一例を紹介しようと思います。 ド・モアブルの定理とは？ すべての整数$n$について、 $(\cos \theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\si

ド・モアブルの定理を加法定理と帰納法で証明する

高校数学で最も美しい定理（マスタノ調べ）である ド・モアブルの定理を今回は証明します。 どうやって証明するのか、なぜその発想に至るのか。 思考過程も含めて丁寧に分かりやすく解説していきます！ ド・モアブルの定理を発見するまで 定理を発見する

スイカ割りで理解する複素数の極形式

複素数の極形式とは、スイカ割りのことである。 複素数平面スイカ割り まずはスイカ割りだ！ 下の図のように原点に目隠しをした人がいるとします。 この人をスイカがある位置まで案内できるように指示を出さないといけません。 どうやってこの人をスイカ

三角関数の倍角の公式・3倍角の公式・半角の公式を証明

暗記不要。 加法定理を材料に、倍角・3倍角・半角の公式を導出します。 倍角の公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ (証明) 三角関数の加法定理 $\sin (\alpha +\beta)=\

余弦定理を使って加法定理を証明する

加法定理の証明には様々な別解があります。 今回の主役は余弦定理 証明の発想 三角関数の加法定理。 $\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $

加法定理を証明

加法定理の証明は、東大の2次試験でも出題されたことがあるくらい重要な内容です。 今回は、そんな加法定理の証明を紹介します。 この記事のほかにも、今後色々な別解を紹介していこうと思うので、 気に入ったやり方で証明をマスターしてください。 加法

三角関数の性質の意味を考え公式を導出する

なんか紛らわしい公式を念仏のように覚えさせられるページ それが三角関数の性質 覚えてはいけない 意味をよく考えれば、自然と出てくるから 公式一覧 今からヤバい式が沢山出てきます。 実に18個もありますので、 心の準備をしてくださいね。 ちな

弧度法と度数法の変換

三角関数で躓くポイントランキングNo.1（マスタノ調べ）に君臨する概念、 弧度法。 今回は弧度法について解説していきます。 度数法と弧度法 高校では、角度を測る手段を2つ習います。 1つ目が度数法。 小学校以来慣れ親しんできた、分度器で角度

ウルトラマンと一緒に三角比を三角関数に拡張！

三角関数が待っている。 さぁ行こう！ ウルトラマンポーズの向こう側へ！！ 三角比のおさらいと、三角関数の定義 まずは三角比のおさらいから。 サインやコサインは、ウルトラマンポーズで定義されます。 斜辺の長さが1の直角三角形について、 縦の長

三平方の定理の拡張としての余弦定理

中学で習う三平方の定理。 あれは直角三角形についての定理でした。 これを一般の三角形の場合に拡張できないかな？ というのが今回のお話。 三平方の定理と余弦定理 中学3年生で我々は三平方の定理という偉大な定理と出会います。 これは直角三角形に

正弦定理を円周角の定理を使って証明

今回は、数学Ⅰで習う正弦定理を円周角の定理を用いて証明します。 また、なぜ円周角の定理を使うのか、どうやってその発想にたどり着くか、 といった思考回路も合わせて解説します。 正弦定理とは？ 「$⊿ABC$について、$AB=c, BC=a,

三角比をウルトラマンポーズとビッグライトで説明する

サイン、コサイン、タンジェント。 三角比とはウルトラマンポーズのことである 三角比の定義 $\sin \theta =\dfrac{b}{c}, \cos \theta =\dfrac{a}{c}, \tan \theta =\dfrac{

4次方程式の解の公式の求め方を紹介

今回は4次方程式の解の公式を考えていきます。 ちなみに、 公式は長すぎてブログの余白に書ききることができませんでしたので（フェルマー並感）、 導出のための考え方を紹介します。 推奨レベルは、数学Ⅱの多項式の割り算らへんの基礎知識です。 では

2次方程式の解の公式を対称式を使って導く

2次方程式は普通は平方完成を使って解きます。 しかし、別にそれ以外の方法・発想でも解けます。 何に着目するか、問題をどう眺めるか。 ちょっとした違いで千差万別な別解が存在しうるのが数学の楽しいところです。 そして、数学史を切り開いてきたのは

対称式の問題を定石と別解の2つの方法で解く

数学Ⅱの代数分野の花形といったら何を思い浮かべるでしょう？ 虚数単位$i$? 多項式の割り算？ 色々ありますが、僕は対称式です。 大学数学まで話を広げるとするならば、 対称式はガロア理論で中心的な役割を担う「群」という概念の導入として非常に

コピー用紙に隠された数学、それは√2

日常にありふれた紙として、コピー用紙があります。 A4やA3あたりがよく使うサイズではないでしょうか？ B4やB5派の人も多いと思います。 今回は、コピー用紙に隠された数学の秘密を解き明かしていこうと思います。 コピー用紙がいかにすごい紙な

ピタゴラス数を図形問題として捉えてみる

ピタゴラス数の公式の導出は、いろいろある！ 前回までのおさらい ピタゴラス数とは、$a^2+b^2=c^2$が成り立つ3つの自然数です。 それに互いに素、という条件をつけたものを原始ピタゴラス数といいます。 原始ピタゴラス数を無限にゲットで

「互いに素」を使って原始ピタゴラス数の公式を導出

ピタゴラス数を求める公式の完全バージョンをゲットしましょう！！ 原始ピタゴラス数、再考 ピタゴラス数とは、$a^2+b^2=c^2$が成立する自然数$(a, b, c)$のことです。 そして、原始ピタゴラス数とは、3つの数$a, b, c$

二乗の数を研究！あとピタゴラス数について

1，4，9，16，25，36，49，… 今回は、これらの数について研究していきます！！ 観察 まずは観察です！ 1，4，9，16，25，36，49，… 次の数は？ もちろん64です。 どんな規則性で並んでいるかというと、 二乗の数が並んでい

虚数単位$i$の本質と必要性を「回転」で説明する

二乗してマイナスになる数？ そんなもん、俺は認めねーから！！ と誰もが一度は思うことでしょう。 実は、当時の数学者すらそうでした。 この記事では、虚数単位が数として認められるまでの数学的過程や、その応用、さらにその先の世界について解説します

数学Ⅱの知識で導く3次方程式の解の公式

2次方程式のおさらいから 2次方程式を解く手順は、大きく2ステップでした。 ①最高次の係数を1にする $ax^2+bx+c-0$について、全体を$a$で割って $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$にします

解と係数の関係と基本対称式を一般化

2次方程式の解と係数の関係 今回は、解と係数の関係について扱っていきます。 ふつう、方程式について考えるときは、まず方程式が与えられて、それを解いて解を求めます。 例えば、 $x^2-5x+6=0$が先に与えられます。 そして、これを解きま