ICC(群内相関係数, Intraclass Correlation Coefficient)は単に同じクラスの 次のような2階層のモデルを考えます。 \begin{align*} Y_{ij} = \mu + a_i + \varepsilon_{ij}, \quad a_i \sim \text{i.i.d.}\, N(0, \sigma^2_a), \varepsilon_{ij} \
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ICC(群内相関係数, Intraclass Correlation Coefficient)は単に同じクラスの 次のような2階層のモデルを考えます。 \begin{align*} Y_{ij} = \mu + a_i + \varepsilon_{ij}, \quad a_i \sim \text{i.i.d.}\, N(0, \sigma^2_a), \varepsilon_{ij} \
この記事では信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説します。 全信頼基準(full credibility standard)とは、 サンプル平均が、真の平均値から誤差$latex k$(割合です)以内に入る確率が$latex 1-\alpha$以上になることを保証するために必要なデータ数の目安です。 どういうことかというと、最初に$latex \mu, \alpha$を与えた上で、
この記事ではベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと(?)を解説します。 ベイズの定理 \begin{align*} P(\theta \mid G) \propto P(G \mid \theta ) P(\theta) \end{align*} を用いて、事後分布を考えている時、 明らかに事後分布が \begin{align*} P(\theta \mid G)…
この記事では確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説します。 確率変数$latex X$の生存関数は \begin{align*} S(x ) = P(X \geq x )\end{align*} により定義されます。 今回は、$latex X$が非負確率変数の場合を考えます。 $latex X$を非負確率変数とすると、 \begin{align*} E(X^2) = 2\
この記事では、Bühlmann信頼度をLMMSEの観点から理解します。 LMMSEはLeast Minimum Mean Square Errorです。 次のような状況を考えます。ナイーブな書き方をしているので、読みながら適宜厳密化してください。 今手元にデータ$latex Y$が1つありますが、 これは真の確率変数$latex X$に対して、ノイズである確率変数$latex N$が乗って、
超指数分布のベイズ更新のやり方を解説します。 超指数分布Hyperexponential distributionは、名前はまあサイヤ人みたいに強そうですが、定義はというと、単に指数分布の有限個の凸結合です。 パラメータを$\theta_1, \ldots, \theta_k >0$と$p_1, \ldots , w_k ;0<w_i<1,\quad \sum_{i=1}^k w_i =…
推定量の一致性を確認するのは面倒くさいです。 そこで、平均二乗誤差が$latex 0$に収束することで一致性を確かめることにしましょう。 よくある確認方法ですが、こっちの方が楽だったりします。 というのも、チェビシェフの不等式から \begin{align*} E\left( X – c ^2 \right) \geq k^2 P( X – c > k) \end{align*} なので、
2つの独立なポアソン過程の競争問題について解説します。 2つの独立なポアソン過程$latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$で強度がそれぞれ$latex \lambda_a, \lambda_b$であるものが存在するとします。前者のイベントを$latex A$と呼ぶことにし、後者を$latex B$と呼ぶことにします。 $latex B$が$latex…
幾何分布$latex Geom(p)$のパラメータ$latex p$の最尤推定量(MLE)を$latex \hat p$で表記することにすると、 \begin{align*} \hat p = \frac{1}{\bar x + 1} \end{align*} です。この記事ではそのことを解説します。 幾何分布の確率質量関数は \begin{align*} P(X = x) = (1- p)^x…
マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。 離散的な状態が$latex k$個存在する状況を考えます。 状態間の遷移は、遷移確率行列が \begin{align} P \end{align} に従うとします。 各状態$latex i$のコストを$latex c_i $とし、$latex k \times 1$行列 \begin{align} c \
マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。 離散的な状態が$latex k$個存在する状況を考えます。 状態間の遷移は、遷移確率行列が \begin{align} P \end{align} に従うとします。 各状態$latex i$のコストを$latex c_i $とし、$latex k \times 1$行列 \begin{align} c \
この記事ではポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説します。 ポアソン分布の希薄化とは、 二項分布とポアソン分布を混合し、二項分布の試行回数のパラメータをポアソン分布に従うように設定することです。 命題：ポアソン分布の希薄化 確率変数$latex N$はポアソン分布に従うとする。つまり$latex N \sim Po(\lambda)$とする。 パラメータ$latex N…
この記事では、確率論や機械学習でしばしば登場するラデマッハ確率変数 (Rademacher Random Variable) の定義を確認します。 定義：ラデマッハ確率変数 確率変数$latex X$は \begin{align*} P(X = -1) = \frac{1}{2}, \quad P(X = 1) = \frac{1}{2}\end{align*} を満たす時、
この記事では補対数対数リンク関数の逆関数を求めます。 対数を2回書いているのは誤植ではないです。 complementary log-log link functionです。 \begin{align} g(x) = \log{\left(-\log(1-x) \right)}\end{align} により定義されます。 \begin{align} \xi =\log{\left(-\log(1…
この記事では、対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X \sim LN(\mu, \sigma^2)\end{align*} とします。サンプルの平均を$latex m$とし、分散を$latex s^2$とします。 モーメント法による$latex \mu, \sigma^2$の推定量は、 \begin{align*} E(X) = m…
この記事では正規分布のtail boundの評価を解説します。 \begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*} とします。 \begin{align*} S(x) = P(X \geq x)\end{align*} を評価します。 \begin{align*} 0 < x \leq \xi \Rightarrow 1 \leq \frac{\xi}{x} \
この記事では、一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説します。 適当にネットで調べてもあまりしっくりくる説明がなかったので、自分用の備忘録も兼ねています。 前提知識としては、重回帰分析の線形代数による記述スタイルを掴んでいたらよいと思います。 経済学専門の予備校で100点満点の経済学の試験をしました。この予備校にはA・B・Cの3クラスがあります。
この記事では累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解として書き直せることを解説します。 12種類あるBurr型の分布は、 \begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)(1 – F(x))g(x, F(x))\end{align*} というロジスティック型の微分方程式において、$latex g$を様々に変えることで導出された(はず)です。
この記事では順序統計量の最大値と最小値の分布関数は簡単に求められることを解説します。 まず順序統計量の最大値と最小値というのは、 確率変数 \begin{align*} X_1, \ldots, X_n \end{align*} があった時に、それぞれ \begin{align*} X_{(n)} = \max \{X_1, \ldots, X_n\}, \quad X_{(1)} = \min \
LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。数学や物理学に限らず、あらゆる分野で改行や改ページが頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで改行や改ページをどのようにするかを詳しく解説します。
限界代替率（MRS: Marginal Rate of Substitution）とは、経済学において消費者の選好を表現する重要な概念であり、特定の財の組み合わせにおいて、ある財を1単位追加で得るために、他の財をどれだけ犠牲にできるかを示します。
LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学や物理学の分野では、テンソル積や直和の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXでテンソル積や直和の記号をどのように表現するかを詳しく解説します。
LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学の分野では、等号や不等号の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで等号や不等号の記号をどのように表現するかを詳しく解説します。 特にこれといってよく使われる名称がないものについては、名称欄は空欄としています。 スラッシュをつけるには、
経済学におけるエッジワースボックスは、複数の個人が互いに利益を最大化するために財をどのように交換するかを考える上で、パレート最適な点を視覚的に表現するための便利な図です。
経済学において「弾力性」とは、ある変数（例えば価格や所得）が変動したときに、他の経済変数（例えば需要や供給）がどの程度応答するかを測る指標です。この概念は、市場の反応を理解し、価格設定や政策立案において重要な役割を果たします。
ソローモデルは、マクロ経済学における経済成長理論の一つで、1956年にロバート・ソローによって提唱されたものです。このモデルは、経済がどのように成長し、時間とともにどのように変化するかを理解するためのフレームワークを提供します。
日商簿記2級の試験は、その実践的な内容と多岐にわたる出題範囲から、多くの受験者にとって挑戦的です。しかし、効率的な勉強方法と適切な戦略を用いることで、短期間でも合格は十分に可能です。ここでは、独学でわずか100時間の学習で合格するための裏技を紹介します。
$latex mathbb R times mathbb R$ 上の関数を begin{align*} k(x, y)= 1 + x y + x^2 y^2 + dots + x^d y^d end{align*} により定めます。多項式によって定まるカーネルの一種です。この関数が二つの変数に関して対称であることは明らかでしょう。 対称な実数値関数は、任意の$latex lambda…
多項式カーネルの半正定値性と一次独立生の証明をわかりやすく解説します。
レバレッジ型ETFには「逓減（decay）」と呼ばれる現象が存在し、これは長期投資におけるリスク要因となります。逓減とは、オリジナルの指標ではレンジでもとの価格に戻ってきているのに、レバレッジ型ETFの価格はもとの価格よりも低くなってしまう現象のことを指しています。この記事では逓減が発生する理由や原因を数学的に解説します。
ケリー基準は、ある賭けの勝利確率、敗北時に失う金額、そして勝利した場合に得られる金額を基にして、その賭けに投じるべき資金の割合を計算します。この基準に従うことで、長期的に見て資金を効率的に増やすことができます。
この記事では、離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説します。
小中高生向け数学の問題の中でも特に微妙なものの一つが、「次の数列の一般項を求めよ」という問題です。学生はしばしば、与えられた数列のパターンを見つけ、その一般項を導き出すよう求められます。しかし、この種の問題には答えが一意に定まらないという問題があります。
