【数学小話】もはやπは円に関するものにとどまらない

おそらく日本人のほぼすべての人が初めて知る無理数であるπ。これは円周率のことで、円の直径と円周の長さの比を表す値です。 我々は数学の時間に、円や扇形の問題で何度もπを目にします。πの本来の定義からして、幾何学でπを目にするのはある種の必然だと言えるでしょう。しかし今日の数学ではπは幾何学に限らずさまざまな分野で登場し、もはや円に関するものにとどまらないのです。この記事ではその例を見ていきます。 πの現れる公式 こんなところに円周率 πは超越的な存在 πの現れる公式 πの現れる美しい公式はたくさん知られています。いくつか見てみましょう。 これらはほんの一例です。無理数であるπがこのような美しい式…

【数学小話】素数のみが現れる不思議な数列

ミル定数という定数をご存知でしょうか。ミル定数とは、素数と興味深い繋がりがある、とある実数の定数です。1946年にMillsが見つけました。 A=1.3063778838... この2にも満たない値を使って、次のような式を考えます。 ここで、とは、実数xを超えない最大の整数を表します。別の言い方をすれば、整数部分のことです。この記号はガウス記号と呼ばれることがあります。 なんと、この式にn=1,2,3,...と自然数を代入していくと、現れる数が全て素数になります！ n=1のとき、n=2のとき、n=3のとき、n=4のとき、... 全ての素数が順番に出てくるわけではなく、非常に飛び飛びの値をとりま…

中学生でも解ける大学入試数学79★ 2020年青山学院大学

問題★ 下の図のような道のある地域で、次のような最短の道順は何通りか。 (1) AからBまで行く道順(2) AからCを通ってBまで行く道順(3) AからCを通らずにBまで行く道順(4) AからCを通ってDを通らずにBまで行く道順 ヒント、着眼点 私立の高校入試でもこういった問題を見かけます。組み合わせの問題として典型的です。 また、こういった最短経路を求める問題は、各分かれ道に順に数字を割り振っていくことで足し算だけで答えを出す方法もあります。 以下、解答 // 解答 (1) 56通り(2) 24通り(3) 32通り(4) 8通り 解説 (1) AからBへ行くには、右へ5回、上へ3回移動するこ…

【数学小話】昔、「円周率は3」と教えそうになったらしい

かつてゆとり教育という政策により、「2002年度実施の小学校学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3と教えることになった」という噂が流れました。これは間違っているのですが、訂正されることなく広まり、大きな反響がありました。子供の計算力の成長の機会を奪うことになるといった学力低下を懸念する声や、円と内接する正六角形の周の長さが同じになってしまうといった批判もありました。ゆとり教育の時期と私の学生時代はかぶっていませんが、中学生の時、この六角形と円が同じ長さになる、という指摘を聞いたときはなるほど、と思いました。 また、この影響を受けたのでしょうが、…

【数学小話】入試問題の背景に隠れる大学数学③

入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。ついに第3回。 第一回 こちら 第二回 こちら 第三回 この記事 問題 背景 数の性質について、2018年の早稲田大学理系から。 問題 pを素数、a,b,cを整数とする。次を示せ。 (1) ∛pは無理数である。 (2)~(3)省略 (4) a(∛p)2+b∛p+c=0 ならば、a=b=c=0 である。 // 背景 大学では群、環、体という新しい概念を学びます。体論の中にガロア理論と呼ばれるものがあり、これはあの有…

【数学小話】入試問題の背景に隠れる大学数学②

入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 こちら 第二回 この記事 問題 解答 背景 初回は数列の収束について、1996年の北大理系から。 問題 (1)数学的帰納法により次を示せ。ただし、nは自然数とする。 (2)次の命題は真が偽か。真ならば証明し、偽ならば反例をあげて説明せよ。 ならば数列は収束する。 解答 (1)略解。n=1の場合はすぐ示せる。n=kで成り立つと仮定し、n=k+1にすることで左辺のΣ…

【数学小話】入試問題の背景に隠れる大学数学①

入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 この記事 第二回 こちら 問題 解答 背景 初回は数Ⅲの演習レベルの問題から。 問題 (1) のとき、を示せ。 (2) のとき、を示せ。 解答 (1) とする。 よりだから、は単調増加する。 さらによりでだから、は単調増加する。 また、よりで したがって (2) (1)と同様。 // 背景 大学数学の微積の範囲で、テイラー展開、マクローリン展開というものを習いま…

【数学小話】2021が入るピタゴラス数を見つけてみる

あけましておめでとうございます。2021年もどうにかブログを続けようと思います。今年もよろしくお願いします。 2021は43×47と素因数分解できることは有名でしょう。高校入試に出てもおかしくないレベルです。 2021=2025-4=452-22=(45+2)×(45-2)=47×43 さて、2021年最初の遊びとして、2021が入るピタゴラス数を見つける遊びをしてみます。 ピタゴラス数とは、を満たす自然数の組のことを言います。直角三角形の3辺の長さになりますね。 では、この組の3つの数のうちどれか1つが2021になるものを出来るだけたくさん見つけてみましょう。 問題 ピタゴラス数の基本的事項…

中学生でも解ける大学入試数学78★★ 2019年数オリ予選

数オリの過去問から、お手軽な整数問題を一つ。 問題★★ どの桁も素数であるような自然数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると5桁の良い数になるものを全て求めよ。 ヒント、着眼点 ここでの良い数というのはこの問題だけの呼び方であり、別によく知られている数学の概念ではありません。 考える対象は3桁の良い数。それぞれの桁に自由に素数を入れられるとすると、2,3,5,7のどれかを入れることになります。4×4×4=64通り全て計算してみる、なんて解き方は当然人間にはできません。2乗すると5桁の数になる、という点から候補を絞り込むことを考えてみましょう。 以下、解答 // 解答 235 解説 3…

【数学小話】中学生からの結び目理論入門①

大学の数学というのは分野が非常に細分化されており、その1つを究めるだけで精一杯、という世界です。その中でも筆者が現在関心のある分野である結び目理論について、中学生でも理解できる言葉だけ（たまに外れるかもしれません）で、その面白さを説明してみようと思います。直観的なことをどう数学として定式化するか、どうやって解析の道具を作り、使うか、といった理論の奥深さも知ってもらいたい、という動機からこのシリーズを始めました。 第1回 結び目理論とは何か（本記事） 第2回 不変量（未投稿） 結び目理論とは何か 結び目が違うことを証明する 結び目理論とは何か まずここで言う結び目とはどういうものを指すかを述べま…

【数学小話】男女の人数を求めるタイプの連立方程式の問題

中学2年で連立方程式を習い、そこで割合と絡めた問題として、次のような問題がよく出ます。誰もが何度も目にしたことがあるでしょう。 ある学校の昨年の入学者は男女合わせて500人だった。今年は昨年に比べて、男子が3%減り、女子は2%増えたので、入学者は計495人だった。今年の男子と女子の入学者をそれぞれ求めなさい。 今回はこのタイプの問題を「いかに楽して解くか」について考えたいです。全人類この計算量が多くて面倒な問題で時間を無駄にしていると思いますので。 で、この昨年に比べて何%どうなったから今年はどうでした、というタイプの問題は、「今年の人数が聞かれているけど、昨年の男女をx,yと置いて連立方程式…

【高校英語】英文解釈の難問③

ここでは、不定期で僕の出会った難しい英文を紹介していきます。 第1回 英文解釈の難問① 第2回 英文解釈の難問② レベル：難関大で差がつく 次の英文を和訳せよ。 In the West, work is looked on not as something innately good but as a miserable labor divinely imposed on people as a punishment for sin, freedom from which can be won only by faithfully following the teaching of God. …

【数学小話】有理数がどれくらい詰まっているかを見る

実数の数直線上にどれくらい有理数が存在するかを考えてみます。言い方を変えれば、有理数はどれくらいぎっしりと詰まっているかを調べてみます。 有理数がぎっしりと詰まっていること、大学以降の数学では有理数の稠密性といいますが、今回はこの性質をいくつかの問題を解きながら体感してみましょう。 アルキメデスの性質 整数部分 有理数に隙間はあるか 発展 アルキメデスの性質 アルキメデスの性質とは、実数の持つ性質の1つを指すものです。文献によってはアルキメデスの原則などと呼ばれることもあります。 物理における浮力の性質を指すものにアルキメデスの原理がありますが、これとは別のものです。 アルキメデスの性質任意の…

中学生でも解ける大学入試数学77★★ 2020年東大

今年の東大文系から、場合の数の問題です。 問題★★ 8本の直線x=1,x=2,x=3,x=4,y=1,y=2,y=3,y=4がある。これらの直線の16個の交点から5個を選ぶことを考える。 次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りか。 (1) 上の8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 上の8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ヒント、着眼点 問題文の意味、きちんと理解できていますか？ (1) 8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ここに5個の点を選んだ例を3つ…

【数学小話】大学入試「出ない」積分ランキング

大学入試で出る積分の問題は、当たり前ですが高校までの知識で求められる積分しか出ません。今回は大学以上の知識で求められる有名な積分を見てみます。また、高校数学の範囲を超えている部分をうまいこと避けて入試問題が作られる場合がありますから、そのような例も確認します。 これで大学入試対策はばっちり(大嘘) 5位：逆三角関数 4位：ガウス積分 3位：ディリクレ積分 2位：フレネル積分 1位：楕円積分 5位：逆三角関数 原始関数が逆三角関数となるような関数を不定積分する問題は出ません。逆三角関数は高校数学では習いませんから。 逆三角関数というのは三角関数の逆関数です。という関係式について、のとき、1つのに…

【英語】英文解釈ミニクイズ①～ツイッター社のツイートより～

今回は、ツイッター社のツイートを利用した英文解釈クイズを用意しました。 [問題] 以下のツイートを正しい日本語に訳せ。*drink お酒を飲む Don't drink and Tweet — Twitter (@Twitter) January 11, 2020 [正解] 飲みながらツイートするな！ （別解：お酒を飲んだらツイートするな！） 「お酒を飲んだり、ツイートしたりするな。」と訳した人はいませんか。それは、"not A and B"を「AもBも～ない」と捉えたことによる誤答です。否定語句"not"と接続詞"and"や"or"の組み合わせは、日本語話者の感覚とズレる箇所があり、誤訳のタネ…

【数学小話】病的な数学⑦ シェルピンスキーのギャスケット

前回はなかなか難しい話題でした。今回は前回より少しとっつきやすい話題、フラクタル図形についていくつか見てみます。後で述べますが、有名なシェルピンスキーのギャスケットと呼ばれる図形は"およそ1.58次元の図形"と言うことが出来ます。そんな話について。 シェルピンスキーのギャスケット フラクタル図形の次元 ハウスドルフ次元 有名なフラクタル図形 フラクタル図形の実用 シェルピンスキーのギャスケット シェルピンスキーのギャスケットは次のようにして構成させる図形です。前回と同じく無限に繰り返して出来たものがシェルピンスキーのギャスケットです。無限に繰り返した図は描けないですが、有限回で止めたものを描く…

【数学小話】病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線

前回はそこまででしたが、今回はディリクレの関数のように、本当の意味で病的な話になります。 数学における直線の扱いで「太さ、幅をもたない」という特徴がありますよね。この直線を何回も折り曲げたり曲げたりして出来たものが（幅のある）領域を埋め尽くしてしまう、という奇妙な例の紹介です。空間を埋め尽くす曲線はいくつもありますが、最も有名と思われるヒルベルト曲線について見てみます。 ヒルベルト曲線 全ての点を通ることの証明 ヒルベルト曲線 歴史的に最初に正方形の全ての点を通る曲線（折れ線も曲線とします）を考えたのはペアノです。1890年、ペアノはペアノ曲線と呼ばれる曲線を考えました。 翌年、1891年にヒ…

【数学小話】病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式

今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。 簡単？な因数分解 不思議な因数分解 円分多項式 簡単？な因数分解 まずは簡単な因数分解から始めましょう。当然、と因数分解されます。 では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で)因数分解してみましょう。 簡単ですかね？答えはこちら。 まだまだ行きます。 答えはこちら。 では、こちらはどうでしょう。 少し難しいですね、こんな風にできます。 ⑥は、がこれ以上因数分解できないことを確認するのが簡単ではありませんが、ここではそこはよしとします。 さて、ここまで様々なを見てきましたが、次の共通点があるように予想できます。 (a) どれ…

【数学小話】病的な数学④ ディリクレの関数

前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。 ディリクレの関数 リーマン積分できないことの証明 区分求積法 リーマン積分できない証明 ルベーグ積分 ディリクレの関数の書き換え ディリクレの関数 そもそも、中学で習った関数の定義は、 xの値を定めるとそれに対応したyがただ一つに定まるとき、yはxの関数であるという でしたね。この定義を守っていれば、次のようなものもれっきとした関数なのです。こちらがディリクレの関数と呼ばれるものです。 実数から好きにxを持ってきて、それが有理数か無理数かによって1か0の数字が対応す…