【数学小話】n次方程式の解と係数の関係

高校受験でやや発展的な内容として扱われるものとして、解と係数の関係があります。少し難易度の高い私立高校では受験問題でその知識が要求されることがあります。公立高校の受験ではめったに出題されないテーマですが、今回はこのことについての記事です。後ろ半分は高校以上の、しかもかなり難しい内容なので後半は飛ばしてもらって構いません。 ・高校受験における解と係数の関係 高校受験で見かける解と係数の関係は、以下のようなものです。 の方程式 の2つの解を とすると、 ・例題 の2つの解を とする。 の値を求めよ。 ・解答与えられた方程式は と変形できるので、解と係数の関係より、である。 このように解くことができ…

中学生でも解ける大学入試数学６２ 摂南大

誘導がうまく使えると気持ちいい。 問題★★ (1) を展開せよ。 (2) の因数分解を利用し、 を7で割ったときの余りを求めよ。 ヒント、着眼点 数学の入試問題のよくある流れ。一見、(1)と(2)に関係がなさそうに見えるものほど(1)をうまく使って(2)が解けるパターン。どう活かせるかをよーく考える。 以下、解答 // 解答 (1) (2) 1 解説 (1) (2) を因数分解する。 とすれば、 だから、ここで、63は7の倍数だから、 は7の倍数。つまり は7の倍数だから、 とすると、 つまり は7で割って1余る。 と見れるかがポイント。 前回 中学生でも解ける大学入試数学６１ 2019年法政…

中学生でも解ける大学入試数学６１ 2019年法政大

私立高校入試でも十分あり得る問題。 問題★ とする。 (1) のとき、 の値を求めよ。 (2) のとき、 の値を求めよ。 ヒント、着眼点 高校入試でもやります。基本対称式の値を考える問題です。 つまり の値を考えるとうまくいきやすいです。 以下、解答 // 解答 (1) 12 (2) 解説 (1) の両辺に をかけると、を得る。 であるから、 すると、 (2) とおくと、 より より、これを解いて、よって、 前回 中学生でも解ける大学入試数学６０ 2017年千葉大 次回 written by k

中学生でも解ける大学入試数学６０ 2017年千葉大

ちょっと場合分けがややこしい確率の問題です。 問題★★ 1個のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。 ・1回目は、出た目を得点とする。 ・2回目は、1回目と同じ目なら得点は0、異なれば出た目を得点とする。 ・3回目は、1回目か2回目と同じ目なら得点は0、そうでなければ出た目を得点とする。 3回の得点の和をnとする。 (1) nの最小値を求め、最小値を得る確率を求めよ。 (2) nの最大値を求め、最大値を得る確率を求めよ。 (3) n=6となる確率を求めよ。 ヒント、着眼点 得点を決めるルールをしっかり理解し、どんな時に最小値、最大値を得るかをしっかり見極めましょう。 目の出た…

【数学小話】全知全能の神はいるのか、公理について

数学は証明の文化です。論理を使いこなすことで、直感で分からないことも"分かる"ようになるのです。 さて、証明って何でしょうか。正しいって何でしょうか。 全知全能の逆説というものがあります。これを見ながら、証明とは何か、正しいとは何か、ということについて考えていきます。 目次 全知全能の逆説 定理は公理を要求する 屁理屈による反論の反論 「正しい」とは何か 全知全能の逆説 もし全知全能の存在Aがいたと仮定します。Aはなんでもできるので、「誰にも持ち上げることのできない石」を作ることができます。Aは何でもできるので、この石を持ち上げることができます。…①また、この石は誰にも持ち上げることができない…

星陵祭で見る日比谷生の生態③(勉強時間、塾の話)

前回、前々回 星陵祭で見る日比谷生の生態①(特に、帰国子女の話)星陵祭で見る日比谷生の生態②(特に、文理選択の話) Q11. 1日の勉強時間は？ 1年生 2年生 3年生 Q12. 塾に通っていますか？ 1年生 2年生 3年生 Q13. 部活は何ですか？ 日比谷生の勉強事情をさらに見ていきましょう。日比谷高校を目指す受験生も、現在日比谷高校に通っている日比谷生も、このデータをもとに自分の勉強スタイルを顧みるよい機会になるかもしれません。 Q11. 1日の勉強時間は？ 前回も述べましたが、おそらくこのアンケートは夏休み以前にとったものであると予想されることを踏まえてこのデータを参考にしてください。…

中学生でも解ける大学入試数学５９ 2017年お茶女大

2017年の問題の大問2の途中まで。 問題★ さいころをn回ふり、n個の出た目の数を全てかけ合わせた数をaとする。 (1) aが素数となる確率をnを用いて表せ。 (2) aが3の倍数となる確率をnを用いて表せ。 ヒント、着眼点 中学校でならう確率は答えに文字が入ることはないのですが、確率の求め方さえ分かっていれば十分対処できるでしょう。 例えば、硬貨をn回投げて全て表が出る確率は、 となりますね。今回の問題の答えはこのような分数が登場します。 以下、解答 スポンサーリンク // 解答 (1) (2) 解説 (1) aが素数となるのは、n回中1回だけ素数が出て、他は全て1が出る場合である。1から…

英語　長文の読解法について

先日、河合塾の2019京大オープンの答案が返却されたようですね。京大受験生の皆さん、出来はいかがだったでしょうか。 普段某塾にて英語を指導しているのですが、この京大オープン模試の英語について、指導中の生徒から質問がありました。指導の過程で問題を解いたのですが、あまりにも優れた出題に驚きました。どの大問も良問でしたが、中でも大問2は「お見事！」としか言い様がありませんでした。この整った英文を見つけるのにどれだけの時間がかかったでしょう。作問された講師の方々に脱帽です。 さて、閑話休題。本日から、京大オープンの作問者に敬意を表して(？)、複数の英文をどう読むか、つまり、長文読解の考え方を書いていき…

【数学小話】フィボナッチ数列の一般項 (3項間漸化式)

ちょっと前に、フィボナッチ数列の記事を書きました。今回は数Bで習う数列の知識を使ってその一般項を求めてみます。 hibiyastudy.hatenablog.com フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,... 隣り合った2つの和が次の値になる。そんなルールで作られています。 a1 = 1 ,a2 = 1 an+2 = an+1 + an (n≧1) 隣接3項間漸化式と言われるやつです。このパターンの問題の解き方のみならず、特性方程式の考え方もついでに書いてみます。 3項間漸化式の特性方程式 漸化式 の をそれぞれ に置きかえて…

【高校英語】英文解釈の難問②

英文解釈①では、形ではなく内容から２つの訳を吟味する問題を出題しました。 hibiyastudy.hatenablog.com 受験レベルの英文では、しかし、①で扱ったような文構造を意味から吟味するといったポイントが問われるものは多くはありません。むしろ、その対極で「形」だけから意味が大体決定されるものが多く出題される傾向にあります。 英文解釈②では、「形」を捉える練習として、「関係代名詞」の読み方をテーマに以下の問題を出題します。 レベル：難関 下線部を和訳せよ。（文章を抜き出しているので、意訳はしなくてよい。） For two or three days, Madame Berger lo…

中学生でも解ける大学入試数学５８ 2015年福井大

問題を少し変えています。 問題★★ 自然数nについて、 以下の最大の整数を とする。 (1) の値を求めよ。 (2) となるnはいくつあるか。 ヒント、着眼点 の定義をしっかり理解できたら、落ち着いて解けるでしょう。 以下、解答 スポンサーリンク // 解答 (1) 14 (2) 6個 解説 (1) である。 よって14 (2) となるnは、 を満たすnであり、 つまり、 をみたすものである。これを解くと よって、n=19,20,21,22,23,24の6つ。 前回 中学生でも解ける大学入試数学５７ 2018年防衛大 - 日比谷高校のススメ 次回 written by k

星陵祭で見る日比谷生の生態②(特に、文理選択の話)

前回はこちら 星陵祭で見る日比谷生の生態①(特に、帰国子女の話) - 日比谷高校のススメ 今回は、日比谷生を対象としたアンケートの続きを見て、日比谷生の勉強事情を探ります。特に面白いと思ったアンケート結果を見てみましょう。 Q6. 放課後(部活後)の過ごし方は？1位 帰宅して何もせずゴロゴロ 47.0%2位 帰宅して勉強 21.9%3位 自習室 16.2%4位 塾 14.9% このアンケートは、星陵祭企画委員によるものなので、おそらく星陵祭前以前にとったもので、「星陵祭準備」という項目がないので、星陵祭の準備が本格的になる夏休みよりも前であると考えられます。それを鑑みると、約半分の日比谷生が勉…

星陵祭で見る日比谷生の生態①(特に、帰国子女の話)

2019年9月21,22日に星陵祭がありました。日比谷高校の3大行事に数えられる、全生徒が全力を注ぐイベントです。今回は卒業してから久々に日比谷高校に足を運んだ人が目にした、日比谷生の実態、またその考察を書きます。 1階の購買の前にある広場でクラスTシャツ、逆カップル*1と一緒に、こんなものが張り出されていました。 Q14までありますが、とりあえず今回はQ4まで。 日比谷生の生態大調査 日比谷の全校生徒を対象としたアンケートです。なかなか面白い内容が書いてあるな、と興味深く思ったので紹介します。 Q1.帰国子女ですか？ なんとYesが20%という結果に。これをTwitterでも書いたところ、驚…

令和２年度東大院数学科 専門科目Aの答案

実際に院試を受験したときの自分の答案を再現＆若干の手直ししたものを記録として遺しておく。誰かの勉強の役に立つかもしれないし、自分の役に立つかもしれない。 あくまで自分の答案を書き起こしたものであり、間違っている可能性がある。それも含めて記録として価値のあるものになることを願って。 試験は[1][2]が必答で[3]~[7]から2つを選んで解くのだが、自分が解いた[1][2][4][7]の答案を遺す。 [1]の解答のみ無料で見れます。 written by k

東大院数学科を受験しました③

前回 東大院数学科を受験しました② - 日比谷高校のススメ 院試の問題を軽く振り返る。 自分の作った院試の解答は、いつか記事として遺しておきたい。 令和2年度大学院入試データ ・東工大院数学系 受験者70→筆記合格38→合格34人 ・京大院数学系 受験者110くらい→筆記合格64→合格51(うち基盤35先端16) ・東大院数学科 受験者116→筆記合格60→合格? 公式の解答がないので、自分の主観であるが、どれくらい解けたかも書いておく。 ・東工大院 数学基礎：2完3半/5問中 [1]リーマン積分の収束の問題。最初めんどくさそうだから飛ばした。最後の15分で戻ってきて考えたら、2年生の時にリー…

東大院数学科を受験しました②

前回 東大院数学科を受験しました① - 日比谷高校のススメ 次回 東大院数学科を受験しました③ - 日比谷高校のススメ 大学院受験までどんなことをしたかを振り返る。 3年春休み 1年のときに買わされた線形代数の演習書を1周する。1年の時は授業中に指定された問題しか解いていなかったのもあり、はじめて解く問題もあったが、ひと月で1周させる。ジョルダン標準形はやっていない。 早稲田の院を一般受験する時にTOEICかTOEFLのスコアを提出することを知り、TOEICの勉強のためにTOEICの勉強本を買って勉強する。 4年4月 院試の情報を求めて院試ガイダンスに出る。そこで言われたこと。 ・早稲田の院に…

東大院数学科を受験しました①

タイトルの通りです。東大院数学科を受験しました。そのレポートをお届けします。問題の振り返り、反省を赤裸々につづります。 大学の数学科に興味がある人、これから数学科の院試を考えている人の参考になると思います。 大学院の入試問題がどんな感じかをまず見てみましょう。こまかい反省や受験生へのアドバイス的な物は次回に。 大学院入試 そもそも大学院入試は大学入試と違い、国立大学であっても複数受験できます。大学入試と違い日程が大学ごとに違うからです。例えば2020年度入試では東工大院は8/16,17、京大院は8/24,25、東大院は8/26,27です。私はこの3つを受験しました。 結論からいうと、筆記試験は…

中学生でも解ける大学入試数学５７ 2018年防衛大

問題を少し変えています。 問題★★ のとき、 の値の1の位の数字はいくつか。 ヒント、着眼点 難関高校受験でも出る基本対称式を使う問題。 を の組み合わせで表すことを考えればよさそうです。 たとえ分からなくても、0から9のどれかを書けば1/10で当たります。 以下、解答 解答 8 解説 まず、 を有理化してみる。 同様にして、 を得る。よって、 である。また、 である。(うまく約分される) ここで、の1の位の数字は0より、それから2を引くと、1の位の数字は8 よって の1の位の数字は8 補足 この問題は1の位だけを求めればよいので、 をまじめに計算しないように。 を作るのに、今回は というルー…

【超難問】大学"院"入試過去問　京大院の整数問題

大学院入試の過去問を眺めていたら、たまたま運よく高校生でも解ける（ここでの解けるは、問題文の意味を理解でき、そして高校までの知識のみで答えを出せるという意味で、簡単に解けるとは言ってません*1 )問題を見つけたので、記事にしようと思います。問題文自体は簡潔で簡単ですが、きっちりと解答を書こうとするとかなり長くなる、そんな問題です。 問題 1以上3500以下の整数 のうち、 が3500で割り切れるものの個数を求めよ。 方針 とりあえず と因数分解できるので、 にそれぞれ の素因数をどう"振り分ける"かを考えて候補を絞っていきます。個数を聞いていますが、ここでは全てちゃんと値を求めようと思います。…

中学生でも解ける大学入試数学５６ 2019年静岡大

問題を少し変えています。 問題★★ 3桁の自然数の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcとする。 (1) 10a+b-2cが7の倍数ならばもとの自然数は7の倍数であることを示せ。 (2) a≠b, a=cであるとき、もとの自然数が7の倍数となるようなaとbの組は何通りあるか。 ヒント、着眼点 倍数判定法の証明に関する問題です。 3の倍数の判定法はよく知られていて、使う機会は多いです。 Aの各位の数の和が3の倍数ならば、Aは3の倍数 例 123456は1+2+3+4+5+6=21より3の倍数。実際、123456=3×41152 この証明を見てみましょう。今回の問題にも役立つはずです。ここ…

中学生でも解ける大学入試数学５５ 2002年お茶女大

問題★ 1から2002までの自然数のうち、45で割ったときの余りが45で割ったときの商より小さいものはいくつあるか。 ヒント、着眼点 「何通りあるか」問題は、計算でパパっと求められるものもあれば、根気よく順に数えて求めるものもあります。今回はうまく順に数えればよいでしょう。 このような問題で、うまく数えることができる、というのはいわゆるセンスがしばしば要求されます。この問題を通して、センスを磨きましょう。 以下、解答 解答 969個 解説 まず、該当する自然数はどのように現れるのかを把握しましょう。1から2002までの自然数を45で割ったときの商とあまりがどのように変化するかが分かれば、該当す…

中学生でも解ける大学入試数学５４ 1999年大阪大

問題★★ 自然数の組(a, b)で、aからbまでの自然数全ての和が500となるようなa, bの組を全て求めよ。ただしa<bとする。 ヒント、着眼点 aからbまでの自然数全ての和は、aとbを用いてどのように表されるのかが重要になりそうです。 さて、このような公式をご存知でしょうか。 1からnまでの自然数全ての和は、 と表される。 この公式の証明のアイデアが、aからbまでの和を求めるのに役立ちそうです。 証明 1からnまでを横にならべ、その下にnから1までを並べる。縦に並んだ2つの数を見ると、どれも和がn+1になっている。この和がである2つの数字の組が組あり、それらの和はとなる。これは(1からn)…

【数学小話】1,2,3,〇,5,...さて、〇に入るのは？

簡単な問題を出します。 1,2,3,〇,5,... さて、〇に入るのはいくつ？ いやー簡単ですねぇ。当然答えは2019です。当たり前ですね。 え？答えは4じゃないかって？いやいや。 この数の並びは、 にを順に代入したものですから。4になるわけがありません。ちなみに6以上を代入すると全然違う数になります。0以下も同様。 茶番終わり ということで、今回の話は、好きな値を代入して好きな値になるような関数を作る話です。上で登場した4次多項式も、この方法を用いて作りました。 ・n個の点を通る多項式 中学2年で、一次関数を習います。ここで、2つの点を通る直線の式を求める方法を習います。2つの点を通る直線の…

中学生でも解ける大学入試数学５３ 1998年横浜国立大

問題★ 平面上に一辺4の正三角形がある。0<r<1として、平面上にある半径rの円が、その中心がこの正三角形の辺上を一周するように動くとき、この円が通過する部分の面積を求めよ。 ヒント、着眼点 まずは自分で図を描きましょう。正確に描きましょう。 どこがとんがった角で、どこが丸い角かを間違えずに図が書けることが最初の関門でしょう。 もし正しく図が描けたら、うまく図形を分割するなりして面積を出しましょう。 ヒント:この公式が使えるかもしれません。高校受験生なら覚えるべきものです。 一辺の長さがaである正三角形の高さは、 面積は、 難関校を目指す受験生なら、この公式の導出も説明できるようになるべきでし…

日比谷高校漢字講座 Part8

第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 人情味あふれる性格 2. 船の甲板に出る。 3. 月極駐車場 4. 兵法を学ぶ。 5. 一日千秋の思いを馳せる。 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. へんきょうの地 2. とろうに終わる。 3. べんぎを図る。 4. さんじゅうろっけい逃げるに如かず 5. しんらばんしょう 以下、答えになります。 第一問 1. にんじょうみ 2. かんぱん 3. つきぎめ(× アルティメットムーン) 4. へいほう 5. いちじつせんしゅう 第二問 1. 辺境 2. 徒労 3. 便宜 4. 三十六計 5. 森羅万象 【正答率目安】 8問〜: 合格者平均は堅い。 6…

【数学小話】中学校では教えてくれない数の性質⑤　あまりと周期

第１回の記事はこちら 第２回の記事はこちら 第３回の記事はこちら 第４回の記事はこちら p,qは互いに素な自然数とする。pの倍数をqで割った余りは、q個ごとに同じ数が繰り返される。 例として、p=4, q=7でやってみます。 4の倍数を7で割った余りを表にしました。これを見ると、7で割った余りが「4,1,5,2,6,3,0」の7つがループになっていることが分かります。これを周期7のループと呼ぶことにしましょう。 ちなみに、p,qの役割を入れ替えて、7の倍数を4で割った余りを見ると、今度は周期4のループになっています。 では互いに素でない数ならどうなるかを見てみます。p=6, q=8で見てみまし…

中学生でも解ける大学入試数学５２ 2019年千葉大

問題★★ 正の約数の個数がちょうどm個であるような、1900以上の自然数のうち最小のものをとする。 (1) (2) ヒント、着眼点 難関高校受験でも習う約数の個数の求め方を知っていれば方針が決まりやすいのではないでしょうか。 一応公式を書いておきます。 自然数が以下のように素因数分解されたとする。 この時、の約数の個数は (ここで、は素数、は指数) つまり、素因数分解したときの指数をそれぞれ1足してかければ求められます。例を見てみます。 例① 36の(正の)約数は9個 例② 12の(正の)約数は6個 ※今回の例のように、指数が書かれていないときは1乗と見ます。 例③ 16の(正の)約数は5個 …

【数学小話】中学校では教えてくれない数の性質④　素因数分解

第１回の記事はこちら 第２回の記事はこちら 第３回の記事はこちら ・素因数分解の一意性 素因数分解は積の順番を除いてただ一通りである。 つまり、素因数分解は必ず同じ結果になるということです。 Aを素因数分解したらあるときは53×71になり、あるときは13×19×43だった、なんてことにはなりません。これは経験則として誰もが知っていることでしょう。 これだけです。これだけの短い内容ですが、とてもとても重要なことです。 素因数分解を使って解く問題を少しみていきましょう。 例題 10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1は末尾に0がいくつ並ぶか。 解答 10!=10×9×8×7×6×5×4×3…

日比谷高校漢字講座 Part7

第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 人の性である。 2. 良い塩梅を探る。 3. 真っ新な状態を維持する。 4. 突飛な発想を推す。 5. 紺屋の白袴 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. 授業のいっかんで農家を訪ねる。 2. 給料日前ですかんぴんだ。 3. みえをはる。 4. めんぺきくねん 5. はがんいっしょう 以下、答えになります。 第一問 1. さが 2. あんばい 3. まっさら 4. とっぴ 5. こうや 第二問 1. 一貫 2. 素寒貧 3. 見栄 4. 面壁九年 5. 破顔一笑 【正答率目安】 8問〜: 合格者平均は堅い。 6-7問: 受験者平均並み。さらなる高みを目…

中学生でも解ける大学入試数学５１ 2019年中央大

問題★★ ある規則に従って、次のように分数を並べる。 (1) 最初から20番目、50番目、200番目の分数は何か。(約分しなくてよい) (2) 最初から200番目までの間に、1と等しい分数はいくつあるか。 ヒント、着眼点 まずは分数の並びの規則を見ぬいてください。分母だけを見ると、分母1が1つ、分母2が2つ、分母3が3つ、というようになっています。そこで、最初の1つを第1グループ、次の2つを第2グループ、次の3つを第3グループ、...とします。 第nグループの分数の分子は、12からn2までが並んでいることが分かります。 ここで、このようにグループ分けをする利点は、第nグループの最後の分数が最初…