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ミル定数という定数をご存知でしょうか。ミル定数とは、素数と興味深い繋がりがある、とある実数の定数です。1946年にMillsが見つけました。 A=1.3063778838... この2にも満たない値を使って、次のような式を考えます。 ここで、とは、実数xを超えない最大の整数を表します。別の言い方をすれば、整数部分のことです。この記号はガウス記号と呼ばれることがあります。 なんと、この式にn=1,2,3,...と自然数を代入していくと、現れる数が全て素数になります！ n=1のとき、n=2のとき、n=3のとき、n=4のとき、... 全ての素数が順番に出てくるわけではなく、非常に飛び飛びの値をとりま…
問題★ 下の図のような道のある地域で、次のような最短の道順は何通りか。 (1) AからBまで行く道順(2) AからCを通ってBまで行く道順(3) AからCを通らずにBまで行く道順(4) AからCを通ってDを通らずにBまで行く道順 ヒント、着眼点 私立の高校入試でもこういった問題を見かけます。組み合わせの問題として典型的です。 また、こういった最短経路を求める問題は、各分かれ道に順に数字を割り振っていくことで足し算だけで答えを出す方法もあります。 以下、解答 // 解答 (1) 56通り(2) 24通り(3) 32通り(4) 8通り 解説 (1) AからBへ行くには、右へ5回、上へ3回移動するこ…
かつてゆとり教育という政策により、「2002年度実施の小学校学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3と教えることになった」という噂が流れました。これは間違っているのですが、訂正されることなく広まり、大きな反響がありました。子供の計算力の成長の機会を奪うことになるといった学力低下を懸念する声や、円と内接する正六角形の周の長さが同じになってしまうといった批判もありました。ゆとり教育の時期と私の学生時代はかぶっていませんが、中学生の時、この六角形と円が同じ長さになる、という指摘を聞いたときはなるほど、と思いました。 また、この影響を受けたのでしょうが、…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。ついに第3回。 第一回 こちら 第二回 こちら 第三回 この記事 問題 背景 数の性質について、2018年の早稲田大学理系から。 問題 pを素数、a,b,cを整数とする。次を示せ。 (1) ∛pは無理数である。 (2)~(3)省略 (4) a(∛p)2+b∛p+c=0 ならば、a=b=c=0 である。 // 背景 大学では群、環、体という新しい概念を学びます。体論の中にガロア理論と呼ばれるものがあり、これはあの有…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 こちら 第二回 この記事 問題 解答 背景 初回は数列の収束について、1996年の北大理系から。 問題 (1)数学的帰納法により次を示せ。ただし、nは自然数とする。 (2)次の命題は真が偽か。真ならば証明し、偽ならば反例をあげて説明せよ。 ならば数列は収束する。 解答 (1)略解。n=1の場合はすぐ示せる。n=kで成り立つと仮定し、n=k+1にすることで左辺のΣ…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 この記事 第二回 こちら 問題 解答 背景 初回は数Ⅲの演習レベルの問題から。 問題 (1) のとき、を示せ。 (2) のとき、を示せ。 解答 (1) とする。 よりだから、は単調増加する。 さらによりでだから、は単調増加する。 また、よりで したがって (2) (1)と同様。 // 背景 大学数学の微積の範囲で、テイラー展開、マクローリン展開というものを習いま…
あけましておめでとうございます。2021年もどうにかブログを続けようと思います。今年もよろしくお願いします。 2021は43×47と素因数分解できることは有名でしょう。高校入試に出てもおかしくないレベルです。 2021=2025-4=452-22=(45+2)×(45-2)=47×43 さて、2021年最初の遊びとして、2021が入るピタゴラス数を見つける遊びをしてみます。 ピタゴラス数とは、を満たす自然数の組のことを言います。直角三角形の3辺の長さになりますね。 では、この組の3つの数のうちどれか1つが2021になるものを出来るだけたくさん見つけてみましょう。 問題 ピタゴラス数の基本的事項…
数オリの過去問から、お手軽な整数問題を一つ。 問題★★ どの桁も素数であるような自然数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると5桁の良い数になるものを全て求めよ。 ヒント、着眼点 ここでの良い数というのはこの問題だけの呼び方であり、別によく知られている数学の概念ではありません。 考える対象は3桁の良い数。それぞれの桁に自由に素数を入れられるとすると、2,3,5,7のどれかを入れることになります。4×4×4=64通り全て計算してみる、なんて解き方は当然人間にはできません。2乗すると5桁の数になる、という点から候補を絞り込むことを考えてみましょう。 以下、解答 // 解答 235 解説 3…
大学の数学というのは分野が非常に細分化されており、その1つを究めるだけで精一杯、という世界です。その中でも筆者が現在関心のある分野である結び目理論について、中学生でも理解できる言葉だけ（たまに外れるかもしれません）で、その面白さを説明してみようと思います。直観的なことをどう数学として定式化するか、どうやって解析の道具を作り、使うか、といった理論の奥深さも知ってもらいたい、という動機からこのシリーズを始めました。 第1回 結び目理論とは何か（本記事） 第2回 不変量（未投稿） 結び目理論とは何か 結び目が違うことを証明する 結び目理論とは何か まずここで言う結び目とはどういうものを指すかを述べま…
中学2年で連立方程式を習い、そこで割合と絡めた問題として、次のような問題がよく出ます。誰もが何度も目にしたことがあるでしょう。 ある学校の昨年の入学者は男女合わせて500人だった。今年は昨年に比べて、男子が3%減り、女子は2%増えたので、入学者は計495人だった。今年の男子と女子の入学者をそれぞれ求めなさい。 今回はこのタイプの問題を「いかに楽して解くか」について考えたいです。全人類この計算量が多くて面倒な問題で時間を無駄にしていると思いますので。 で、この昨年に比べて何%どうなったから今年はどうでした、というタイプの問題は、「今年の人数が聞かれているけど、昨年の男女をx,yと置いて連立方程式…
ここでは、不定期で僕の出会った難しい英文を紹介していきます。 第1回 英文解釈の難問① 第2回 英文解釈の難問② レベル：難関大で差がつく 次の英文を和訳せよ。 In the West, work is looked on not as something innately good but as a miserable labor divinely imposed on people as a punishment for sin, freedom from which can be won only by faithfully following the teaching of God. …
実数の数直線上にどれくらい有理数が存在するかを考えてみます。言い方を変えれば、有理数はどれくらいぎっしりと詰まっているかを調べてみます。 有理数がぎっしりと詰まっていること、大学以降の数学では有理数の稠密性といいますが、今回はこの性質をいくつかの問題を解きながら体感してみましょう。 アルキメデスの性質 整数部分 有理数に隙間はあるか 発展 アルキメデスの性質 アルキメデスの性質とは、実数の持つ性質の1つを指すものです。文献によってはアルキメデスの原則などと呼ばれることもあります。 物理における浮力の性質を指すものにアルキメデスの原理がありますが、これとは別のものです。 アルキメデスの性質任意の…
今年の東大文系から、場合の数の問題です。 問題★★ 8本の直線x=1,x=2,x=3,x=4,y=1,y=2,y=3,y=4がある。これらの直線の16個の交点から5個を選ぶことを考える。 次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りか。 (1) 上の8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 上の8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ヒント、着眼点 問題文の意味、きちんと理解できていますか？ (1) 8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ここに5個の点を選んだ例を3つ…
大学入試で出る積分の問題は、当たり前ですが高校までの知識で求められる積分しか出ません。今回は大学以上の知識で求められる有名な積分を見てみます。また、高校数学の範囲を超えている部分をうまいこと避けて入試問題が作られる場合がありますから、そのような例も確認します。 これで大学入試対策はばっちり(大嘘) 5位：逆三角関数 4位：ガウス積分 3位：ディリクレ積分 2位：フレネル積分 1位：楕円積分 5位：逆三角関数 原始関数が逆三角関数となるような関数を不定積分する問題は出ません。逆三角関数は高校数学では習いませんから。 逆三角関数というのは三角関数の逆関数です。という関係式について、のとき、1つのに…
今回は、ツイッター社のツイートを利用した英文解釈クイズを用意しました。 [問題] 以下のツイートを正しい日本語に訳せ。*drink お酒を飲む Don't drink and Tweet — Twitter (@Twitter) January 11, 2020 [正解] 飲みながらツイートするな！ （別解：お酒を飲んだらツイートするな！） 「お酒を飲んだり、ツイートしたりするな。」と訳した人はいませんか。それは、"not A and B"を「AもBも～ない」と捉えたことによる誤答です。否定語句"not"と接続詞"and"や"or"の組み合わせは、日本語話者の感覚とズレる箇所があり、誤訳のタネ…
前回はなかなか難しい話題でした。今回は前回より少しとっつきやすい話題、フラクタル図形についていくつか見てみます。後で述べますが、有名なシェルピンスキーのギャスケットと呼ばれる図形は"およそ1.58次元の図形"と言うことが出来ます。そんな話について。 シェルピンスキーのギャスケット フラクタル図形の次元 ハウスドルフ次元 有名なフラクタル図形 フラクタル図形の実用 シェルピンスキーのギャスケット シェルピンスキーのギャスケットは次のようにして構成させる図形です。前回と同じく無限に繰り返して出来たものがシェルピンスキーのギャスケットです。無限に繰り返した図は描けないですが、有限回で止めたものを描く…
前回はそこまででしたが、今回はディリクレの関数のように、本当の意味で病的な話になります。 数学における直線の扱いで「太さ、幅をもたない」という特徴がありますよね。この直線を何回も折り曲げたり曲げたりして出来たものが（幅のある）領域を埋め尽くしてしまう、という奇妙な例の紹介です。空間を埋め尽くす曲線はいくつもありますが、最も有名と思われるヒルベルト曲線について見てみます。 ヒルベルト曲線 全ての点を通ることの証明 ヒルベルト曲線 歴史的に最初に正方形の全ての点を通る曲線（折れ線も曲線とします）を考えたのはペアノです。1890年、ペアノはペアノ曲線と呼ばれる曲線を考えました。 翌年、1891年にヒ…
今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。 簡単？な因数分解 不思議な因数分解 円分多項式 簡単？な因数分解 まずは簡単な因数分解から始めましょう。当然、と因数分解されます。 では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で)因数分解してみましょう。 簡単ですかね？答えはこちら。 まだまだ行きます。 答えはこちら。 では、こちらはどうでしょう。 少し難しいですね、こんな風にできます。 ⑥は、がこれ以上因数分解できないことを確認するのが簡単ではありませんが、ここではそこはよしとします。 さて、ここまで様々なを見てきましたが、次の共通点があるように予想できます。 (a) どれ…
前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。 ディリクレの関数 リーマン積分できないことの証明 区分求積法 リーマン積分できない証明 ルベーグ積分 ディリクレの関数の書き換え ディリクレの関数 そもそも、中学で習った関数の定義は、 xの値を定めるとそれに対応したyがただ一つに定まるとき、yはxの関数であるという でしたね。この定義を守っていれば、次のようなものもれっきとした関数なのです。こちらがディリクレの関数と呼ばれるものです。 実数から好きにxを持ってきて、それが有理数か無理数かによって1か0の数字が対応す…
数Ⅱで初めて微分を習い、数Ⅲでより深く微分を習います。高校数学で見る微分可能な関数は、基本的に何回でも微分できます。 しかし、登場しないだけであって、高校数学の範囲内でも、1回微分可能だが2回微分不可能な関数は作れます。一般に、n回微分可能だがn+1回微分不可能な関数が作れます。 今回は数IIIの最初の方で習う単元と深く関係しています。 だいたい何回でも微分できる 導関数、微分可能性(数Ⅱ、Ⅲ) 導関数の定義(数Ⅱ) 関数の連続性(数Ⅲ) 微分可能性(数Ⅲ) 1回しか微分できない関数 ずるい作り方 最初は微分、連続、微分可能という定義の確認から始まります。面倒なら飛ばしてください。 だいたい何…
歴史的に有名な反例をいくつか見てみましょう。 病的な数学① 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関数 病的な数学④ ディリクレの関数 病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式 病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線 病的な数学⑦ シェルピンスキーのギャスケット 素数を作る式 ワイエルシュトラス関数 素数を作る式 素数というのはやはり数学においてとても重要で、大昔からあまたの数学者が素数の現れる法則を解き明かそうとしてきました。（当然、まだ分かっていません） フェルマー数という、数学者フェルマーが考えた次のようなものがあります。 これが全ての0以上の整数nについて、フェルマー数は素数ではないか？とフ…
数学を勉強するにあたり、反例を考えるということは非常に重要です。反例を見ることで、「できること」と「できないこと」、「成り立つ場合」と「成り立たない場合」の境界がよりはっきりし、より深い理解が得られます。 この病的な数学というシリーズで、面白い、ためになる（とは限らない？）反例を紹介していきます。 実は、数学で「病的な」という言葉はしばしば使われます。直感に反するような、一種の気持ち悪さを感じるような例に対してつけられる修飾語として用いられます。 初回は、簡単な例をいくつか見つつ、数学のセンスを磨くためのヒントを探ります。 病的な数学② 歴史的に有名な反例 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関…
2020年4月11日、自粛要請のため日比谷生の皆さんは家庭で勉強されているかと思います。その息抜きになることを願って、この「10958問題」を紹介します。 問題設定 具体例 10958問題 問題設定 1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字をこの順番で1回ずつ使って、さまざまな数を作れ。 ただし、使ってよい記号は+,-,×,÷,( ),^ のみである。 また、23や567のように、つなげて2桁以上の自然数として扱ってもよい。1の直前-を付けて、-1にしてもよい。 ※ 記号「^」は、累乗を表す記号です。a^bでaのb乗を意味します。 具体例 さて、このルールで0から順番に整数を作ってみましょう。…
2020年4月3日、数学の超難問であった「ABC予想」を証明したとされた論文が、8年に及ぶ査読の末、正しいことが認められました。「フェルマーの最終定理」や「ポアンカレ予想」の証明に並ぶ快挙であると言われています。今回はこのABC予想の内容や、何がすごいのか、という話について。 ABC予想とは ABC予想の主張 ABC予想を証明したIUT理論 ABC予想の何がすごいのか フェルマーの最終定理 ABC予想とは 準備① まず、自然数 に対して、 の互いに異なる素因数の積を の根基 (radical)と呼ぶことにし、 と書くことにします。例を見てみます。（ は を表します。これは主に高校以上で使う記法…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 文系-経済学部はこちら 法学とは？ 憲法 民法 商法 民事訴訟法 刑法 刑事訴訟法 法学部に向いている人 中高のうちからこんなことに気を付けて勉強しよう 今回は、一般に「弁護士を目指す人が入る学部」と認識されている法学部の紹介となります。こちらも普段数学記事を書いているkの同級生から紹介コメントをいただきました。 以下、いただいたコメントです。 // はじめまして！東京大学大学院 法学政治学研究科 法曹養成専攻 2年のそらいとです！今回は、法学部についてご紹介します。 法学とは？ 社会のルールである法を学び、…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 経済学部 文系の学部は非常に多種多様です。 ・経済学部・政治学部・法学部・文学部・商学、経営学部・心理学部・社会学部… 今回もこのブログメイン筆者の元同級生、経済学部出身の日比谷卒業生からコメントをいただきました。 経済学部 経済学部について 政治経済などの分類をする大学もありますが、筆者在学中の大学では特に分類がないため、経済学部一般としてのお話をさせていただきます。なお、大学について深い理解があるわけではないので、参考程度に受け取っていただければと思います。 経済学部で学ぶこと 経済学部ではなにを学んでい…
大学を知ろう！理系編 今回は理学部ついて紹介します。 理学部はおもに ・数学科・物理学科・化学科・生物学科 などがあります。大学によって学科の名称が異なったり、これら以外の学科が設置されていることもあります。 今回は、化学科、生物学科に進んだ同級生から各学科のコメントをいただきました。 物理学科のコメントはまだ交渉中です。 数学科 勉強内容 数学科にむいている人 中高生のうちからこんな勉強をして欲しい 化学科 勉強内容 必要な高校内容の知識 化学科に向いている人 中高生のうちからこんな勉強をしてほしい 生物学科 生物学科にむいている人 中高生のうちからこんな勉強をして欲しい 数学科 大学の数学…
今回の記事は数IIBまでの範囲でぎり理解可能な内容です。できれば数IIIまでの知識を要求します。 今回は複雑な式が多く、すいすい読むのは厳しいかと思われます。ぜひ紙とペンを用意して手を動かしながらお楽しみください。 目的は、 が複素数の範囲内でどう解けるか、そもそも複素数における三角関数とは、を高校生で理解できるように書くことです。毎回「しーた」と打って変換するのが面倒なのでθの代わりにzを使います。 目次 三角関数の定義 複素三角関数 cosz=2を解く 複素対数関数の定義 補足 今回登場した関数 高校数学で登場する三角関数sin, cos は、値域は-1以上1以下です。数IIにおける三角関…
新型コロナウイルスによりいつもより早い春休みに突入した皆様、いかがお過ごしでしょうか。今日はそんな暇な日比谷生やこれから日比谷高校を目指す方へ、大学の勉強はどのようなものかを紹介するシリーズを発信します。この機会に、自分の大学受験、進路について考えてみてはいかがでしょうか。このシリーズが皆さまの進路決めの一助になることを願っています。 もしあなたは理系なら ・理学 ・工学 ・農学部 ・医学部、薬学部、歯学部 ・教育学部 もしあなたは理系なら 理系と一口に言っても、その中身は多種多様です。もし理系の大学生になると決意したならば、たいてい以下の5つの学部のどれかを目指すことになります。 ・理学部・…
前回 【数学小話】３：４：５の直角三角形の鋭角は何度？ 今回は高校生向けです。春休みに早く突入して暇を持て余す高校生は、ぜひ式を一つ一つ追いながらチャレンジしてみてください。 前回は３：４：５の直角三角形の鋭角が(無理数)度であることを示しました。方針としては、(有理数)度であると仮定して背理法で示しました。その証明はおおまかに以下の通りです。 このように鋭角をθと置きます。「θが(有理数)度」=「θは(有理数)×πラジアン」であることから、と書けたと仮定します。すると、となるはずです。qπは(整数)×πなので、cosが±1になるわけです。しかし、cosθ=3/5にcosの加法定理を繰り返し用…
実数の数直線上にどれくらい有理数が存在するかを考えてみます。言い方を変えれば、有理数はどれくらいぎっしりと詰まっているかを調べてみます。 有理数がぎっしりと詰まっていること、大学以降の数学では有理数の稠密性といいますが、今回はこの性質をいくつかの問題を解きながら体感してみましょう。 アルキメデスの性質 整数部分 有理数に隙間はあるか 発展 アルキメデスの性質 アルキメデスの性質とは、実数の持つ性質の1つを指すものです。文献によってはアルキメデスの原則などと呼ばれることもあります。 物理における浮力の性質を指すものにアルキメデスの原理がありますが、これとは別のものです。 アルキメデスの性質任意の…
今年の東大文系から、場合の数の問題です。 問題★★ 8本の直線x=1,x=2,x=3,x=4,y=1,y=2,y=3,y=4がある。これらの直線の16個の交点から5個を選ぶことを考える。 次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りか。 (1) 上の8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 上の8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ヒント、着眼点 問題文の意味、きちんと理解できていますか？ (1) 8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ここに5個の点を選んだ例を3つ…
大学入試で出る積分の問題は、当たり前ですが高校までの知識で求められる積分しか出ません。今回は大学以上の知識で求められる有名な積分を見てみます。また、高校数学の範囲を超えている部分をうまいこと避けて入試問題が作られる場合がありますから、そのような例も確認します。 これで大学入試対策はばっちり(大嘘) 5位：逆三角関数 4位：ガウス積分 3位：ディリクレ積分 2位：フレネル積分 1位：楕円積分 5位：逆三角関数 原始関数が逆三角関数となるような関数を不定積分する問題は出ません。逆三角関数は高校数学では習いませんから。 逆三角関数というのは三角関数の逆関数です。という関係式について、のとき、1つのに…
今回は、ツイッター社のツイートを利用した英文解釈クイズを用意しました。 [問題] 以下のツイートを正しい日本語に訳せ。*drink お酒を飲む Don't drink and Tweet — Twitter (@Twitter) January 11, 2020 [正解] 飲みながらツイートするな！ （別解：お酒を飲んだらツイートするな！） 「お酒を飲んだり、ツイートしたりするな。」と訳した人はいませんか。それは、"not A and B"を「AもBも～ない」と捉えたことによる誤答です。否定語句"not"と接続詞"and"や"or"の組み合わせは、日本語話者の感覚とズレる箇所があり、誤訳のタネ…
前回はなかなか難しい話題でした。今回は前回より少しとっつきやすい話題、フラクタル図形についていくつか見てみます。後で述べますが、有名なシェルピンスキーのギャスケットと呼ばれる図形は"およそ1.58次元の図形"と言うことが出来ます。そんな話について。 シェルピンスキーのギャスケット フラクタル図形の次元 ハウスドルフ次元 有名なフラクタル図形 フラクタル図形の実用 シェルピンスキーのギャスケット シェルピンスキーのギャスケットは次のようにして構成させる図形です。前回と同じく無限に繰り返して出来たものがシェルピンスキーのギャスケットです。無限に繰り返した図は描けないですが、有限回で止めたものを描く…
前回はそこまででしたが、今回はディリクレの関数のように、本当の意味で病的な話になります。 数学における直線の扱いで「太さ、幅をもたない」という特徴がありますよね。この直線を何回も折り曲げたり曲げたりして出来たものが（幅のある）領域を埋め尽くしてしまう、という奇妙な例の紹介です。空間を埋め尽くす曲線はいくつもありますが、最も有名と思われるヒルベルト曲線について見てみます。 ヒルベルト曲線 全ての点を通ることの証明 ヒルベルト曲線 歴史的に最初に正方形の全ての点を通る曲線（折れ線も曲線とします）を考えたのはペアノです。1890年、ペアノはペアノ曲線と呼ばれる曲線を考えました。 翌年、1891年にヒ…
今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。 簡単？な因数分解 不思議な因数分解 円分多項式 簡単？な因数分解 まずは簡単な因数分解から始めましょう。当然、と因数分解されます。 では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で)因数分解してみましょう。 簡単ですかね？答えはこちら。 まだまだ行きます。 答えはこちら。 では、こちらはどうでしょう。 少し難しいですね、こんな風にできます。 ⑥は、がこれ以上因数分解できないことを確認するのが簡単ではありませんが、ここではそこはよしとします。 さて、ここまで様々なを見てきましたが、次の共通点があるように予想できます。 (a) どれ…
前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。 ディリクレの関数 リーマン積分できないことの証明 区分求積法 リーマン積分できない証明 ルベーグ積分 ディリクレの関数の書き換え ディリクレの関数 そもそも、中学で習った関数の定義は、 xの値を定めるとそれに対応したyがただ一つに定まるとき、yはxの関数であるという でしたね。この定義を守っていれば、次のようなものもれっきとした関数なのです。こちらがディリクレの関数と呼ばれるものです。 実数から好きにxを持ってきて、それが有理数か無理数かによって1か0の数字が対応す…
数Ⅱで初めて微分を習い、数Ⅲでより深く微分を習います。高校数学で見る微分可能な関数は、基本的に何回でも微分できます。 しかし、登場しないだけであって、高校数学の範囲内でも、1回微分可能だが2回微分不可能な関数は作れます。一般に、n回微分可能だがn+1回微分不可能な関数が作れます。 今回は数IIIの最初の方で習う単元と深く関係しています。 だいたい何回でも微分できる 導関数、微分可能性(数Ⅱ、Ⅲ) 導関数の定義(数Ⅱ) 関数の連続性(数Ⅲ) 微分可能性(数Ⅲ) 1回しか微分できない関数 ずるい作り方 最初は微分、連続、微分可能という定義の確認から始まります。面倒なら飛ばしてください。 だいたい何…
歴史的に有名な反例をいくつか見てみましょう。 病的な数学① 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関数 病的な数学④ ディリクレの関数 病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式 病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線 病的な数学⑦ シェルピンスキーのギャスケット 素数を作る式 ワイエルシュトラス関数 素数を作る式 素数というのはやはり数学においてとても重要で、大昔からあまたの数学者が素数の現れる法則を解き明かそうとしてきました。（当然、まだ分かっていません） フェルマー数という、数学者フェルマーが考えた次のようなものがあります。 これが全ての0以上の整数nについて、フェルマー数は素数ではないか？とフ…
数学を勉強するにあたり、反例を考えるということは非常に重要です。反例を見ることで、「できること」と「できないこと」、「成り立つ場合」と「成り立たない場合」の境界がよりはっきりし、より深い理解が得られます。 この病的な数学というシリーズで、面白い、ためになる（とは限らない？）反例を紹介していきます。 実は、数学で「病的な」という言葉はしばしば使われます。直感に反するような、一種の気持ち悪さを感じるような例に対してつけられる修飾語として用いられます。 初回は、簡単な例をいくつか見つつ、数学のセンスを磨くためのヒントを探ります。 病的な数学② 歴史的に有名な反例 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関…
2020年4月11日、自粛要請のため日比谷生の皆さんは家庭で勉強されているかと思います。その息抜きになることを願って、この「10958問題」を紹介します。 問題設定 具体例 10958問題 問題設定 1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字をこの順番で1回ずつ使って、さまざまな数を作れ。 ただし、使ってよい記号は+,-,×,÷,( ),^ のみである。 また、23や567のように、つなげて2桁以上の自然数として扱ってもよい。1の直前-を付けて、-1にしてもよい。 ※ 記号「^」は、累乗を表す記号です。a^bでaのb乗を意味します。 具体例 さて、このルールで0から順番に整数を作ってみましょう。…
2020年4月3日、数学の超難問であった「ABC予想」を証明したとされた論文が、8年に及ぶ査読の末、正しいことが認められました。「フェルマーの最終定理」や「ポアンカレ予想」の証明に並ぶ快挙であると言われています。今回はこのABC予想の内容や、何がすごいのか、という話について。 ABC予想とは ABC予想の主張 ABC予想を証明したIUT理論 ABC予想の何がすごいのか フェルマーの最終定理 ABC予想とは 準備① まず、自然数 に対して、 の互いに異なる素因数の積を の根基 (radical)と呼ぶことにし、 と書くことにします。例を見てみます。（ は を表します。これは主に高校以上で使う記法…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 文系-経済学部はこちら 法学とは？ 憲法 民法 商法 民事訴訟法 刑法 刑事訴訟法 法学部に向いている人 中高のうちからこんなことに気を付けて勉強しよう 今回は、一般に「弁護士を目指す人が入る学部」と認識されている法学部の紹介となります。こちらも普段数学記事を書いているkの同級生から紹介コメントをいただきました。 以下、いただいたコメントです。 // はじめまして！東京大学大学院 法学政治学研究科 法曹養成専攻 2年のそらいとです！今回は、法学部についてご紹介します。 法学とは？ 社会のルールである法を学び、…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 経済学部 文系の学部は非常に多種多様です。 ・経済学部・政治学部・法学部・文学部・商学、経営学部・心理学部・社会学部… 今回もこのブログメイン筆者の元同級生、経済学部出身の日比谷卒業生からコメントをいただきました。 経済学部 経済学部について 政治経済などの分類をする大学もありますが、筆者在学中の大学では特に分類がないため、経済学部一般としてのお話をさせていただきます。なお、大学について深い理解があるわけではないので、参考程度に受け取っていただければと思います。 経済学部で学ぶこと 経済学部ではなにを学んでい…
大学を知ろう！理系編 今回は理学部ついて紹介します。 理学部はおもに ・数学科・物理学科・化学科・生物学科 などがあります。大学によって学科の名称が異なったり、これら以外の学科が設置されていることもあります。 今回は、化学科、生物学科に進んだ同級生から各学科のコメントをいただきました。 物理学科のコメントはまだ交渉中です。 数学科 勉強内容 数学科にむいている人 中高生のうちからこんな勉強をして欲しい 化学科 勉強内容 必要な高校内容の知識 化学科に向いている人 中高生のうちからこんな勉強をしてほしい 生物学科 生物学科にむいている人 中高生のうちからこんな勉強をして欲しい 数学科 大学の数学…
今回の記事は数IIBまでの範囲でぎり理解可能な内容です。できれば数IIIまでの知識を要求します。 今回は複雑な式が多く、すいすい読むのは厳しいかと思われます。ぜひ紙とペンを用意して手を動かしながらお楽しみください。 目的は、 が複素数の範囲内でどう解けるか、そもそも複素数における三角関数とは、を高校生で理解できるように書くことです。毎回「しーた」と打って変換するのが面倒なのでθの代わりにzを使います。 目次 三角関数の定義 複素三角関数 cosz=2を解く 複素対数関数の定義 補足 今回登場した関数 高校数学で登場する三角関数sin, cos は、値域は-1以上1以下です。数IIにおける三角関…
新型コロナウイルスによりいつもより早い春休みに突入した皆様、いかがお過ごしでしょうか。今日はそんな暇な日比谷生やこれから日比谷高校を目指す方へ、大学の勉強はどのようなものかを紹介するシリーズを発信します。この機会に、自分の大学受験、進路について考えてみてはいかがでしょうか。このシリーズが皆さまの進路決めの一助になることを願っています。 もしあなたは理系なら ・理学 ・工学 ・農学部 ・医学部、薬学部、歯学部 ・教育学部 もしあなたは理系なら 理系と一口に言っても、その中身は多種多様です。もし理系の大学生になると決意したならば、たいてい以下の5つの学部のどれかを目指すことになります。 ・理学部・…
前回 【数学小話】３：４：５の直角三角形の鋭角は何度？ 今回は高校生向けです。春休みに早く突入して暇を持て余す高校生は、ぜひ式を一つ一つ追いながらチャレンジしてみてください。 前回は３：４：５の直角三角形の鋭角が(無理数)度であることを示しました。方針としては、(有理数)度であると仮定して背理法で示しました。その証明はおおまかに以下の通りです。 このように鋭角をθと置きます。「θが(有理数)度」=「θは(有理数)×πラジアン」であることから、と書けたと仮定します。すると、となるはずです。qπは(整数)×πなので、cosが±1になるわけです。しかし、cosθ=3/5にcosの加法定理を繰り返し用…
2次方程式の解の公式はこんな形をしていました。 これを習い、そして2次方程式を解く計算問題をたくさん解いた当時、「二次方程式が と表される数を解に持つとき、かならず も解にもつのか？」と疑問に思いました。実際、この予想は正しいです。今回はその証明と、さらに進んで、方程式が複素数 を解に持つとき、それと共役な複素数 も解であるということなども見ていきます。 に対して のことを共役無理数、 に対して のことを共役複素数、などと言います。 注：この記事では、方程式と言えば、という形をしたもの、つまり「n次方程式」を指します。などといった方程式は考えません。 目次 具体例 係数が有理数ならOK 定理１…
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