春蘭

散歩していたら春蘭が咲いていた。 少し前まで雑木林に普通に自生して見られた春蘭は地味だがよく見ると気品のあるところが (過去の) 日本人の感性にあうのか昔から愛されており、自生しているものを掘って庭に植えたり、鉢植えにして楽しんだという記述も少し前のものを読んでいるとよく見かける。 明治天皇も行幸の折に自ら見つけた春蘭を杖で掘って持ち帰り鉢植えにさせたという記録が残っている。 葉に麩が入ったり、花の色が変わっている個体変異は、明治期から昭和にかけて各地の里山で発見されて栽培、珍重され、「日本春蘭」として現在でも愛好している人がいる。

瞳をとじて

最近、映画健忘症にかかった感のある自分は遅まきながらこの映画を見て、まるで登場人物のフリオがしただろう体験をしたのだった。やはり映画館こそ失われた記憶を取り戻すのに一番適した環境なのかもしれない。 少なくともこの作品の登場人物たちはそのことを些かも疑っていないように振る舞っていることは感動的である。この映画を見る前から前兆のように、『ミツバチのささやき』の最後でアナ・トレントが窓を開いて「私はアナ。私はアナ」と呟やいてあの印象的な瞳をとじると、それまでにない大人の女性のような表情を見せるところにまいったことを思いだした。瞳をとじること。ロベルト・ロッセリーニの『ドイツ零年』の少年は自分の見た現…

大阪大学入試問題 (2024 年, 数学)

すでに話題になっているようだが, 大阪大学の 2024 年数学の文理共通問題に立体幾何の証明問題が出題されている. これは面白そうだと思ってやってみた. 制限時間もあるので, どこまで詳しく証明を書けばよいのかわからないが, 立体幾何のよく知られた基本命題は (すでに以前の記事で証明済みなので) ここでは証明なしに使った.【問】 【解】 まず, 存在証明をする. 存在証明は実際に存在する具体例をひとつでもあげればよい. どうやって直線 と直線 の共通垂線を作図できるか考えるのが一番簡明だと思う.直線 を含み, 直線 に平行な平面 を作ることができる. (なぜかというと, 直線 の任意の点から,…

駅馬車の広告

戦前 (1940 年) の映画雑誌の広告を見ていたら『駅馬車』の広告に小津安二郎 (旧字だから, 小津安二郞である) と溝口健二のコメントがある。これが淀川長治さんが当時在籍していた日本ユナイテッド・アーチスツで作った宣伝なのか。

プリズム

神奈川県公立高校入試, 理科の問題は最初にプリズムの問題だった.プリズムに関しては, 下の図からわかるようにという関係がある. はもちろん定数で, 「三角柱」 が「正三角柱」なら である.高校入試では定番の太陽光発電パネルの問題も出ていたが, これも発電効率がもっとも高くなるとき,(パネルの角度)＋ (太陽高度) = 90°が把握できていれば簡単な問題であろう.

神奈川公立高校入試 2024 数学から

例年より小問がひとつ減った.【解】 (ア) 同じような問題を中 1 の定期テスト対策でやったばかりである. 直線と平面の垂直を理解していることと, ピタゴラス (三平方) の定理の基本問題である. 暗算できるだろう. 答えは 2 番.(イ) 展開図を描き直すときにわからなくなるむきは「有向角」を使うと考えやすい.ピタゴラスの定理から,である. (高校の余弦定理を使わないで) の長さを求めるために補助線を引く(, ).だから, から, したがって, //

上野昂志さん

前の記事で白土三平の『忍者武芸帳』のことを書いた後、偶然にも上野昂志さんが 2020 年に書いた『「読解力」を巡る一考察』なる文章をネットで見つけて、それを読んでいたら『忍者武芸帳』 のことが出てきた。上野さんの文章は中公新書の『教養主義の没落』 (竹内洋) をひきながら, 学生における読書の歴史的変遷を辿ってみようというもので、なかなか面白かった。一部だけあげておく。 なお、上野さんは別のところで「単行本漫画一冊がせいぜい三万円で、しかも二冊描いて売れなければ即座にクビという劣悪な条件の下で、「命がけ」で食うために描くという行為は、諸々の意識の問題に向うよりも、まずは直接的に肉体の苦痛にぶつ…

数列の問題

小さいときに見たテレビ番組を大人になって再び見て郷愁を感じることはあっても, 作品として面白いと思うことはない. しかし, 白土三平『サスケ』のテレビアニメーションは唯一の例外である. これとても傑作というほどではないが, 1960 年代の子供向けテレビとは思えないものに仕上がっていて, いま見てもじゅうぶん鑑賞に耐えるのが不思議である. もっとも, 白土三平であれば『忍者武芸帳』のような漫画の方がはるかに面白い.横浜国大, 理系の 2017 年の数列の問題を解いてみたのであげておく.【解】 (1) (2) が自然数であることを帰納法によって証明する. のとき, より成立. のとき, が自然数…

クロモジ

部屋の加湿を忘れて寝てしまい、翌朝喉の調子が良くなかったので、普段は舐めることなどない飴でも試してみようと思いたち、近所のドラッグストアを物色していたら、「クロモジ」という名前が向こうから勝手にやってきて目に入ったので、迷うことなく「養命酒製造」と赤字でデカデカと書かれたその袋を購入した。幸田文は『木』の中で、 草木に心をよせることについて、「心をよせるなど、そんなしっかりしたことでない。毎日の暮らしに織り込まれて見聞きする草木のことで、ただちっとばかり気持がうるむという、そんな程度の思いなのである」と適切に書いているが、 「クロモジ」 という文字を目にした瞬間、そういえば、クロモジのあの黄色…

2024 年共通テストから

2024 年の数 IIB の数列の問題は小問の (1), (2) はともかく, (3) の最後の小問 (iv) だけはちょっと面白い. 存在命題だから, 実際に命題を真にする数列 がひとつでも存在すればよい. また存在命題を証明するには命題を真にする具体例をひとつあげればよい (具体例をどうやって見つけたかなどの理由を書く必要はない. また具体例が見つけられない場合は背理法などによって証明することもある). (I) の命題が真だと仮定すると命題 A と矛盾するので偽. (II) は第 1 項から第 100 項まで, であるような数列 が存在するので真. (III) も第 1 項から第 99 項…

PIE

包除原理 を使う入試問題を探していたら, 2023 年の東大の文理共通問題があったのでやってみる. この問題の問 (2) まで解くつもりなら, 問 (1) を (2) につながるようにどう解くかということが大事になる. もちろん問 (2) を捨てる場合にはこの限りではなく, 普通に解けばよい. 黒玉は 個しかないので で極端に複雑にならずいけるだろうという予想は立てられる.【問】 (1) (2) につなげるために, この問は重複組合せを使って (2) を解くための構想を確認しながら解く. まず赤玉 個を最初に並べる.ここで, 赤玉が隣り合わないためには, を満たす必要がある. と可逆な変数変換…

共通テストから (3)

「モンモール (Montmort) のめぐりあいの問題」, もっと一般的には「包除原理 (The Principle of Inclusion and Exclusion; PIE)」——高校でも簡単な場合を習うが, シルヴェスター (Sylvester) は形式論理の定理として証明した*1 ——の応用なのだが, ここでは誘導に忠実に解くことにする. 人で交換会が終了する場合の数を とおく. また 人で交換会が一回で終了する確率 は,で与えられる., は明らか. (1)(i) (1)(ii) (1)(iii) 求める確率を とすると, (2) (3) (4) が自分のプレゼントを受け取るのは,…

共通テストから(2)

数 1A の共通テスト問題 (2022 年) の整数解の問題は, 素直に誘導に乗る場合の解を記載していなかったので, ここに一応あげておく.1) を用いると, から, の正の整数の最小値は, . このとき,また, の 桁の正の整数の最小値は, . このとき,(2) (1) から, だから,つまり, //(3) から,(2) の結果 から, であるが, と は互いに素であることより,つまり,である. が 桁の正の整数で最小なのは,このとき,(4) を用いて, (2) の考察と同様にして,だから, と は互いに素であることより, の正の整数の最小値は, . このとき,

共通テストから

数 1A の共通テスト問題 (2022 年) は整数解の問題はやった記憶はあるが, 他の問題もやったので一部をあげておく.(1) , のとき , , のとき (2) , とおき, , のただひとつの共通実解を とするならば, を満たす. のとき, となり, 重解も持たないので はただ一つの共通実解ではない. したがって であり, これから, を必要条件としてよい. 共通実解が のとき, から, となる. 解と係数の関係により, の他解は , の他解は であり, となる.次に が重解を持つ場合は,から, で, は異なる 実解を持ち, 共通実解を持たないので, となる. // (3) つまり,した…

飯沢匡

最近、飯沢匡の文章を読んでいて、「ヤンボウ・ニンボウ・トンボウ」の作詞と「ブー・フー・ウー」の作詞はともに飯沢匡ということにいまさらながら気がついた。 ※ 飯沢匡の『武器としての笑い』によると、この頃は児童劇というものは児童がやるとういう考え方が圧倒的に強く、「ヤン坊」「ニン坊」「トン坊」 の声を担当した里見京子、横山道代、黒柳徹子の名前は一年間公表されなかったとある。また同書には不良少女的カラスの「トマトさん」を登場させたことがこの作品の成功の大きな要因であったとあり、そのカラスを新村礼子が熱演したとある。なお、飯沢匡にはウォルター・デ・ラ・メアの “The Three Royal Monk…

集合の内包的表記

自分が高校生だった頃になく, 今はあることで羨ましいと思う数少ない数学の参考書は, 長岡亮介著『総合的研究 論理学で学ぶ数学――思考ツールとしてのロジック』 (2017) であるが, その後書きにこんなことが書いてある.蛇足に過ぎないんだが, 集合を表わすのに, 「外延的記法」「内包的記法」といいながら , 実際には, 「パラメータ記法 」 (?) のような省略的便法としての集合の表わしかたが普通に行われていることも理由としてあるのではなかろうか. 内包的記法で書くとは, 要素がその集合に入ることを許される条件を書くことである. それは (普遍集合が定まっている場合) 述語 = 命題関数を真に…

全称命題と存在命題

全称命題と存在命題の扱いに慣れるために, 以前解いた問題を見直してみる. ※ 2 つ前の記事 「便利な(?) 論理演算」からの続きである.【問】 は定数とする. つの不等式, を同時に満たす整数 が存在し, かつそれが自然数のみになるとき, の値の範囲を求めよ.【解】 与えられた二つの不等式を整理して, 問題の条件から,(最後の上の式) (下の式) したがって, //【問】 と は同値であることを証明せよ.【解】 () となるように を取れば成立する (稠密性より, このような はとれる).() //※

涙腺が緩む

読んでいるのに、まるでホークスのスクリューボールの一場面を見ているかのような味わい。自筆の年譜の昭和二十七年 (十六歳) のところに、「(注: ジェラール・フィリップと) 同じエレベーターに、東和商事社長とその令嬢が乗っていて、胸もとに『陽気なドンカミロ』の翻訳をかかえる令嬢の横顔に強く惹かれる」とあるのを思い出し、ジュリアン・デュヴィヴィエの『陽気なドンカミロ』 (1952) は、日本公開が昭和二十九年で配給は東和だったんだと余計なことまで調べてしまった。※ 『映画に目が眩んで 口語篇』 によれば、戦後第一回のフランス映画祭の初日のことで、上映されたのはルネ・クレールの『夜ごとの美女』 (1…

便利な (?) 論理演算

自分だけそう思っているにすぎないかも知れないけれど, 便利だと思っている論理演算について書いてみる. なお, ここでは恒真命題は , 恒偽命題は で表わすことにする.まず, 単項命題 , の書き換えとして,便利だと思っているのは, 前件で連言になっている命題を否定して, 後件に移動して選言として加えても, その逆の操作を行なっても同値だというものである. つまり,以上二つをまとめて, 公式化しておくと,となる. 一応, 証明しておくと,たとえば, の間接証明には次のやり方があることがわかる. これは対偶による証明に他ならない. 他にも, が考えられる. 背理法とは, 上の つ全部を指すのか, …

場合分け

ここでは, 線型代数の知識を用いることなしに, 直線 が平行となる条件を求めてみる.上の つの方程式が直線を表わす条件は,※ 中括弧 は 「かつ」を意味する.ここで,だから, 次のように場合分けすると, すべての場合を排他的に場合分けできる.※ 縦線 は 「または」を意味する.A) のとき: について解いて, である.B) のとき:このとき, となる. は, となって, 軸に平行である. は, となり, 軸に平行とはならない.したがって, この場合, ※ とすると, だから, したがって,となる. をいちいち書くのは煩わしいので, 大前提として省略しているのである.//これから, C) の場合…