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以下のキーワードで検索すると、このブログの記事が上位に出てくるようです。「ドロレス・デル・リオ」「突貫勘太」「猿飛勘太」「画角にまつわる話」「周セン」「わかりやすい話」「新橋喜代三」「ニューヨーク23番通りで何が起こったか」「ドリーの冒険」「ヘレン・モーガン」等。なお、「わかりやすい話」は、「わかりにくさ」を「わかりやすさ」によって顕揚しようとする馬鹿げた記事です。

ブログタイトル
ノリの悪い日記
ブログURL
http://port-k.com
ブログ紹介文
古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。
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178回 / 365日(平均3.4回/週)

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ノリさんの新着記事

1件〜30件

  • 陥没地帯 (229)

    積分計算で, 三角関数の積を和に変えることが必要になることがあるが, 三角関数の積和公式は覚える必要はないし, 必要でもないので, 導出するだけ時間の無駄である.前回の記事で双曲線関数がそうであったように, と は同値なのだから, 後は加法定理を知っていればすぐに計算できる. ちなみに, この形は関数を偶関数と奇関数のパートに分割するときや, 対称式と交代式に分けるときなどにもでてきたりする.もちろん, 順番が入れ替わっていても,となって, 両者の結果は変わらない. 以下に例をいくつかあげる. 和積公式に至っては, さらに必要ない. たとえば,を積の形にしたかったら, 足して , 引いて とな…

  • 陥没地帯 (228)

    双曲線関数 , は, オイラーの公式と似ている,で定義された関数である. は,で定義される.である. これから,もすぐにわかる. 後は双曲線関数の加法定理,で, の符号が三角関数と違うことだけ覚えておけばよい. その他の公式は, 三角関数同様, すべてこれらから導ける.微分は実際に計算すれば,となる, 双曲線関数が全単射となるよう, とすれば, 逆関数 , , を定めることができる.逆関数 の微分を求めておくと, として, に注意して, したがって,となる. から, となり, から,となる. したがって,なので,という, 自然に憶えてしまう積分結果となる. さらに, から,なので,となる.次に…

  • 陥没地帯 (227)

    逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.求める逆関数の積分をとする. で置換積分することを考える. すると, だから,であり, したがって,となる. これを部分積分すると,となる.であり, さらに, を原始関数 で表わすことにすると,を得る.たとえば, () を考えると, で, 逆関数は, なので,となる. 前の記事の最後の例では, を求めておいて,となる. の部分は, 図形をイメージすればすぐにわかる. //

  • 陥没地帯 (226)

    他のやり方はあるが, 根号の中が, の 次の分数式なので, とおいて解く (積分範囲は, から までに変わる). から, で置換して, したがって,

  • 陥没地帯 (225)

    三角関数の有理式を積分する場合に, とおくのは有名だが, 計算がやや煩雑になるなので最後の手段で使うべきである. 前の記事 でもそうだったが, まず置換積分ができないか検討するのは, よい方略だと思う.たとえば, 不定積分,のような場合,だから, となって,と, と置く前にあっけなく解けてしまった. この定積分は, 「特殊な定積分」として, と置けと教わるが, 不定積分でもそんなにコストをかけずに解けることがわかった.これが,だと, と置いてもよいかなという気になる (置かなくても解けるが).だから,となる. 直角三角形で斜辺が , 他の辺が , の長さをイメージして, である. したがって,…

  • 陥没地帯 (224)

    下の図で, 平面 と直線 は垂直であるということをベクトルや座標を使わずに, 証明してみる. つの異なる平面が異なる 点を共有していれば, その つの平面は, その 点を通る直線を交線として含む. いま点 と を考え, その つの点を共に含む平面の中に, と がある. 感覚として受け入れることができようができまいが, 線分 はこの つの平面の交線である.直線が平面と垂直であることを証明するには, その直線が平面に含まれる つの直線と垂直であることを示せばよい. 線分 と は, 正方形の対角線同士だから, 直交している. と は垂直である. なぜなら, は, と にそれぞれ垂直なので, は平面 …

  • 陥没地帯 (223)

    東京都立高校 2017 年入試問題から. 簡単な問題だけれども, 立体の問題をきちんと説明するのは難しい.問 を含む切断面を求めるために, を通る の平行線 をひくと, は, 平面 上にある. 理由は前にも述べたように, と平行線を含む平面は, を含むが, と を含む平面はただ一つだからである. さらに, は平面 と平行である. なぜなら, 平面 と平面 の共有点はすべて直線 上に存在するが, は に平行で平面 と共有点を持たないからである.直線 と 上にはない点 は, 平面をただ一つ決定するが, その平面と平面 の交線 は, 直線 と平行である. なぜなら と平面 は平行で と は, 同一平…

  • 陥没地帯 (222)

    最近, 長々と数 の積分計算のやり方を教えていたのだが, せいぜい つぐらい計算すれば, 高校数学範囲内で必要な積分の計算の仕方が全部説明できるような例題セットはないのかなあと感じた.そう思っていたら, ネット動画に次の積分を紹介している人がいて, これは, その例題セットの 題に入れてもよいと思った. 後は, 角関数の次数下げや置換積分と, 部分積分のよい例題がいくつかあれば, それで充分な気がする.まず, と因数分解して, 部分分数の係数を求める.ここで, は実数である. 両辺に をかけて を代入して, まず を得る. 次に を代入して, を得る. 最後に を代入して, となる. したがっ…

  • 陥没地帯 (221)

    の因数分解をするのに, 平方完成すればよいという解説があって, それはその通りだなあと思ったんだけど, 別解として, いわゆる「とってがけ」の逆をやる方法があるんではないだろうかと思った. は で割れるから, つの数の最大公約数は である.元の式の因数分解をするかわりに,として, 両辺を で割ると,したがって, もとの式は, 定数項に をかけて,である. //※ 巷で「とってがけ」とか言われているのは, たとえば, を「たすきがけ」で因数分解するかわりに,を求めておいて,とするやり方のことを言う.

  • 陥没地帯 (220)

    例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.【問】 図のように三角柱 があり, , , である. 直線 の延長上に, となる点 をとる. 線分 の中点を とし, 線分 と平面 の交点を とする. このとき, 線分 の長さを求めよ.【解】線分 を含んでいる, 直線 と 上にはない点 で決まる平面 を考える. を通る に平行な直線は, 平面 に含まれている. この平行線は, 平面 と 点 で交わるので, 点 は平面 と平面 の共有点である. また点 も平面 と平面 の共有点である. したがって, は 直線 上にある. は, 上にもあるのだから, は と の交点である. は直角三…

  • 陥没地帯 (219)

    前の記事の関連で, 以下のような 点を含む平面 (もちろん平面はただ一つに決まる) による立方体の切断面を決定する手順を考えてみる.まず, 点を結ぶしかない.一番手前の赤丸が存在している (立方体の) 稜線 ともう一方の底面に存在している赤丸を含む平面 は, 先程二つの赤丸を結んだ直線を含む (なぜなら, 平面上の任意の 点を結んだ直線をすべて含むのが平面だから). また, 平面 は, 稜線 に平行で, かつ底面の赤丸を通る平行線も含む. なぜなら, 平行線はねじれと違って, 同一面上にある共有点をもたない直線同士でしか定義できないし, 稜線と赤丸を含む平面はただ一つしかないからである.そうす…

  • 陥没地帯 (218)

    斜軸回転体の体積を求める有名問題だが, 計算したことがないので, 計算してみる. 立方体の切断面は中学受験から大学受験まで大活躍である.【問】座標空間内で, , , , , , , , を頂点にもつ立方体を考える. この立方体を対角線 を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ.【解】 対角線 上の点を () とする, を含み, と直交する平面は,で与えられる. が を出発し, 直交面が 点 , , を含むまで ( のとき) は, 直交面は, 線分 , , と交り, 切り口は正三角形となる.この間 () の回転体は円錐であり, のとき,で, だから円錐の体積は,となる, 次に直交面が点 …

  • 陥没地帯 (217)

    これって, 思わず無駄な計算をしそうになる.【問】 次方程式 の つの解がともに正の整数となるような の値をすべて求めよ. 更に, その の値のそれぞれに対する方程式 の解を求めよ.[解] つの整数解を , ( とする) とおくと, 解と係数の関係から,したがって,となるが, 少し変形すればとなる. だから,, , である. したがって,, , となり, の値は, から, それぞれ, , , である.//

  • 陥没地帯 (216)

    これも余事象を使って解いた方が手っ取り早い.【問】 の 次方程式が, の範囲にただ つの実数解をもつ条件を求めよ.【解】 まず, 少なくとも つの実数解をもつ条件を求める.判別式,から, , が得られる.とおいて, 解をもたない かつ の余事象 または を求めると, または だから, 合併は, 実数全体である. 実数解をもつ条件との共通部分は,, となる. ここから, 軸が範囲内にないとき, ( つの) 実数解を範囲内にもたない場合を除けばよい. で の場合このような場合は存在しないことがすぐにわかる. で の場合このような場合も存在しないことがすぐにわかる.以上から, 範囲内に少なくとも一つ…

  • 陥没地帯 (215)

    参考書の解答が嫌なので……【問】 放物線 上に 点 , をとる. が の範囲を動くとき, 線分 が通過する領域を図示せよ.【解】 線分 上の点を とすると, は, 直線 上にあることから,で, 凸性から, をみたす. , すなわち, のとき, は, で最大値をとり, このとき, , すなわち, のとき, は, で最大値をとり, このとき, , すなわち, のとき, は, で最大値をとり, このとき, 以上から求める領域は, 下図のようになる. ただし, 境界を含む. //

  • 陥没地帯 (214)

    フォイエルバッハの定理の反転法による証明. この証明を理解するための必要な準備は, いままでの記事で終わっている. 特に以下の証明では, 記事 でやった反転と調和点列の関係を使うので, もう一度あげておく., , , を調和点列とし, を の中点とするとき, が成立する. フォイエルバッハの定理は, 以下のようなものである. 三角形の九点円は, 内接円と ( つの) 傍接円に接する.反転法を使うと, 九点円が, 内接円と傍接円に接することが一度に証明できる.三角形の傍心は, 三角形のひとつの内角の 等分線と つの外角の 等分線の共点なので, 上図で, , (内心), (傍心) は同一直線上にあ…

  • 陥没地帯 (213)

    Overleaf を使わせてもらって, テキストを作るのに忙しかったのでブログは暫くお休みしていた.記事 (188) を書いてから, その後を書いていなかった. 記事 (188) では以下の証明まで終わっている. の内心を とする. また の外接円の半径を , 内接円の半径を とする. の延長が, 外接円の周と交わる点を とすれば, である.これからただちに, 外心を とすれば, 方べきの定理から,となって, いわゆるオイラー・チャップルの定理が得られる. ポンスレの閉形定理は以下のようになる.2 円 , があるとき, 円 に内接し, 円 に外接する三角形が 1 つあれば, このような三角形は…

  • 陥没地帯 (212)

    前回の記事でオイラー線に触れたので九点円の証明もやっておく。前回の結果から、 の各辺の中点を結んだ は、重心 を中心に相似比 で と相似の位置にある。 の外接円の半径を とすれば、 の外接円の半径は、 で、その中心の位置 は、オイラー線上にあり、 であることがわかる。ということは、 は の中点である。 の中点をそれぞれ とする。 は、垂心 を中心に相似比 で と相似の位置にある。 の外接円の半径は、 で、その中心の位置は、 の中点であるので である。 の各頂点から対辺に下ろした垂線が、外接円の円周と交わる点を図のように とする。 であり、また、 は共通だから、 と は合同であり、したがって、 …

  • 陥没地帯 (211)

    前回の記事の最後に引き続いて、相似変換 (中心相似) の応用を少しやってみる。定円 内に定点 をとり、 を通る弦 を引いて とせよ、という作図問題を考えてみる。作図の解析をするために、条件をみたす弦 が引けたと考えると、 を相似の中心として、, であるから、 は円 の周上の点でもある。したがって、作図としては、 となるように、 の延長上に点 をとり、 を中心に半径が円 の半径の となるような円 を描いて、円 の二つの交点のどちらかを とすればよい。// を中心とする二つの同心円がある。一つの直線を引いて、外円の弦 を内円の弦 の 倍となるようにせよ。 ということだから を相似の中心とし、半径が…

  • 陥没地帯 (210)

    以前、反転を使ってトレミーの定理を証明したが、もう少し簡単な証明にする。準備として、下図で、から、で、角度を共有するので、 と は相似である。したがって、であるが、 なので、となる。//上で求めた結果を使ってトレミーの定理を証明する。 だから、両辺に をかけて、を得る。//別の話題。和算の公式に直角三角形の内接円の半径を与えるものがある。下図で、とし、内接円の半径を とすると、から、最後はピタゴラスの定理を使えばよい。//もうひとつ別の話題。与えられた三角形に内接する正方形を作図するひとつの手段として、相似変換を利用するものがある。任意の正方形 を作図しておいて、 を延長して、 との交点 を求…

  • 陥没地帯 (209)

    初等数学において論理的思考力や発見力や創造力をつけるということは、ほとんど幾何を学ぶことと同値であるみたいな意見をいろいろと読んでいると、じゃあ幾何は呆け予防にもなるのかなあと、不図思ってしまう。前回記事の算額の別解を反転を用いて与えておくことにした。その前に準備として、反転の関係にある二つの円の一方の半径がわかったとき、他方の半径を求める式を求めておく。上の図で は反転の中心で、反転円の半径を としておく。から、円 の半径 は、円 の半径 を使って、最後は方べきの定理からで、であることはすでにやった。だから、円 の半径 は、円 の半径 を使って、である。//前回の問題をもう一度記載しておくと…

  • 陥没地帯 (208)

    せっかくの機会なので、前の記事の松山市伊佐爾波神社へ、明治 6 (酉) 年、当時 11 歳だった高阪金次郎が奉納した算額を計算してみることにする。作図のために、途中までの計算はやったので、後はなんとかなるだろう。解答の中で の値が必要になるので先に求めておく。 上の図で、三角形の内角の 等分線は、対辺を他の 辺の比に内分するから、 とすれば、 なので、である。さて、問題は、図のような中心角 の扇形で、下側の 番目に小さい つの円の半径が与えられたとき、上側の一番小さい つの円の半径を求めよというものである。つまり、円 の半径 を使って 円 の半径 を表せ、という問題である。 とおくことにする。…

  • 陥没地帯 (207)

    現在、どのくらい丁寧に教えられているかは知らないが、作図題の「解析」という考え方は、思わぬときに参考となるかもしれない*1。ここで使われている「解析」は広い意味で「総合」の過程のひとつとしていわれているもので、今ではこの意味で「解析」という言葉を使うのは作図のときぐらいだと思う。「解析」とは、作図題が解決できたものとして、その求める図形 (たとえば点の位置) が、与えられた既知の図形とどのような関係にあるかを調べ、そこから作図手段の要諦を発見したり、求めようとする図形に漏れがないかを調べることである。こう書くと難しいようだが、例えば方程式をたてるときに、未知の量であるか既知の量であるかを意識せ…

  • 陥没地帯 (206)

    二つの定円と一つの定直線に接する円は一般に八つ描ける。採用面接にも使われたことがあるそうな。前の記事にも書いたけれど、実際に作図していなかった。

  • 陥没地帯 (205)

    少し間があいたが、記事 (202) の続き。(202) では、基本的な、「二点を通り一本の直線に接する円」と「二点を通り一つの円に接する円」の二つの作図の類型を見た。今度は、「一点を通り一つの円と一本の直線に接する円」を考える。まず円 の中心をとり直線 に垂線を下ろす。三点 を通る円を描き、 とその円の交点を とする ( が で円と接する場合は、作図は容易にできる)。後は前の記事でやった二点 を通り直線 に接する作図か、二点 を通り円 に接する作図のどちらかを行えばよい。次に、「二つの円と一本の直線に接する円」を考える。小さい方の円 の半径を とし、円 の半径を だけ縮める。そうすると円 は点…

  • 陥没地帯 (204)

    作図の練習中。なるべく簡単なものからと思い正三角形に円を内接させてみた。これは簡単で、正三角形の内心を求めて、三つできる三角形の内心をそれぞれ求めれば、すぐに作図できる。この図に後三つ同じ円が入るのは、納得。 円に内接する円を描くのも、そんなに難しくない。「三つ巴」というのは、こんな形のことを言うのであろうか? 六個内接させると、真ん中にすっぽり、同じ円が入る。 マルファッティの円も見よう見真似で描いてみたが、難しくてよくわからない。ただ、三角形の「二辺」と他の二つの円に接しているというのは、さすがに見ればわかる。円は同じ大きさではない。日本でも安島直円の「三斜三円術」として知られており、下の…

  • 陥没地帯 (203)

    平成 年度神奈川県公立高校入試問題。何ということはない問題である。しかし、別解を思いつかなかった。一つだけ見つけて、結構役に立ちそうなこともわかったので、メモしておく。 円に内接する四角形の対角線が直交するならば、一組の対辺の長さの平方和は、外接円の直径の平方に等しい。 【問】図のように、点 を、線分 と線分 が垂直になるようにとる。 のとき、線分 の長さを求めなさい。【別解】 および は、それぞれ半円の弧の長さに等しいことから、下図において、 である。から、外接円の直径 は、である。したがって、ピタゴラスの定理から、なので、 である。トレミーの定理から、となり、である。//※ なお、 がいえ…

  • 陥没地帯 (202)

    方べきの定理とその逆を使うと、作図に便利なことがある。まずは、基本的な例題。与えられた 点を通り、与えられた直線に接する円を作図する。なにはともあれ、 と を通る直線を書き、直線 の交点を とする。目指すのは方べきの定理の利用なので、 を通る円を適当にもう一点決めて三点を通る円を図示する (円は 点で決まる)。円は さえ通ればなんでもよい。作った円に を通る接線を引く。接線の長さは等しいので、一本引けば十分である。 を中心として、 を半径とする円を引き、直線 との交点を とする。 の三点を通る円を書けば所望の円が得られる。 を通る円も題意を満たす。もちろん、円周上の点なら、どこでもよい。今度は…

  • 陥没地帯 (201)

    数 II で与えられた 円の交点ともう一点、別の点を通る円の方程式を求める問題で、円束を使って解くやり方があるが、それがなぜ円の方程式になるか質問されて、計算する羽目になった。これは、初等幾何学的にいえば、与えられた 円の方べきの比が与えられた比に等しい点の軌跡は、一般に与えられた 円と共軸 (その軸を「根軸」と呼ぶ) な円になることを示すことと同じである。ここで方べきといっているのは、単なる復習であるが、半径 の円の中心 と与えられた点 について、 のことで、点 が円の内部、周上、外部にある場合に、それぞれ負、零、正の値をとるものである。方べきを式で書けば、 に対してに他ならない。それで、 …

  • 陥没地帯 (200)

    ある人が学ぶことが、どんどん貧しくなっている下のような具体例を挙げてくれていて、なるほどなと思った。その人は、自分だったら「連続した つの偶数の積は、 の倍数であることを証明せよ」とノーヒントで出すとも言っているが、この発言にも共感できる。自分もかつて同じ問題を考えて、そのときに連続した二つの整数の一方が必ず偶数であることが、とてつもなく偉大な事実のように思え、それ以来整数の問題を解くときにはその事実が自然に頭に浮かんで利用できるようになったからである。側から見れば大変ささやかといえるだろうが、その小さな発見が数学をやる喜びのひとつであろう。それを最初から消し去るなんて…… 昭和 年というと「…

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