SU(2)とは

「次に、2行2列のユニタリ行列で行列式が1であるものの全体のなす群を2次元特殊ユニタリ群といい、SU(2)と書きます」 2次元特殊ユニタリ群（SU(2)）の条件 (1) 2行2列のユニタリ行列 (2) 行列式が1 「ここで、SU(2)のSは、Special（特殊）の略、Uは、Unitary（ユニタリ）の略、そして(2)は、2次元の略です」 SU(2)= Special（特殊）+Unitary（ユニタリ）+2次元 「一方、一般的なN行N列のユニタリ行列から定義される群は、U(N)と書きます」 一般的なN行N列のユニタリ行列から定義される群U(N) 例えば、2行2列のユニタリ行列から定義される群U…

ユニタリ変換とユニタリ行列の関係

「ところで、ユニタリ変換は、ヒルベルト空間において定義されますが、特に、ヒルベルト空間が、複素数列のベクトルで、をの複素共役として、その自乗の総和」 「からなる集合の場合、ユニタリ変換は、ユニタリ行列で表され、次のように書くことが出来ます」 「ここで、は単位行列（unit matrix）であり、ここにも『unit』という言葉が現れます。なお、ユニタリ変換は、どのような場合でもユニタリ行列で表されるように記載されている教科書もありますが、実は、これは厳密ではありません。実際、上の条件を満たさないヒルベルト空間では、ユニタリ変換をユニタリ行列で表すことができません」 特定のヒルベルト空間において、…

ユニタリ変換とは

「ところで、上の保存電荷（ネーター・チャージ）の式は、（は実数）として、位相変換に対して不変となることがわかります。ここで、は、一次元のユニタリ変換と見なすことができます」 「ユニタリ変換ってなによ？」 一宮が首を傾げた。 「ユニタリ変換は、ざっくりいえば、変換の前後で距離や角度を変えない変換です」 ユニタリ変換の性質1（等距離性）： 変換の前後で距離や角度を変えない 「なお、ここでいう等距離性とは、角度情報を含めた距離、すなわち、内積（スカラー積）の値を変えない性質を意味します」 等距離性：角度情報を含めた距離（内積）を変えない性質 「また、ユニタリ変換の定義には、もう1つ条件があって、ヒル…

複素スカラー場の保存電荷3

「複素スカラー場のネーター・カレントの式から、保存電荷であるネーター・チャージ（電荷）の式を導くことができます」 (2.13) 「ネーター・チャージQは、上の(2.13)式のように、ネーター・カレントの式の第0成分（時間成分）を全空間で積分した式となります。そこで、複素スカラー場のネーター・カレントの式を上の(2.13)式に代入することにより、保存電荷の式を導くことができます」 「ただし、の関係を用いました。したがって、複素スカラー場の保存電荷の式は、次のようになります」

複素スカラー場の保存電荷2

「このラグランジアンは、を任意定数として、位相変換に対して不変となることがわかります。それゆえ、ネーターの定理から保存電流（ネーター・カレント）が存在することが分かります。そこで、(2.12)式に基づき、上のラグランジアンからネーター・カレントを導いてみます」 (2.12) 「ここで、変換は、2種類の場の変動によるものなので、(2.12)式において、2種類の場からの寄与のみを考慮します」 「次に、を求めるため、位相変換の位相が微小量（）だけ変化したときを想定して、一次の項までテーラー展開してみます」 「また、このときのの変化量をとして、上式と比較すると、となることが分かります。」 「同様に、変…

複素スカラー場の保存電荷1

「それでは次に、問題2.2dを解いてみます」 問題2.2d：同一の質量を有する2つの複素クライン‐ゴルドン場の場合を考えよ。場をとしなさい。いま、4つの保存電荷があり、1つは問題(c)の一般化によって与えられ、残りの3つは、次の式によって与えられることを示せ。 ここで、はパウリのシグマ行列である。これらの3つの電荷が角運動量（SU(2)）の交換関係を有することを示せ。これらの結果をnの同一の複素スカラー場の場合に一般化せよ。 「それでは、問題2.2dを解いていきましょう。クライン‐ゴルドン場に従う複素スカラー場のラグランジアンは、次のように書くことができることは以前お話しました」 「それゆえ、…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷3

「次に、デルタ関数についても同様に、のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」 「ここで、交換関係から、となり、これを上式に代入すると、次のようになります」 「最後の項は、定数、すなわち古典的なc数であり、ハミルトニアンの計算の場合と同様に、この定数項を無視すると、保存電荷の式は結局、次のようになることがわかります」 「これから、2種類の生成・消滅演算子の積、は、保存電荷に対して互いに逆符号で結ばれていることがわかります。これから、複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれた2種類の粒子は、同一のエネルギーEおよび質量mを有するだけでなく、互いに正反…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷2

「ここで、ハミルトニアンの計算と同様に、デルタ関数のフーリエ積分表示の関係を使います」 デルタ関数のフーリエ積分表示 「すると、上式は次のようになります」 「ここで、デルタ関数について、のときのみ値が残りますが、このときとなります」 「どうして、と、とが等しいのよ？」 一宮が疑問を口にした。 「これは、エネルギー（自然単位系では、）がの絶対値の2乗で定まるためです。これは、(2.22)式の関係から導かれます」 (2.22) 「これは、粒子の運動エネルギーが粒子の運動の向きによらず、その運動の大きさのみに依存することからも明らかだと思います。したがって、保存電荷の式は、を含む項が消去され、を含む…