部分点

数学テストの特徴の一つが部分点。 先生方も平均点の調整等でどこまで点をあげるかを 考えることがあると思います。 こちらは東工大の過去の入試問題です。 「nを自然数、P(x)をn次の多項式とする。 P(0),P(1),…,P(n)がすべて整数ならば、すべての整数kに対して P(k)は整数であることを証明せよ。」（30点） 割と難しい問題ですが、似たような問題は他大でもよく出題され 帰納法によって解くことができます。…

高校と大学

高校生はある期間で文理に分かれますね。 自分が得意あるいは興味のある方に進めば良いと思います。 そして進学を考える人は次に大学の学部・学科を選択します。 物理が面白いから物理学科、数学が得意だから数学科。。。 まぁあながち間違った考えではありませんが、 大学で学ぶ学問は高校で習っていたそれとは若干イメージが異なります。 私は良く生徒に 大学に行って専門性を深めると 高校で習っていた化学は物理…

n次式

2003年度のセンター入試の数学について ちょっと困った問題があったのをご存じでしょうか？ この問題なんですが…

メビウスの帯

面白い実験があります。 メビウスの帯(輪)をご存じでしょうか？ 聞いたことはあるかと思いますが、 帯状の長方形の片方の端を180°ひねり、 他方の端に貼り合わせた輪っかのことです。

ケークマンの女生徒の問題

下に紹介するものは、パズルのような問題ですが 実際に慶応大学で入試問題に出題されたものです。 「12人の仲間は毎日2人ずつで組をつくり、散歩に出かける。 11日間で同じ人と2度組むことなく、全ての人と散歩にでかけることができた。 以下の表は、その組合せであり、12人を A〜Lとしてある。

コンドルセのパラドックス

3囚人問題

これは有名な話です。 何かAの気持ちもわかるような不思議な問題です。 条件付き確率の授業の導入にでも使ってみてはいかがでしょうか？ 「ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。 近々3人まとめて処刑される予定になっている。 ところが恩赦が出て3人のうち1人だけ助かることになったという。 誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が "私は助かるのか?" …

黒と白の帽子

数学ではありませんが面白いです。 「ここに黒い帽子3つと白い帽子2つがある。 そして3人の男に5つの帽子の内1つずつを被らせるが、 皆誰が何色を被っているのかはわからない。 次に3人を縦1列に並ばせる。 一番後ろの男は前2人の色を確認でき、真ん中の男は一番前の人の色だけわかる。 ここで3人に尋ねた。 ”あなたが被っている帽子は何色ですか？” すると3人は黙り込んだが、しばらくして1人だけ正…

数字当て

胡散臭いマジックですw 適当に3桁の数字を思い浮かべて下さい。 思い浮かべましたか？ その思い浮かべた数字を当てようというマジックです。 その数字を 123だったら123123 121だったら121121 という風に二つ繋げて下さい。 繋げたら13で割ってみて下さい。 割りましたか？ 割り切れましたか？w 次に7で割ってください。 最後に11で割ってください。 それがあなたの思い浮かべた数字です。 ちゃんと当てら…

蚊取り線香

頭の体操には良いクイズのような問題です。 「ここに火を点けてから丁度1時間で燃え尽きる蚊取り線香が2つある。 この蚊取り線香を使って正確に45分計りたいとき どうすれば良いだろうか？」 蚊取り線香で時間を計らなくてはいけないという状況に無理がありますが そこは突っ込まないで下さいw 簡単ですかね。 正解は、 まず両方の線香に点火します。ただし、一方には両端に火を点けます。 すると、両端に…

コラッツの予想

3種のコイン

一瞬納得のいかないような 不思議な問題があります。 「袋の中にコインが3枚入っています。 1枚は両面とも白で、1枚は両面とも黒 残りの一枚は片面白で片面黒です。 今袋から1枚のコインを取り出して机の上に置くと 白が上向きになっています。 このコインを裏返したとき 黒の面が出る確率を求めなさい。」 見たことありますか？ 面白い問題ですね。わかりましたか？ 答えは1/2ではありませんよw …

教科書のタイトル

生徒から素朴な質問をもらいました。 「英語の教科書はEnglishで大文字から始まっているのに対して、 数学の教科書は何でmathなんですか？」 という疑問です。 良く気が付きましたw 英語のルールでは固有名詞の頭文字は大文字にしますよね。 実は数学はmathematicsという学問であるのに対し 「English」は言語学(linguistics)という学問の中の分野の一つであり、 固有名詞なんです。 だから国語もJapaneseです。…

一筆書き

その図形が一筆書きできるかどうかを判断することは 意外と簡単にできます。 一筆書きするには、以下の条件いずれかを満たす必要があります。 1.すべての頂点の次数（頂点につながっている辺の数）が偶数 2.次数が奇数である頂点の数が2で、残りの頂点の次数は全て偶数 例えば

正方形

中学1年生で解ける問題です。 一瞬ドキッとしてしまいました。 不覚ですw 下図はいくつかの正方形を組み合わせたものです。 正方形A,Bの一辺の長さの比を、最も簡単な整数で表しなさい。