ガロア理論その1 〜解の公式が作れるということ〜

長年の夢だった「ガロア理論」についてまとめていく。 ガロア理論は大学の学部数学における一里塚であり、理論の美しさもさることながら、その背景にある歴史、数学者の逸話なども楽しめる。私はこの理論が好きすぎてパリに旅行に行った際に、ガロア所縁の地を旅したほど。 またガロア理論や群という考えは現代数学の基本にもなっている。 いつの日か自分で理解してブログにまとめたいと思っていた。 目次【本記事の内容】 方

100円はどこに消えた！？

とある旅館の100円が消える不思議な話. 数学とは違うかもですが,ちょっとした小噺に. 目次【本記事の内容】 若い旅行客と旅館のお話 100円はどこに消えた！？ 解説 さいごに 若い旅行客のお話 ある若い旅行客が宿泊のために旅館を訪れました. 1泊3,000円です. \(\\ \) 旅行客は1,000円ずつ出し合い3,000円を支払いました. \(\\ \) 旅館：「学生さんのようだから値下げして

ポアソン分布と指数分布の使いどころ

ポアソン分布と指数分布は統計学でよく出てきます.これらはどんな時に使う分布なのかをまとめました.

コンパクトと最大値・最小値の原理（解析学 第I章 実数と連続13）

これまで,点列コンパクト,開集合,閉集合という空間の距離を数学的に表現してきました. 今回はこれら準備してきた概念を用いて,コンパクト空間上の連続関数が最大値・最小値を持つことを証明します. イメージに頼ったりせず,定義と論理のみで証明できるようになることが数学を学ぶモチベーションであり,数学の素晴らしさなのです.

点列コンパクト・開集合・閉集合の整理（解析学 第I章 実数と連続12）

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理をn次元に一般化したときにも成り立つのか考えます.このような性質を点列コンパクトといい,開集合や閉集合,コンパクト空間にも繋がる重要な基礎概念です.これらの概念はたまに教科書を見返したりしていますが,一度整理したいと思います.

数学におけるコンパクトとは何か

解析や幾何の専門書を読んでいると必ずと言っていいほど現る「コンパクト」という概念.定義だけ見ても何のことやらさっぱりでイメージも掴めない難しい概念です.コンパクトのイメージとその恩恵や考える動機を考えてみます.

数学デーin横浜に参加してきました

今まで数学は趣味として数学書を読んだり,マスパーティー等で講演を聞いたり独学でやってきましたが,自分も参加してみたいと思っていました.そんな中,ちょうど横浜で数学デーがあるということで初参加してきました.

位相空間ゲーム

先日の休みに東大駒場祭に遊びに行ってきました.そこで「位相空間ゲーム」という数学の位相空間を使ったカードゲームを購入したので紹介したいと思います.

2変量正規分布の条件付き確率の期待値と分散（統計検定準1級対策3）

2変量正規分布のXを固定したもとでの,条件付き確率分布および期待値と分散の公式を証明付きでまとめます. 統計検定準1級対策に.

多変量正規分布を理解する

統計学で頻出の正規分布ですが,1変数はわかるのに多変数になると初見は面食らいます. 2変数の場合を例に上げながら多変量正規分布の数式の理解を目指したいと思います.

統計学 t検定の仕組み

仮説検定において,分散が未知の場合には,「t検定」を使います. t検定の仕組みをまとめます.

母集団のパラメーターを推定する良い方法とは？一致性,不偏性を理解する

統計学では様々な確率分布を考える際に,母集団のパラメーターを推定する必要があります.そのときの良い推定とは何でしょうか？ 基準となる一致性,不偏性について紹介します.

不思議な「トマエ関数」〜有理数で不連続,無理数で連続〜

トマエ関数という関数をご存知でしょうか. 有理数で不連続で無理数で連続となるような不思議な関数です． 病的な関数とも言われる関数の一種で,ちょっと想像のつかない動きをします. 数学徒の中では有名ですが,そうでない人でも不思議さが伝わるように紹介したいと思います.

例題で理解する関数の連続（解析学 第I章 実数と連続11）

解析学を学ぶ上で基本的かつ重要な概念に「関数の連続」があります. 二次関数のグラフは本当に繋がっているのか？どうやって証明する？ 例題を解きながらその証明方法を理解していきます.

マスパーティに参加してきました

今回,2019年10月19〜20日に横浜で開催された数学イベント「マスパーティ」に参加してきましたので,そのレポートをさせていただこうと思います. 時間の都合上,一部にしか参加することはできませんでしたが,趣味で数学をされている方の熱い思いを感じることができました.

例題で理解する級数の収束・発散判定（解析学 第I章 実数と連続10）

本稿では級数の収束,発散についてまとめました. Cauchyの収束条件からダランベールの収束判定法（ratio test）まで証明を行い,実際に例題を解いて使い方を解説します.

加藤文元「宇宙と宇宙をつなぐ数学」教養としての数学者の発想

IUT理論とはInter Universal Teichmüller理論=宇宙際（うちゅうさい）タイヒミュラー理論のことで,京都大学望月教授が2012年8月30日に発表し数学会に衝撃を与えている理論です. 加藤文元教授による著書「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」では,IUT理論の雰囲気が分かりやすく紹介がされています.

何で分数の割り算は逆数をかけるの？理由を説明できますか？

もし子供に「何で分数の割り算は逆数をかけるの？」と聞かれたら,何と答えますか？小学校で分数の割り算の仕方は習いましたが,何でそうなのかと改めて考えると結構難しいものです.今回は割り算に関して,その本質に迫り,上記質問の回答を考えたいと思います.子供への数学教育としてどうぞ.

6つの同値な「実数の連続性公理」まとめ（解析学 第I章 実数と連続9）

これまで実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,それから導かれる様々な命題,定理を証明してきました. その結果分かった実数の連続性公理と同値な条件(Bolzano–Weierstrass,Cauhy列の収束＋アルキメデスの原理etc) をまとめたいと思います. どれを公理としてもよく,自分にあったものを議論の出発点としてよいのです.

コーシーの収束条件から実数の連続性を証明（解析学 第I章 実数と連続8）

数列の収束を判定するCauchyの収束判定条件を証明しましたが,実は,アルキメデスの原理を加えれば,これははじめに仮定した「実数の連続性公理」と同値なのです.今回はこれを証明します.