ガロア理論その1 〜解の公式が作れるということ〜

長年の夢だった「ガロア理論」についてまとめていく。 ガロア理論は大学の学部数学における一里塚であり、理論の美しさもさることながら、その背景にある歴史、数学者の逸話なども楽しめる。私はこの理論が好きすぎてパリに旅行に行った際に、ガロア所縁の地を旅したほど。 またガロア理論や群という考えは現代数学の基本にもなっている。 いつの日か自分で理解してブログにまとめたいと思っていた。 目次【本記事の内容】 方

100円はどこに消えた！？

とある旅館の100円が消える不思議な話. 数学とは違うかもですが,ちょっとした小噺に. 目次【本記事の内容】 若い旅行客と旅館のお話 100円はどこに消えた！？ 解説 さいごに 若い旅行客のお話 ある若い旅行客が宿泊のために旅館を訪れました. 1泊3,000円です. \(\\ \) 旅行客は1,000円ずつ出し合い3,000円を支払いました. \(\\ \) 旅館：「学生さんのようだから値下げして

ポアソン分布と指数分布の使いどころ

ポアソン分布と指数分布は統計学でよく出てきます.これらはどんな時に使う分布なのかをまとめました.

コンパクトと最大値・最小値の原理（解析学 第I章 実数と連続13）

これまで,点列コンパクト,開集合,閉集合という空間の距離を数学的に表現してきました. 今回はこれら準備してきた概念を用いて,コンパクト空間上の連続関数が最大値・最小値を持つことを証明します. イメージに頼ったりせず,定義と論理のみで証明できるようになることが数学を学ぶモチベーションであり,数学の素晴らしさなのです.

点列コンパクト・開集合・閉集合の整理（解析学 第I章 実数と連続12）

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理をn次元に一般化したときにも成り立つのか考えます.このような性質を点列コンパクトといい,開集合や閉集合,コンパクト空間にも繋がる重要な基礎概念です.これらの概念はたまに教科書を見返したりしていますが,一度整理したいと思います.

数学におけるコンパクトとは何か

解析や幾何の専門書を読んでいると必ずと言っていいほど現る「コンパクト」という概念.定義だけ見ても何のことやらさっぱりでイメージも掴めない難しい概念です.コンパクトのイメージとその恩恵や考える動機を考えてみます.

数学デーin横浜に参加してきました

今まで数学は趣味として数学書を読んだり,マスパーティー等で講演を聞いたり独学でやってきましたが,自分も参加してみたいと思っていました.そんな中,ちょうど横浜で数学デーがあるということで初参加してきました.

位相空間ゲーム

先日の休みに東大駒場祭に遊びに行ってきました.そこで「位相空間ゲーム」という数学の位相空間を使ったカードゲームを購入したので紹介したいと思います.

2変量正規分布の条件付き確率の期待値と分散（統計検定準1級対策3）

2変量正規分布のXを固定したもとでの,条件付き確率分布および期待値と分散の公式を証明付きでまとめます. 統計検定準1級対策に.

多変量正規分布を理解する

統計学で頻出の正規分布ですが,1変数はわかるのに多変数になると初見は面食らいます. 2変数の場合を例に上げながら多変量正規分布の数式の理解を目指したいと思います.

統計学 t検定の仕組み

仮説検定において,分散が未知の場合には,「t検定」を使います. t検定の仕組みをまとめます.

母集団のパラメーターを推定する良い方法とは？一致性,不偏性を理解する

統計学では様々な確率分布を考える際に,母集団のパラメーターを推定する必要があります.そのときの良い推定とは何でしょうか？ 基準となる一致性,不偏性について紹介します.

不思議な「トマエ関数」〜有理数で不連続,無理数で連続〜

トマエ関数という関数をご存知でしょうか. 有理数で不連続で無理数で連続となるような不思議な関数です． 病的な関数とも言われる関数の一種で,ちょっと想像のつかない動きをします. 数学徒の中では有名ですが,そうでない人でも不思議さが伝わるように紹介したいと思います.

例題で理解する関数の連続（解析学 第I章 実数と連続11）

解析学を学ぶ上で基本的かつ重要な概念に「関数の連続」があります. 二次関数のグラフは本当に繋がっているのか？どうやって証明する？ 例題を解きながらその証明方法を理解していきます.

マスパーティに参加してきました

今回,2019年10月19〜20日に横浜で開催された数学イベント「マスパーティ」に参加してきましたので,そのレポートをさせていただこうと思います. 時間の都合上,一部にしか参加することはできませんでしたが,趣味で数学をされている方の熱い思いを感じることができました.

例題で理解する級数の収束・発散判定（解析学 第I章 実数と連続10）

本稿では級数の収束,発散についてまとめました. Cauchyの収束条件からダランベールの収束判定法（ratio test）まで証明を行い,実際に例題を解いて使い方を解説します.

加藤文元「宇宙と宇宙をつなぐ数学」教養としての数学者の発想

IUT理論とはInter Universal Teichmüller理論=宇宙際（うちゅうさい）タイヒミュラー理論のことで,京都大学望月教授が2012年8月30日に発表し数学会に衝撃を与えている理論です. 加藤文元教授による著書「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」では,IUT理論の雰囲気が分かりやすく紹介がされています.

何で分数の割り算は逆数をかけるの？理由を説明できますか？

もし子供に「何で分数の割り算は逆数をかけるの？」と聞かれたら,何と答えますか？小学校で分数の割り算の仕方は習いましたが,何でそうなのかと改めて考えると結構難しいものです.今回は割り算に関して,その本質に迫り,上記質問の回答を考えたいと思います.子供への数学教育としてどうぞ.

6つの同値な「実数の連続性公理」まとめ（解析学 第I章 実数と連続9）

これまで実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,それから導かれる様々な命題,定理を証明してきました. その結果分かった実数の連続性公理と同値な条件(Bolzano–Weierstrass,Cauhy列の収束＋アルキメデスの原理etc) をまとめたいと思います. どれを公理としてもよく,自分にあったものを議論の出発点としてよいのです.

コーシーの収束条件から実数の連続性を証明（解析学 第I章 実数と連続8）

数列の収束を判定するCauchyの収束判定条件を証明しましたが,実は,アルキメデスの原理を加えれば,これははじめに仮定した「実数の連続性公理」と同値なのです.今回はこれを証明します.

サンプル平均の期待値,分散,不偏推定量まとめ（統計検定準1級対策2）

問題を解く際に覚えておくべきサンプル平均の期待値,分散,不偏推定量についてまとめました.これらは,標準化や中心極限定理でも利用する重要な性質です.

期待値,分散,共分散,相関係数,変動係数まとめ（統計検定準1級対策1）

統計検定準1級に合格するには,短い時間内に大量の処理をする必要があります. それには過去問を素早く解く練習が適しています. 問題を解く際に覚えておくべき期待値,分散,共分散,相関係数,変動係数の基本公式をまとめました. 合格にはまずはこれらを公式として暗記しすぐに計算できるようにします.

コーシーの収束条件（解析学 第I章 実数と連続7）

数列が収束する条件があると便利です.極限値は分からなくても,数列がCauchy（コーシー）列であれば,収束することが分かります.今後も使う非常に有界な定理です.今回はCauchy列が収束することを分かりやすく証明します.

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の証明（解析学 第I章 実数と連続6）

有界な数列は常に収束する部分列を持つこと保証する「ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理」を分かりやすく証明します.n次元に一般化した際に有界閉集合の本質に繋がる重要な定理です.

同じ誕生日の人がいる確率〜誕生日パラドックス〜

昔,学校のクラスで同じ誕生日の人はいたでしょうか. いたらその人と運命を感じるものです. その運命,どのくらいの確率なのか計算してみると, 直感に反する意外な事実が分かります. 有名な話ですが誕生日の話のネタとしてどうぞ.

正規分布の導出と基本事項

正規分布は,平均値付近にデータが集まっており,左右対称な連続確率分布です. 正規分布の納得いく導出（個人的理解）から見方,標準化,モーメント母関数による平均,分散の計算までをまとめます.

視聴率は統計学で計算されている（自然科学研究会2 生活の中の数学 その4）

会社の同僚の方とたまに自然科学研究会なるものを開催しております. 自然科学のあるテーマに沿って自由にプレゼンするものです. 第二回では私は「生活の中の数学」というテーマでプレゼンしました. 今回は統計学に基づく視聴率の理論を分かりやすく解説します.

区間縮小法の証明（解析学 第I章 実数と連続5）

我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.今回は「区間縮小法」という重要な定理を証明します.

円周率πが無理数であることの証明 〜2019年9月14日と円周率との関係〜

本日2019年9月14日は,円周率と関係の深い日だそうです.このような日に,円周率πが無理数であることを証明したいと思います.

互いに素な数は全ての数を表す〜整数論の基本定理の証明〜

前回の記事で,新幹線の座席は乗客が効率よく座れるようになっているという話をしました.それを論理的に支えているのが,互いに素な数は全てを表すという整数論の基本定理です.今回はこれを証明します.

新幹線の座席はなぜ2席と3席なのか？（自然科学研究会2 生活の中の数学その3）

会社の同僚の方と行なっている自然科学研究会. 第二回では私は「生活の中の数学」というテーマでプレゼンしました. なぜ新幹線の席は2席シートと3席シートの組み合わせが多いのでしょうか？実は数学的に面白い理由があります. これは私が教員採用試験を受験した際の模擬授業で取り上げたネタでもあります.

微分積分を速度と距離の関係で理解する（自然科学研究会2 生活の中の数学 その2）

会社の同僚の方とたまに自然科学研究会なるものを開催しております. 自然科学のあるテーマに沿って自由にプレゼンするものです. 第二回では私は「生活の中の数学」というテーマでプレゼンしました. 今回は,高校数学の一里塚でもある微分積分と速度・距離の関係について紹介します.

収束を求めるのに便利！はさみうちの原理の使い方とその厳密な証明

数列の収束を求めるのに様々なテクニックがあります.その一つに「はさみうちの原理」というものがあります.これは収束性を求めることが難しい数列を簡単な数列で下からと上から評価してあげて,目的の数列の極限値を求めるものです.高校数学ではあいまいに説明されていたこの原理を,ε-N論法から厳密かつ分かりやすく解説します.