[1ページ目] エルミート多項式の直交性について考察していきます。
備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でよろしくお願いいたします。
[1ページ目] 変分法とは、関数とその導関数との微小な変化をとらえ関数の最大値と最小値を見つけることを扱います。変分法におけるオイラー-ラグランジュ方程式においてある関数の最大値、最小値の関数を見つけたい場合にこの微分方程式を解きます。
[1ページ目] フーリエ解析 の記事 微分方程式いろいろ よいこの低学年向けすうがくひろば
[1ページ目] フーリエ解析という数学分野はフーリエという人が考え出した数学であり、もともとは熱の研究をしているときに熱伝導における数学的な記述を偏微分方程式により導き、その解を求めるためにこのフーリエ級数という理論的概念を構築したのが始まりだといわれています。そしてそのフーリエ自信は「任意の（すべての）周期関数は三角関数の和として表せる」と主張していたようですが実際にこの主張は大まかに正しいといわれております。現在にいたっては物理学を中心にしたさまざまな方面の利用、特に画像処理やデータ圧縮、CT、MRIなどの現代科学の基礎技術としてこの数学は大変役立っているようです。
[1ページ目] オペレータ作用素が一回微分のものを1階微分方程式といます。解き方としては、まず変数が2つあるので両辺にそれぞれを“分ける”ということをします。
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[1ページ目] エルミート多項式の直交性について考察していきます。
[1ページ目] エルミート多項式の諸性質に関して。様々な性質を導くための前段階としてのエルミート多項式の変形式について考察していきます。
[1ページ目] デルタ関数のフーリエ変換 ━ デルタ関数というのを導入します。このデルタ関数というのはx≠0、つまりx=0以外の場所においての値はすべて0でx=0でのみ∞となり、かつその面積が1となると定義される関数になります。これをフーリエ変換していきましょう。
[1ページ目] 微分演算子による連立微分方程式の解法の仕方。一般解を求めていき、さらに実数解と虚数解に分けて特殊解を求めていきます。
[1ページ目] ヘヴィサイドの階段関数 ━ ラプラス変換を取り扱っていくうえで重要になるヘヴィサイドの階段関数について考察していきます。
[1ページ目] ヴィーンの変位則とは、黒体と呼ばれる光などの電磁波をすべての波長において吸収またはそれを放出（反射）できる理想的な物体のことをさし、その黒体からの輻射波長が温度に反比例するという法則になります。このセクションではこれをプランクの式を使って考察していきます。
[1ページ目] コリオリ長距離弾道軌道計算の3回目。求められた3つの連立微分方程式を具体的に解いていき、その詳しい因果律について考察していき結局のところどのような結果が求められるかを見ていきます。
未分類 について 微分方程式いろいろ よいこの低学年向けすうがくひろば
[1ページ目] コリオリ力を考慮した軽火器における長距離弾道軌道計算の考察。長射程における導かれた3つの微分方程式の連立微分方程式を具体的に解いていきその意味を考察していきます。
[1ページ目] コリオリ力を考慮した軽火器における長距離弾道軌道計算の考察。弾丸の移動距離が数キロにわたる場合、地球の回転運動によっておこるコリオリ力を考慮した弾道軌道補正について考察していきます。
[1ページ目] フランスの科学者で軍属でもあったガスパール・ギュスターブ・コリオリ ━ 初歩的な力学の分野において慣性系に関する話の中にコリオリの力というものがあります。この“コリオリ”とは人の名前であり地球が回転することによっておこる見かけの運動力を、回転座標上で移動したときの移動方向と垂直な方向に受ける慣性力の一種を数式で表現したものになります。一般的にこのコリオリという人物は科学者という記述が多いのですが実は軍人でもあったことはあまり知られていないようです。
[1ページ目] コリオリの力やそれを考慮した長距離弾道軌道において出てくる2階定係数非線形微分方程式のロンスキアン計算による解法、ヘヴィサイド法による弾道軌道計算などを主に取り扱います。
[1ページ目] 力学の分野において理想的なバネにつながれた物体の振動する様子を示したものを一般的に調和振動子などと言ったりしますが、その調和振動子に量子力学においてよく出てくるシュレーディンガー方程式という式に当てはめていった場合、数式的にどのような振舞を示すかを考察します。
[1ページ目] 量子力学━佐野量子の量子と書いてりょうしりきがくと読みます。漁師力学ではありません。もともと当Webサイト管理人はあまりこの分野は好きではないのですが時代が時代だけに私自身が今後業務でかかわってくると思いますのでそのアウトプットのための準備みたいな位置づけになっています。なのでいまのところドラコンがメインになります。
[1ページ目] ある関数f(t)に対して指数関数のeに乗数-stのものをかけてそれを0からプラスの無限大までの範囲において積分して、その積分によってf(t)とは違う関数を導き出す数学的手法にラプラス変換と呼ばれるものがあります。フーリエ変換コンテンツでも言ったように時間Tの世界で表現されていた関数を複素数のsの世界の関数に置き換えることにより、通常では簡単には解けないような複雑な微分方程式をこのラプラス変換を行うことによって見通し（計算を簡素化）をよくするといった利点があります。
[1ページ目] ある関数f(t)に対して指数関数のeに乗数-stのものをかけてそれを0からプラスの無限大までの範囲において積分して、その積分によってf(t)とは違う関数を導き出す数学的手法にラプラス変換と呼ばれるものがあります。フーリエ変換コンテンツでも言ったように時間Tの世界で表現されていた関数を複素数のsの世界の関数に置き換えることにより、通常では簡単には解けないような複雑な微分方程式をこのラプラス変換を行うことによって見通し（計算を簡素化）をよくするといった利点があります。
[1ページ目] 2024年6月8日マイグレーション完了の報告
[1ページ目] フェルマーの原理というのは媒質中（屈折率は一定とします）を通る光の2点間の通過時間は極小になるような経路をとるというものであり、幾何光学においては基礎的な理論になります。ここではこれに関して変分法を使って表してみましょう。
[1ページ目] エルミート関数（エルミート多項式）とは、常微分方程式を満たす、主に多項式のことを指します。これはスツルム-リウヴィル型微分方程式の一つであり、物理学及び数学において非常に重要な役割を果たしています。
[1ページ目] 関数が遇関数、または奇関数に分けられるときフーリエ解析における級数展開に違いが生じます。ここではフーリエ余弦、および正弦展開について解説していきます。
[1ページ目] 2024年6月8日マイグレーション完了の報告
[1ページ目] フェルマーの原理というのは媒質中（屈折率は一定とします）を通る光の2点間の通過時間は極小になるような経路をとるというものであり、幾何光学においては基礎的な理論になります。ここではこれに関して変分法を使って表してみましょう。
[1ページ目] エルミート関数（エルミート多項式）とは、常微分方程式を満たす、主に多項式のことを指します。これはスツルム-リウヴィル型微分方程式の一つであり、物理学及び数学において非常に重要な役割を果たしています。
[1ページ目] 関数が遇関数、または奇関数に分けられるときフーリエ解析における級数展開に違いが生じます。ここではフーリエ余弦、および正弦展開について解説していきます。
[1ページ目] 関数が遇関数、または奇関数に分けられるときフーリエ解析における級数展開に違いが生じます。ここではフーリエ余弦、および正弦展開について解説していきます。
[1ページ目] フーリエ変換とは、関数を異なる波数の波に分解して波数空間に変換する方法です。フーリエ変換をおこなう主な理由としては、簡単に言えば実際の現象を微分方程式などに置き換えた場合、その因果律を導き出すことは簡単なことではありません（むしろ解けないことのほうが多い）。そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があるからです。
[1ページ目] フーリエ変換とは、関数を異なる波数の波に分解して波数空間に変換する方法です。フーリエ変換をおこなう主な理由としては、簡単に言えば実際の現象を微分方程式などに置き換えた場合、その因果律を導き出すことは簡単なことではありません（むしろ解けないことのほうが多い）。そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があるからです。
[1ページ目] ヘルムホルツ方程式と呼ばれる式に対し、円柱座標を適用させて得られる方程式にベッセル関数とよばれる微分方程式があります。この微分方程式の解を導くためには普段通りのやり方だとうまくいかないので、ある級数を一つの解として仮定するやり方─“級数解法”という方法を使ってその解を求めていくことになります。
[1ページ目] ラプラス方程式とは、2階線型の楕円型偏微分方程式であり、考えるそれぞれの次元において付与される作用素の2階微分─ラプラス作用素を用いて表現されます。ラプラス方程式は、時間に当たる変数 (t) が含まれていないため、時間によって変化しない定常状態を表し、時間を反映した変数がないため、ラプラス方程式には初期条件はなく、境界条件だけが必要となります。
[1ページ目] ヘルムホルツ方程式と呼ばれる式に対し、円柱座標を適用させて得られる方程式にベッセル微分方程式というのがあります。ここでは級数展開というやり方によって解を導いていくやり方を考察していきます。
[1ページ目] ロープや糸などの紐の類をその両端を固定して吊り下げたものを懸垂線などといいます。これは物理的なポテンシャルが最小になるときのものであり、ここではそれを表す方程式をオイラーの式を使って求めるのですがいままでのやり方だとちょっとうまくいきません。そこで途中の式で全微分の公式を使います。こうしたやり方は物理現象を数式によってとく際にたまに使われる数学テクニックになります。
[1ページ目] 最速降下曲線問題とは、ある質点が曲線に沿って点(0,0)から点(x1,x2)まで移動したとき一番短い時間で到達するような曲線はどんなものかと考える問題です。カテゴリ名に“～問題”と付け足していることにたいして意味はないのですが、理由的にはヨハンベルヌーイというひとに関係しています。
[1ページ目] オイラーの方程式─ある関数の積分を考えます。それをF(x,y,dy/dx)dxとしてこの差異を考えてこの時の変異をδFをとするとこれが極致を持つ条件がどうなるかを考察していきます。
[1ページ目] 2重振り子の振動─先ほどと同じ2重振り子の振動の微小でない場合の振動をラグランジュ関数によって考察していった場合どのような解が求まるかを考察していきます。
[1ページ目] 3重バネの振動─壁側についているばねのばね定数をc、真ん中のバネのバネ定数をkとし、そのバネの境に重さmのおもりをつけた場合の連成振動の解をラグランジアンを使って考察していきます。
[1ページ目] 2重振り子の振動─2個の錘をつないだ微小振動をラグランジュ関数を使って考察していきます。
[1ページ目] 弦につながれた錘の振動について考えていきます。長さの3lの糸を張力Sで張っておき、長さlごとに質量mのおもりを結びつけ、そのおもりは直角方向のみに振動するとします。こういった場合のおもりの小振動をラグランジアンを使って求めてみましょう。
[1ページ目] ヘヴィサイド演算子とは、電気工学者オリヴァーヘヴィサイドによって発明考案された微分積分における作用素を代数的に執り行なうことによって線形常微分方程式を効率的に解くことを可能にした演算方法になります。ある関数を、例えばtで微分する場合は左側からd/dtのように演算子を“作用”させ、そしてそれらに働きかけて関数そのものを変化させます。こういったものを作用素といい、この場合は時間ですが、それ以外にもや（ナブラ）、さらにはダランベルジャンなどもその作用素（オペレーター）と呼ぶことができます。
[1ページ目] ある関数を、例えばtで微分する場合は左側からd/dtのように演算子を“作用”させ、そしてそれらに働きかけて関数そのものを変化させます。
[1ページ目] 波動に関する現象を、フーリエ解析における級数展開やフーリエ積分、さらに偏微分方程式を用いて考察していきます。
