東京大学 2015 文系 第1問 (整数の性質)

問題 以下の命題A, B それぞれに対し、その真偽を述べよ。また、真ならば証明を与え、偽ならば判例を与えよ。命題A: が正の整数ならば、 が成り立つ。 命題B: 整数 が をみたすならば、 が成り立つ。 解答(命題A) 問題の式を整理すると、 となります。これを証明しにかかります。 解き方は想像以上にシンプルで、グラフをかくだけ。 こんな3次不等式を式変形だけで解く術なんて知らない人が大多数でしょう。 しかし、グラフをかいて常に0以上かどうかくらいなら、微積の力を借りれば確かめられそうです。 とおくと、増減表は次のようになる。 あたかも は0以上の実数かのようにかきましたが、本当は自然数です。…

JMO予選 2018 第4問(整数の性質)

JMOというのは、「日本数学オリンピック」のことです。 毎年開催されていて、だいたい10問ちょっとの問題が出されます。 後半の問題は正直なところ自分も解けないような問題が並んでいたりするのですが、今回は序盤にある問題を1つ紹介します。 問題 を で割った余りを求めよ。 解答 であることと、「数字が大きければ小さいもので具体例を出す」の法則、この2つを使えば解ける問題です。 具体例を出してみる 2018乗はさすがに大きすぎるので、小さいものからやっていきます。もう少しやってみます。余りが1000と、とてもきれいな数字になりました。 もう少しやってみます。上の式途中で出てきた はどちらも整数です。…