磁場中の2次元電子系におけるSdH振動と整数量子Hall効果

2次元電子ガスに垂直に強磁場を印加した場合におけるShubnikov-de Haas (SdH)振動とHall伝導率の量子化を議論しよう．質量$m$の2次元電子ガスのHamiltonianは，$$\mathcal{H}=\frac{1}{2m}(\hat{p}_{x}^{2}+\hat{p}_{y}^{2})$$で記述される．ここに，$z$軸方向に一様な磁場$B$を印加すると，$$\mathcal{H}=\frac{1}{2m}(\hat{p}_{x}^{2}+(\hat{p}_{y}+eBx)^{2})$$となる．このときの固有エネルギーおよび固有波動関数は良く知られ...

バンド絶縁体のHall伝導率と量子化

前回，Hall伝導率とBerry曲率の関係を導いたが，今回はバンド絶縁体においてHall伝導率の量子化を導く．2次元のバンド絶縁体では絶対零度で，完全に充填したバンドとか空のバンドに分けられる．すると，Hall伝導率は，$$\sigma_{xy}=-\frac{e^{2}}{h}\sum_{n}\mathrm{Ch}_{n}$$のように充填されたバンドの総和で表される．ここで$\mathrm{Ch}_{n}$は，$$\mathrm{Ch}_{n}=\int_{BZ}\frac{d^{2}k}{2\pi}B_{n,z}(k)$$であり，チャーン...

ホール伝導率とベリー曲率

$$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right }\newcommand{\ket}[1]{\left #1 \right\rangle}\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle #2 \right\rangle}\newcommand{\braket}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$$$y$軸方向に電場${\bf E}=(0,E)$を印加した時に$x$方向に誘起される電流を求め，横方向の伝導率を調べてみよう．簡単のために以下では2次元系を考えることにする．...

ベリー位相（Berry's phase）

$$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right }\newcommand{\ket}[1]{\left #1 \right\rangle}\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle #2 \right\rangle}$$ハミルトニアン$\mathcal{H}$がとあるパラメータ${\bf R}$に依存する場合を考えよう（たとえば，波数$k$など）．パラメータ$\bf{R}$は時間$t$に依存するとする．このとき，ハミルトニアン$\mathcal{H}({\bf R}(t))$に対応するエネルギー固有値もおなじパラメー...

薄膜に対する光の反射

各層における屈折率をそれぞれ$n_{1}$，$n_{2}$，$n_{3}$とおく．この多層膜の反射係数$r_{13}$，透過係数$t_{13}$，反射率$R_{13}$を求める．反射係数および透過係数は反射光電場と透過光電場の無限級数和で計算することができる．ここでは，計算結果のみを記す．$$ r=\frac{r_{12}+r_{23}\exp{(2k_{2z}d_{2}i)}}{1+r_{23}r_{12}\exp{(2k_{2z}d_{2}i)}} $$$$ t=\frac{t_{12}t_{23}\exp{(2k_{2z}d_{2}i)}}{1+r_{23}r_{12}\exp{(2...

反射と屈折

2つの媒質の界面に光を入射する場合を考える．（入射側を媒質1，透過側を媒質2とする．）この場合の偏光方向は2つあり，入射面内で振動するp-偏光と入射面に垂直に振動するs-偏光がある．前者はTM偏光(Transverse magnetic polarized light)，後者はTE偏光(Transverse electric polarized light)とも呼ばれる． 光が屈折率の異なる界面を通過するとき，以下に示すスネルの法則（Snell's law）が成立する．\[n_{1}\sin{\theta_{1}}=...