マスタノ！～数学の楽しみ方～

1のn乗根がべき根で解けることの証明を分かりやすく解説

今回の記事では、1のn乗根がべき根で解けることを証明します。 代数的に解けると言い換えてもよいです。 その際、またも対称性を高めていくことが重要で、ラグランジュ・リゾルベントが活躍します。 分かりやすさと丁寧さを大切にした結果、証明はかなり

2023/05/30 19:39

4次方程式が解ける仕組みを対称性で理解する

今回は、4次方程式が解ける仕組みを対称性という視点から理解していきます。 その際、ラグランジュの分解式（ラグランジュ・リゾルベントともいう）が活躍します。 方程式の対称性を調べるとき、ラグランジュの分解式はとても強力な武器なのです。 二次方

2023/05/25 23:02

三次方程式とラグランジュの分解式

三次方程式が解ける仕組みを、 ラグランジュの分解式（ラグランジュ・リゾルベントともいう）を用いて説明します。 方程式を対称性に着目して分析していく手法です。 この発想の中に、ガロア理論へ至る深遠なひらめきがいくつも隠されているのでご期待くだ

2023/05/21 10:16

一般の円分多項式の既約性を分かりやすく証明

今回は円分多項式の既約性の証明の完全バージョンを紹介します。 今まで素数次の場合と素数のべき乗次の場合をやってきましたが、 ここにきてついに一般の場合です。 円分多項式の既約性は数論においてマジで超重要な結果です。 ですが、証明が超めんどく

2023/05/13 15:37

既約多項式の性質一覧

代数を学んでいると何かと扱うことが多い既約多項式。 今回は、そんな既約多項式の性質をまとめてみました！ 既約多項式の性質を理解するうえで最も大切なことは、素数っぽさです。 「既約多項式は素数と似たような性質を持っている」 これを意識するだけ

2023/05/10 21:35

改造版アイゼンシュタインの既約判定法と円分多項式

円分多項式の既約性の証明、第2弾。 今回は、素数のべき乗次の円分多項式の既約性を示します。 その際にアイゼンシュタインの既約判定法を改造して使いますので、 注目です。 おさらい まず、円分多項式とは何か？ （定義） $\zeta_n=\co

2023/05/08 20:18

素数次の円分多項式の既約性を証明

円分多項式は整数係数で既約である。 この著しい性質を今回は証明します。 まずは素数次の場合から。 アイゼンシュタインの既約判定法が大活躍します。 円分多項式のおさらい 円分多項式とは、 $x^n-1$ の因数分解に現れる多項式でした。 定義

2023/05/07 19:32

対称式の基本定理の証明を分かりやすく丁寧に

高校の数学Ⅱで対称式について習います。 そこで、経験的に「対称式は全て基本対称式で表すことができる」という事実を悟ると思うのですが、 それを証明できる人はほとんどいないと思います。 今回は、対称式の基本定理を具体例を交えながら丁寧に証明して

2023/05/06 20:06

アイゼンシュタインの既約判定法を具体例で分かりやすく

ある多項式が与えられたときに、 それが因数分解できるのか（可約）、 それとも因数分解できないのか（既約）は、 ぱっと見た感じでは中々分かりません。 そんな問題を鮮やかに解決してくれるスーパーな道具が、 アイゼンシュタインの既約判定法です。

2023/05/05 21:47

原始根の存在証明を分かりやすく丁寧に

初等整数論の章ボス的な存在として、 原始根定理というものが君臨しています。 この原始根定理、のちに登場する数多の超すごい定理たちを証明する際に大活躍しますが、 原始根定理自体の証明は、なんかサクッと終わらせられがちです。 そのため今回の記事

2023/05/04 20:34

オイラー関数の和に関する性質

1からnまでの数のうち、nと互いに素なものの個数を数えたものを オイラー関数というのでした。 このオイラー関数の和について、 実はびっくり仰天の事実が成り立ちます。 オイラー関数の和を観察 オイラー関数とは、1からnまでの数のうち、nと互い

2023/05/03 22:01

フェルマーの小定理を一般化してオイラーの定理へ

フェルマーの小定理は実は一般化できます。 この記事では、フェルマーの小定理を一般化するに至る思考プロセスを 具体例を基に丁寧に解説します。 丁寧に進めるぞ！という決意が記事の長さという形で出力されているので、 なんでそんな変形するの！？とい

2023/05/02 22:50

フェルマーの小定理を等比数列で理解する

フェルマーの小定理は初等整数論の最強武器の一つです。 マジで最強です。 しかし、天下り的に定理と証明を与えられても、 いまいちその美しさが伝わりにくいものです。 そこで、今回の記事では具体例を観察しながらこの最強武器を再発見していこうと思い

2023/05/01 20:17