マスタノ！～数学の楽しみ方～

パスカル三角形と二項定理の関係を分かりやすく解説

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ 言わずと知れた二乗の展開公式です。 中学3年生で出会い、入試でめっちゃ使ったことでしょう。 そすて、高校2年生になると、数学Ⅱで三乗の展開公式 $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y

2023/04/30 19:50

なぜゼロの階乗を0！＝1と定めるのか、その2つの理由

高校数学の数学Aで突然現れるなぞの数式 0！＝1 は？ 0じゃないの？ なんで1になるの？ その疑問、ごもっとも。 僕もそう思ったうちの一人だからです。 0！＝1 なぜこう定義するのか。 その意味を解説します。 規則性に基づく説明 1，2，

2023/04/29 20:25

オイラー関数を求める公式を乗法性を使って証明

今回はオイラー関数の値を求める公式を証明します。 前回証明したオイラー関数の乗法性が大活躍するので、必見です。 公式を得るための準備 オイラー関数とは、1からnまでの数のうち、nと互いに素なものの個数を数えるものです。 $\phi(5)$を

2023/04/28 21:09

オイラー関数の乗法性を4つのステップで分かりやすく証明

合同式の世界の逆元の個数を調べたいというきっかけから導入された オイラー関数。 今回は、オイラー関数にまつわる重要な性質である乗法性の証明をします。 めっちゃ丁寧に解説をした結果、証明がクソ長くなったので、 証明の思考過程や発想法も含めてし

2023/04/27 22:14

合同式の逆元からオイラー関数へ

大学で習う初頭整数論の便利屋さん、 オイラーの$\phi$関数 今回は、そんな便利屋さんについて学んでいきましょう！ 合同式の方程式について 合同式シリーズの前の記事では、合同式の方程式が解けるための条件を考えました。 $ax \equiv

2023/04/26 20:58

椅子取りゲームで考える写像と全単射と一対一対応

全単射とは椅子取りゲームのことである。 椅子取りゲームしようぜ！ 椅子があります。音楽が鳴っていて、人々が椅子を狙っています。 座ります。 怒られます。 なぜ怒られたのでしょう？ 理由はシンプルです 一つの椅子に2人座っているから。 そこで

2023/04/25 22:06

中国剰余定理を具体例とともに分かりやすく証明

中国剰余定理は 連立一次合同式のおさらい 前回の記事では、連立一次合同式を用いてライバルのテストの点を暴きました。 その概略は、次です。 まず、ライバルのテストの点を3，5，7で割った余りを聞き出します。 例えば、余りがそれぞれ1，2，6だ

2023/04/24 22:41

ライバルのテストの点数を連立一次合同式で暴いてみた

数学のテスト。 ライバルの点が知りたい！ でも恥ずかしくて聞けない。 そんなことはありませんか？ 連立一次合同式の解法 学生時代、ライバルとテストの点を競い合った経験がある人も多いことでしょう。 しかし、面と向かって相手にテストの点を聞くの

2023/04/23 22:54

一次合同式を解く2つの方法と、解けるための条件

前回、時計の文字盤と同じ考え方で、合同式の世界を理解した。 次に、合同式の世界における四則演算について確認した。 じゃ、次は？ 次に何をしらべよう？ →方程式を調べてみないか？？ $2x\equiv 1 (\mod 5)$解ける $2x \

2023/04/22 22:44

時計の文字盤の考え方でゼロから学ぶ合同式

合同式のエッセンスは全て時計の文字盤にあるのだ 合同式とは？ 大学入試の整数問題でもたまに活躍する考え方。 合同式。 今回は合同式について学んでいきます。 合同式を一言で表現するなら、 割り算した時のあまりに着目した式 のことです。 余りが

2023/04/21 20:19

円分多項式の性質と整数係数である事実

$x^n-1$の分解 整数係数多項式 あと$\mathbb{Q}$上の規約性 これらが円分多項式の著しい性質。 今回は、$x^n-1$の分解と、整数係数多項式であることを実験的に学び、 証明でフィナーレを飾りましょう！ 定義のおさらいから

2023/04/20 20:35

和と差の積の因数分解の一般化から円分多項式へ

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ 中学3年生で因数分解を習って以来、入試問題で頻出の公式 和と差の積の因数分解。 数学Ⅱでは、これとよく似た公式 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ を習います。 ここまできたら、 $x^4-1

2023/04/19 20:47

複素数平面と正多角形の関係をド・モアブルで解き明かす

ド・モアブルの定理がいかに美しい定理なのか。 その端的な一例を紹介しようと思います。 ド・モアブルの定理とは？ すべての整数$n$について、 $(\cos \theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\si

2023/04/18 20:33

ド・モアブルの定理を加法定理と帰納法で証明する

高校数学で最も美しい定理（マスタノ調べ）である ド・モアブルの定理を今回は証明します。 どうやって証明するのか、なぜその発想に至るのか。 思考過程も含めて丁寧に分かりやすく解説していきます！ ド・モアブルの定理を発見するまで 定理を発見する

2023/04/17 20:07

スイカ割りで理解する複素数の極形式

複素数の極形式とは、スイカ割りのことである。 複素数平面スイカ割り まずはスイカ割りだ！ 下の図のように原点に目隠しをした人がいるとします。 この人をスイカがある位置まで案内できるように指示を出さないといけません。 どうやってこの人をスイカ

2023/04/16 18:59

三角関数の倍角の公式・3倍角の公式・半角の公式を証明

暗記不要。 加法定理を材料に、倍角・3倍角・半角の公式を導出します。 倍角の公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ (証明) 三角関数の加法定理 $\sin (\alpha +\beta)=\

2023/04/15 19:44

余弦定理を使って加法定理を証明する

加法定理の証明には様々な別解があります。 今回の主役は余弦定理 証明の発想 三角関数の加法定理。 $\sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $

2023/04/14 20:19

加法定理を証明

加法定理の証明は、東大の2次試験でも出題されたことがあるくらい重要な内容です。 今回は、そんな加法定理の証明を紹介します。 この記事のほかにも、今後色々な別解を紹介していこうと思うので、 気に入ったやり方で証明をマスターしてください。 加法

2023/04/13 20:25

三角関数の性質の意味を考え公式を導出する

なんか紛らわしい公式を念仏のように覚えさせられるページ それが三角関数の性質 覚えてはいけない 意味をよく考えれば、自然と出てくるから 公式一覧 今からヤバい式が沢山出てきます。 実に18個もありますので、 心の準備をしてくださいね。 ちな

2023/04/12 20:05

弧度法と度数法の変換

三角関数で躓くポイントランキングNo.1（マスタノ調べ）に君臨する概念、 弧度法。 今回は弧度法について解説していきます。 度数法と弧度法 高校では、角度を測る手段を2つ習います。 1つ目が度数法。 小学校以来慣れ親しんできた、分度器で角度

2023/04/11 20:29

ウルトラマンと一緒に三角比を三角関数に拡張！

三角関数が待っている。 さぁ行こう！ ウルトラマンポーズの向こう側へ！！ 三角比のおさらいと、三角関数の定義 まずは三角比のおさらいから。 サインやコサインは、ウルトラマンポーズで定義されます。 斜辺の長さが1の直角三角形について、 縦の長

2023/04/10 21:00

三平方の定理の拡張としての余弦定理

中学で習う三平方の定理。 あれは直角三角形についての定理でした。 これを一般の三角形の場合に拡張できないかな？ というのが今回のお話。 三平方の定理と余弦定理 中学3年生で我々は三平方の定理という偉大な定理と出会います。 これは直角三角形に

2023/04/09 18:00

正弦定理を円周角の定理を使って証明

今回は、数学Ⅰで習う正弦定理を円周角の定理を用いて証明します。 また、なぜ円周角の定理を使うのか、どうやってその発想にたどり着くか、 といった思考回路も合わせて解説します。 正弦定理とは？ 「$⊿ABC$について、$AB=c, BC=a,

2023/04/08 20:42

三角比をウルトラマンポーズとビッグライトで説明する

サイン、コサイン、タンジェント。 三角比とはウルトラマンポーズのことである 三角比の定義 $\sin \theta =\dfrac{b}{c}, \cos \theta =\dfrac{a}{c}, \tan \theta =\dfrac{

2023/04/07 19:31

4次方程式の解の公式の求め方を紹介

今回は4次方程式の解の公式を考えていきます。 ちなみに、 公式は長すぎてブログの余白に書ききることができませんでしたので（フェルマー並感）、 導出のための考え方を紹介します。 推奨レベルは、数学Ⅱの多項式の割り算らへんの基礎知識です。 では

2023/04/06 20:50

2次方程式の解の公式を対称式を使って導く

2次方程式は普通は平方完成を使って解きます。 しかし、別にそれ以外の方法・発想でも解けます。 何に着目するか、問題をどう眺めるか。 ちょっとした違いで千差万別な別解が存在しうるのが数学の楽しいところです。 そして、数学史を切り開いてきたのは

2023/04/05 21:23

対称式の問題を定石と別解の2つの方法で解く

数学Ⅱの代数分野の花形といったら何を思い浮かべるでしょう？ 虚数単位$i$? 多項式の割り算？ 色々ありますが、僕は対称式です。 大学数学まで話を広げるとするならば、 対称式はガロア理論で中心的な役割を担う「群」という概念の導入として非常に

2023/04/04 20:49

コピー用紙に隠された数学、それは√2

日常にありふれた紙として、コピー用紙があります。 A4やA3あたりがよく使うサイズではないでしょうか？ B4やB5派の人も多いと思います。 今回は、コピー用紙に隠された数学の秘密を解き明かしていこうと思います。 コピー用紙がいかにすごい紙な

2023/04/03 19:38

ピタゴラス数を図形問題として捉えてみる

ピタゴラス数の公式の導出は、いろいろある！ 前回までのおさらい ピタゴラス数とは、$a^2+b^2=c^2$が成り立つ3つの自然数です。 それに互いに素、という条件をつけたものを原始ピタゴラス数といいます。 原始ピタゴラス数を無限にゲットで

2023/04/02 18:00

「互いに素」を使って原始ピタゴラス数の公式を導出

ピタゴラス数を求める公式の完全バージョンをゲットしましょう！！ 原始ピタゴラス数、再考 ピタゴラス数とは、$a^2+b^2=c^2$が成立する自然数$(a, b, c)$のことです。 そして、原始ピタゴラス数とは、3つの数$a, b, c$

2023/04/01 18:00