数理経済学的特別計画

事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額

この記事では、事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額を計算します。 事故の発生件数が平均パラメータ$latex \lambda$のポアソン分布に従うとします。 1件目の事故に対しては支払いはなく、2件目の事故から、1件あたり$latex L$円支払われるとします。 例えば、事故の総数が1件であれば、保険金は$latex 0$円です。 また、例えば事故が4件であれば、

2024/10/30 21:46

一様分布の分散の求め方をわかりやすく解説

この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。 命題: 一様分布の分散 確率変数$latex X$は一様分布$latex U(a, b)$に従うとします。このとき、 \begin{align*} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*} が成り立ちます。 実際に計算してみましょう。 一様分布$latex U(a, b)$の確率密度関数が \

2024/10/30 20:52

二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説

この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。 命題: 二項分布の再生性 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n, p)$に従う確率変数とし、 $latex Y$をパラメータ$latex m, p$の二項分布$latex Bin(m, p)$に従う確率変数とします。 $latex X, Y$は独立であるとします。

2024/10/29 19:00

二項分布の積率母関数の求め方をわかりやすく解説！！！

この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。 確率変数$latex X$の積率母関数とは、 \begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*} により定義される関数のことでした。 結論から述べると、 命題: 二項分布の積率母関数 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n…

2024/10/28 19:00

正規分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！

この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 $latex X, Y$をそれぞれ独立な正規分布$latex N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$に従うとします。 つまり、 \begin{align*} X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\quad Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\

2024/10/27 20:32

ポアソン分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！！

ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。 命題: ポアソン分布の再生性 $latex X \sim Po(\lambda_1), Y \sim Po(\lambda_2)$で、互いに独立であるとします。 このとき、 \begin{align*} X + Y \sim Po(\lambda_1 + \lambda_2)\

2024/10/24 21:31

生存関数から期待値を求める方法を解説！！！

今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。 数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。 定義 確率変数$latex X$に対して、 \begin{align*} S(t) = P( t \leq X)\end{align*} を$latex X$の生存関数といいます。 期待値は、生存関数の積分によって表現することができます。

2024/10/22 22:20

ポアソン分布の最頻値の求め方をわかりやすく解説！

統計学や確率論において、ポアソン分布はランダムな事象の発生をモデル化する際に非常に重要な確率分布です。特に、一定の時間や空間内での稀な事象の発生回数を扱う場合によく用いられます。 本記事では、ポアソン分布の最頻値（モード）の求め方について、できるだけわかりやすく詳しく解説します。 最頻値は確率分布において最も頻繁に観測される値、すなわち確率密度関数が最大となる点を指します。

2024/10/15 19:00

二項分布の単峰性(unimodality)の証明をわかりやすく解説！

二項分布が単峰性(unimodality)を満たすことを証明します。 まず単峰性の定義を確認しましょう。 定義: 単峰性(unimodality) 離散型の確率変数$latex X$は、 \begin{align*} P(X = 0) \leq P(X = 1) \leq \cdots \leq P(X = k) \geq P(X = k+1) \geq \cdots \geq P(n) \

2024/10/14 19:00

二項分布の最頻値の求め方をわかりやすく解説！

統計学や確率論において、二項分布は非常に重要な確率分布の一つです。これは、成功確率が一定の試行を複数回行ったときの成功回数を表す分布です。二項分布の特性を理解することは、データ分析や統計的推測を行う上で不可欠です。 本記事では、二項分布の最頻値（モード）の求め方について、できるだけわかりやすく詳しく解説します。 最頻値は、確率分布において最も頻繁に観測される値、

2024/10/13 20:10

指数分布の中央値の求め方をわかりやすく解説！

指数分布は、連続確率分布の一種で、事象の発生間隔が独立かつ同一の確率で発生する場合に使用されます。 この記事では、指数分布の中央値の求め方を解説します。 確率変数がパラメータが$latex \lambda$である指数分布に従うとは、確率密度関数が、 \begin{align*} f(x) \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 &

2024/10/08 22:17