二次元の双曲線軌道と極座標

(2020/12/24) 前回、放物線を極座標で表したのに続いて、双曲線も極座標で表します。近点距離を q、離心率を ε、共通重心を (0, 0) として、空焦点を X 軸上に置くと次のような式になります。 共通重心: 空焦点: 軌道: 空焦点座標に分数が含まれるのは扱いづらいので、仮想軌道長半径(a)を定義します。 すると、双曲線軌道の式は次のように表されます。 X Y 0 q -2aε (x,y) θ さて、極座標に変換します。 これって、楕円軌道の距離(r)と全く同じ式です。そして、仮想軌道長半径(a)を近点距離(q)で表してみます。 軌道位置: ところで、離心率(ε)が 1 の時はどう…

二次元の放物線軌道と極座標

(2020/12/24) 極座標を使うことで楕円軌道における位置、速度、速度ベクトル、経過時間、移動距離がすべて、偏角(θ)によって表せたので、放物線も極座標を扱うことにします。 X Y 0 q 2q (x,y) θ まず、天体の軌道における放物線を軽くおさらいします。共通重心を (0, 0)、近点距離を q、近点座標を (q, 0) とすると、放物線の準線は次の式で表されます。なお、放物線は閉じた曲線にならないので、実体としての軌道長半径は存在しません。 準線: 放物線上の天体位置 (x, y) から、共通重心 (0, 0) までの距離と、準線までの最短距離とは等しくなるので次の式で表されま…

楕円軌道と三次元座標のまとめ

(2020/12/20) X Y (0,0,0) Ω ω θ (x,y,z) (-2aε(cos ω cos Ω-sin ω sin Ω cos ι) ,-2aε(cos ω sin Ω-sin ω cos Ω cos ι) ,-2aε sin ω sin ι) 前回*1、軌道位置、経過時間、軌道速度、軌道速度ベクトル、移動距離を求めました。このなかで、軌道位置と軌道速度ベクトルは三次元の指標で表す必要があります。前提として軌道長半径を a、離心率を ε、公転周期をP で表します。 軌道位置 近点引数(ω)、軌道傾角(ι)、昇交点角(Ω)がすべて 0 のとき、三次元の点(x,y,z) は次のよ…

楕円軌道と二次元座標のまとめ

(2020/12/20) 楕円軌道の諸要素を極座標を使って求めてきました。すべての要素が偏角(θ)によって統一的に求まったので、今回の記事でまとめてみます。楕円は二つの焦点をもちます。片方の焦点から出た光は楕円曲線に反射してもう片方の焦点に届きます。また、その光が描く軌跡の長さは必ず軌道長半径(a)の二倍になります。実際の楕円軌道は三次元にまたがっていますが、形状そのものを決めるのは二次元で十分なので、最初は二次元で説明を進めます。 軌道位置 軌道長半径を a、離心率を ε、焦点の片方を原点 (0, 0)、もう一方を (-2aε, 0) とすると楕円上の点 (x, y) は次の式で表せます。 …

楕円軌道と移動距離

(2020/12/19) X Y (0,0) (-2aε, 0) (x, y) θ 前回*1、軌道速度(v)を導き出したので、今回は、移動距離(l)を導き出してみます。なお、軌道長半径を a、離心率を ε、公転周期を P としています。 軌道速度: 軌道速度(v)は本来時間(t)による変移なのですが、上の式では角度(θ)による変移になっています。時間と角度の関係が必要です。ここで角速度(Δθ)*2の式を思い出してください。 角速度: 微小区画の関係は下の通りです。 微小区画の式を積分したものが移動距離です。 移動距離: 移動距離は楕円積分なので、計算機を使える場合は、解析的に解いて値を求めるよ…

楕円軌道と軌道速度

(2020/12/18) X Y (0,0) (-2aε, 0) (x, y) θ 楕円軌道上の天体の位置を極座標形式で表し、それを楕円軌道の式に代入して距離(r)を求めます。距離(r)は軌道長半径(a)と離心率(ε)と傾角(θ)で表されます。 位置: 楕円軌道: 距離: 前回求めた進行方向ベクトル*1と天体の位置(X)から原点へのベクトルを用いて、軌道速度(v)と面積速度(ΔS)の関係を導き出します。 進行方向: 原点方向: 面積速度(ΔS)は、軌道長半径(a)、離心率(ε)、公転周期(P)で表せます。 したがって、軌道速度(v) は面積速度(ΔS)を消すことで求まります。 軌道速度: *1…

楕円軌道と進行方向ベクトル

(2020/12/18) 天体の軌道速度を求める前準備として、楕円軌道上にある天体の進行方向ベクトルを求めます。二次元で導き出します。軌道長半径を a、離心率を ε とします。 中心座標 、焦点座標 のとき、 楕円軌道: X Y (0,0) (-2aε, 0) (x, y) θ 楕円の特徴として、片方の焦点から出た光は、もう一方の焦点に着きます。楕円曲線に対して光が反射するときは左右の角度が等しくなります。楕円曲線上の点から、二つの焦点に向けて単位ベクトルを作り、それらを合成したベクトルが楕円曲線の法線ベクトルになります。法線ベクトルと垂直なベクトルが進行方向ベクトル(接線)になります。 楕円…

楕円軌道と時空座標

(2020/12/18) X Y (0,0,0) Ω ω θ (x,y,z) (-2aε(cos ω cos Ω-sin ω sin Ω cos ι) ,-2aε(cos ω sin Ω-sin ω cos Ω cos ι ,-2aε sin ω sin ι) 先日の記事*1で楕円軌道上の経過時間が導き出せたので、天体の位置を特定するための時間と空間が全てそろいました。改めてまとめてみます。 軌道長半径を a、離心率を ε、近点引数を ω、軌道傾角を ι、昇交点角を Ω、公転周期を P とすると、天体の座標 (x, y, z) と近点からの経過時間(t)は、すべて近点からの偏角(θ)によって定…

楕円軌道と経過時間

(2020/12/18) X Y (0,0) (-2aε, 0) (x, y) θ 天体の位置を決めるには、空間情報だけでは不十分で、経過時間(t)を組み込む必要があります。先日の記事*1で求めた角速度(Δθ)の式から経過時間(t)と偏角(θ)との関係を求めます。なお、ε は離心率で、P は公転周期です。 角速度: 上記の式から、微小角度(dθ)を右辺に、微小時間(dt)を左辺に移して、式を整えます。 不定積分により偏角(θ)と経過時間(t)の関係が表せます。 上記の式は楕円積分に似ているので、解析学的に不定積分を解くのはあきらめて、区分求積法で値を求めます。区分幅は 0.001°です。公転周…