数理経済学的特別計画

曲面論に立ち返る(2)

多様体$ltaex M$の点$latex p in M$ における接空間は、$latex p$ を通る曲線$latex c$ の定める微分$latex dot{c}$ 全体であった。 $latex mathbb R^2$ 上の曲線$latex c = (c_1, c_2)$ に対して begin{align*} gamma(t) = (c_1(t), c_2(t), f(c(t))…

2023/05/16 19:15

曲面論に立ち返る(1)

滑らかな関数$latex f: mathbb R^2 rightarrow mathbb R$ を考える。そのグラフ begin{align*} S = {(x, y, z) in mathbb R^3 z = f(x, y) } end{align*} を考える。これは空間の中の曲面です。 この曲面が$2$ 次元の可微分多様体であることを示す。$latex F: mathbb R^3…

2023/05/16 18:55

動く点Pと動く点Q(2)

動く点Pと動く点Qのことを考えていると、 begin{align*} int_X int_X d(x, y)^z f(x, y) dmu(x)dmu(y) end{align*} を計算したくなるはずです。 そこで、段階をふむことにして、次の積分を計算することにします。 begin{align*} Ivarphi(z) = int_0^infty t^z varphi(t) dt…

2023/05/15 18:52

動く点Pと動く点Q(1)

線分$latex [0, a] subset mathbb R$上を点$latex P, Q$ が動いている状況を考える。パラメータを$latex s in mathbb C$ として、点$latex P, Q$ の間には$latex d(x, y)^s$ の謎の力が働いているとする。この謎の力の期待値を計算したい。謎の力の期待値をエネルギーと呼ぶことにする。エネルギーを、 begin{align*

2023/05/13 13:26

空間のエネルギーの積分計算(1)

線分$latex [0, a] subset mathbb R$のパラメータを$latex s in mathbb C$ とするエネルギーを begin{align*} A(s) := int_{[0, a]}int_{[0, a]} d(x, y)^s dxdy end{align*} により定義する。$latex mathbb R$ に標準的な距離をいれることにすると、これは結局、

2023/05/13 13:26